2022届高考数学一轮复习第四章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课时作业理含解析北师大版

平面向量的基本定理及坐标表示 授课提示：对应学生用书第 317 页 [A 组 基础保分练] 1．在平行四边形 ABCD 中，AC 为对角线，若AB→ ＝（2，4），AC→ ＝（1，3），则BD→ ＝（ ） A．（－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4） 解析：由题意得BD→ ＝AD→ －AB→ ＝BC→ －AB→ ＝（AC→ －AB→ ）－AB→ ＝AC→ －2AB→ ＝（1，3）－2（2， 4）＝（－3，－5）． 答案：B 2．若向量 a＝（2，1），b＝（－2，3），则以下向量中与向量 2a＋b 共线的是（ ） A．（－5，2） B．（4，10） C．（10，4） D．（1，2） 解析：因为向量 a＝（2，1），b＝（－2，3），所以 2a＋b＝（2，5）．因为 4×5－10×2＝0， 故向量（4，10）与向量 2a＋b 共线． 答案：B 3．如图所示，在△OAB 中，P 为线段 AB 上的一点，OP→ ＝xOA→ ＋yOB→ ，且BP→＝2PA→，则（ ） A．x＝ 2 3 ，y＝ 1 3 B．x＝ 1 3 ，y＝ 2 3 C．x＝ 1 4 ，y＝ 3 4 D．x＝ 3 4 ，y＝ 1 4 解析：由题意知OP→ ＝OB→ ＋BP→，又BP→＝2PA→，所以OP→ ＝OB→ ＋ 2 3 BA→ ＝OB→ ＋ 2 3 （OA→ －OB→ ）＝ 2 3 OA→ ＋ 1 3 OB→ ，所以 x＝ 2 3 ，y＝ 1 3 ． 答案：A 4．已知在平面直角坐标系 xOy 中，P1（3，1），P2（－1，3），P1，P2，P3 三点共线且向量OP3 → 与向量 a＝（1，－1）共线，若OP3 → ＝λOP1 → ＋（1－λ）OP2 → ，则λ＝（ ） A．－3 B．3 C．1 D．－1 解析：设OP3 → ＝（x，y），则由OP3 → ∥a 知 x＋y＝0，于是OP3 → ＝（x，－x）．若OP3 → ＝λOP1 → ＋ （1－λ）OP2 → ，则有（x，－x）＝λ（3，1）＋（1－λ）（－1，3）＝（4λ－1，3－2λ），即 4λ－1＝x， 3－2λ＝－x， 所以 4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1． 答案：D 5．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（1，0），B（0，1），C 为坐标平面内第一象限内一点 且∠AOC＝ π 4 ，且|OC|＝2，若OC→ ＝λOA→ ＋μOB→ ，则λ＋μ＝（ ） A．2 2 B． 2 C．2 D．4 2 解析：因为|OC|＝2，∠AOC＝ π 4 ，所以 C（ 2， 2），又OC→ ＝λOA→ ＋μOB→ ，所以（ 2， 2） ＝λ（1，0）＋μ（0，1）＝（λ，μ），所以λ＝μ＝ 2，λ＋μ＝2 2． 答案：A 6．（2021·合肥质检）已知向量 a＝（1，3），b＝（－2，k），且（a＋2b）∥（3a－b），则 实数 k＝_________． 解析：a＋2b＝（－3，3＋2k），3a－b＝（5，9－k），由题意可得－3（9－k）＝5（3＋2k）， 解得 k＝－6． 答案：－6 7．（2021·荆门阶段检测）在△AOB 中，AC→ ＝ 1 5 AB→ ，D 为 OB 的中点，若DC→ ＝λOA→ ＋μOB→ ， 则λμ的值为_________． 解析：因为AC→ ＝ 1 5 AB→ ，所以AC→ ＝ 1 5 （OB→ －OA→ ），因为 D 为 OB 的中点，所以OD→ ＝ 1 2 OB→ ， 所以DC→ ＝DO→ ＋OC→ ＝－ 1 2 OB→ ＋（OA→ ＋AC→ ）＝－ 1 2 OB→ ＋OA→ ＋ 1 5 （OB→ －OA→ ）＝ 4 5 OA→ － 3 10 OB→ ， 所以λ＝ 4 5 ，μ＝－ 3 10 ，则λμ的值为－ 6 25 ． 答案：－ 6 25 8．已知在△ABC 中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD 为角平分线． （1）求 AD 的长度； （2）过点 D 作直线交 AB，AC 的延长线于不同两点 E，F，且满足AE→＝xAB→ ，AF→＝yAC→ ，求 1 x ＋ 2 y 的值，并说明理由． 解析：（1）根据角平分线定理： DB DC ＝ AB AC ＝2，所以 BD BC ＝ 2 3 ， 所以AD→ ＝AB→ ＋BD→ ＝AB→ ＋ 2 3 BC→＝AB→ ＋ 2 3 （AC→ －AB→ ）＝ 1 3 AB→ ＋ 2 3 AC→ ， 所以 AD→ 2＝ 1 9 AB→ 2＋ 4 9 AB→ ·AC→ ＋ 4 9 AC→ 2＝ 4 9 － 4 9 ＋ 4 9 ＝ 4 9 ，所以 AD＝ 2 3 ． （2）因为AE→＝xAB→ ，AF→＝yAC→ ，所以AD→ ＝ 1 3 AB→ ＋ 2 3 AC→ ＝ 1 3x AE→＋ 2 3y AF→， 因为 E，D，F 三点共线，所以 1 3x ＋ 2 3y ＝1，所以 1 x ＋ 2 y ＝3． 9．已知 A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），设AB→ ＝a，BC→ ＝b，CA→ ＝c，且CM→ ＝ 3c，CN→ ＝－2b．求： （1）3a＋b－3c； （2）满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； （3）M，N 的坐标及MN→ 的坐标． 解析：由已知得 a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1，8）． （1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1，8）＝（15－6－3，－15－3－24） ＝（6，－42）． （2）∵mb＋nc＝（－6m＋n，－3m＋8n）＝（5，－5）， ∴ －6m＋n＝5， －3m＋8n＝－5， 解得 m＝－1， n＝－1. （3）设 O 为坐标原点， ∵CM→ ＝OM→ －OC→ ＝3c， ∴OM→ ＝3c＋OC→ ＝（3，24）＋（－3，－4）＝（0，20）， ∴M（0，20）． 又∵CN→ ＝ON→ －OC→ ＝－2b， ∴ON→ ＝－2b＋OC→ ＝（12，6）＋（－3，－4）＝（9，2）， ∴N（9，2），∴MN→ ＝（9，－18）． [B 组 能力提升练] 1．已知 O 为△ABC 的外心，AB＝2，AC＝3，若AO→ ＝xAB→ ＋yAC→ （xy≠0），x＋2y＝1，则 cos∠BAC 的值为（ ） A． 3 4 B． 7 4 C． 1 4 D． 15 4 解析：设 A（0，0），C（3，0），∠BAC＝α，则 B（2cos α，2sin α）．∵O 是△ABC 的外心， ∴O 的横坐标是 3 2 ，∵AO→ ＝xAB→ ＋yAC→ ，∴ 3 2 ＝x·2cos α＋3y，又 x＋2y＝1，∴ 3 2 x＋3y＝ 3 2 ，∴ x·2cos α＋3y＝ 3 2 x＋3y，∴2cos α＝ 3 2 ，即 cos∠BAC＝ 3 4 ． 答案：A 2．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m＝（a， 3b）与 n＝（cos A，sin B）平行，则 A＝（ ） A． π 6 B． π 3 C． π 2 D． 2π 3 解析：因为 m∥n，所以 asin B－ 3bcos A＝0，由正弦定理，得 sin Asin B－ 3sin Bcos A ＝0，又 sin B≠0，从而 tan A＝ 3，由于 0＜A＜π，所以 A＝ π 3 ． 答案：B 3．（2021·衡水中学调研）直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB，AD 分别交于点 E，F， 交 AC 于点 M，若AB→ ＝2AE→，AD→ ＝3AF→，AM→ ＝λAB→ －μAC→ （λ，μ∈R），则 5 2 μ－λ＝（ ） A．－ 1 2 B．1 C． 3 2 D．－3 解析：由题意及几何关系可得 AM＝ 1 5 AC，则AM→ ＝ 1 5 AC→ ，即AM→ ＝0AB→ － － 1 5 AC→ ，所以μ＝ － 1 5 ，λ＝0，则 5 2 μ－λ＝－ 1 2 ． 答案：A 4．已知 a＝（1，x），b＝（y，1），x＞0，y＞0．若 a∥b，则 xy x＋y 的最大值为（ ） A． 1 2 B．1 C． 2 D．2 解 析 ： a ∥ b ⇒ xy ＝ 1 ， 所 以 y ＝ 1 x ， 所 以 xy x＋y ＝ 1 x＋y ＝ 1 x＋ 1 x ≤ 1 2 x× 1 x ＝ 1 2 当且仅当 x＝ 1 x ，即 x＝1 时取等号 ，所以 xy x＋y 的最大值为 1 2 ． 答案：A 5．设向量 a，b 满足|a|＝2 5，b＝（2，1），且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_________． 解析：∵b＝（2，1），且 a 与 b 的方向相反，∴设 a＝（2λ，λ）（λ＜0）． ∵|a|＝2 5， ∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2． ∴a＝（－4，－2）． 答案：（－4，－2） 6．设OA→ ＝（1，－2），OB→ ＝（a，－1），OC→ ＝（－b，0），a＞0，b＞0，O 为坐标原点， 若 A，B，C 三点共线，则 1 a ＋ 2 b 的最小值是_________． 解析：据已知可知AB→ ∥AC→ ，又∵AB→ ＝（a－1，1），AC→ ＝（－b－1，2），∴2（a－1）－（－ b－1）＝0， ∴2a＋b＝1，∴ 1 a ＋ 2 b ＝ 2a＋b a ＋ 4a＋2b b ＝4＋ b a ＋ 4a b ≥4＋2 b a · 4a b ＝8，当且仅当 b a ＝ 4a b ，即 a＝ 1 4 ，b＝ 1 2 时取等号，∴ 1 a ＋ 2 b 的最小值是 8． 答案：8 7．已知点 A，B 为单位圆 O 上的两点，点 P 为单位圆 O 所在平面内的一点，且OA→ 与OB→ 不 共线． （1）在△OAB 中，点 P 在 AB 上，且AP→ ＝2PB→，若AP→ ＝rOB→ ＋sOA→ ，求 r＋s 的值； （2）已知点 P 满足OP→ ＝mOA→ ＋OB→ （m 为常数），若四边形 OABP 为平行四边形，求 m 的 值． 解析：（1）因为AP→ ＝2PB→，所以AP→ ＝ 2 3 AB→ ， 所以AP→ ＝ 2 3 （OB→ －OA→ ）＝ 2 3 OB→ － 2 3 OA→ ， 又因为AP→ ＝rOB→ ＋sOA→ ， 所以 r＝ 2 3 ，s＝－ 2 3 ， 所以 r＋s＝0． （2）因为四边形 OABP 为平行四边形， 所以OB→ ＝OP→ ＋OA→ ， 又因为OP→ ＝mOA→ ＋OB→ ， 所以OB→ ＝OB→ ＋（m＋1）OA→ ， 依题意OA→ ，OB→ 是非零向量且不共线， 所以 m＋1＝0， 解得 m＝－1． [C 组 创新应用练] 1．（2021·包河区校级月考）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段 的“中末比”问题：将一线段 AB 分为两线段 AC，CB，使得其中较长的一段 AC 是全长与另 一段 CB 的比例中项，即满足 AC AB ＝ BC AC ＝ 5－1 2 ，后人把这个数称为黄金分割数，把点 C 称为 线段 AB 的黄金分割点．在△ABC 中，若点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，设AP→ ＝x1AB→ ＋y1AC→ ，AQ→ ＝x2AB→ ＋y2AC→ ，则 x1 x2 ＋ y1 y2 ＝（ ） A． 5＋1 2 B．2 C． 5 D． 5＋1 解 析 ： 由 题 意 ， AP→ ＝ AB→ ＋ BP→ ＝ AB→ ＋ 1－ 5－1 2 BC→ ＝ AB→ ＋ 3－ 5 2 （ AC→ － AB→ ） ＝ 1－ 3－ 5 2 AB→ ＋ 3－ 5 2 AC→ ＝ 5－1 2 AB→ ＋ 3－ 5 2 AC→ ，同理，AQ→ ＝AB→ ＋BQ→ ＝AB→ ＋ 5－1 2 BC→ ＝AB→ ＋ 5－1 2 （AC→ －AB→ ） ＝ 3－ 5 2 AB→ ＋ 5－1 2 AC→ ． 所以 x1＝y2＝ 5－1 2 ，x2＝y1＝ 3－ 5 2 ． 所以 x1 x2 ＋ y1 y2 ＝ 5－1 3－ 5 ＋ 3－ 5 5－1 ＝ 5． 答案：C 2．已知 Rt△ABC 中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I 是△ABC 的内心，P 是△IBC 内部（不含边 界）的动点．若AP→ ＝λAB→ ＋μAC→ （λ，μ∈R），则λ＋μ的取值范围是_________． 解析：以 B 为原点，BA，BC 所在直线分别为 x，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 B （0，0），A（3，0），C（0，4）．设△ABC 的内切圆的半径为 r，因为 I 是△ABC 的内心，所 以（5＋3＋4）×r＝4×3，解得 r＝1，所以 I（1，1）．设 P（x，y），因为点 P 在△IBC 内部 （不含边界），所以 0＜x＜1．因为AB→ ＝（－3，0），AC→ ＝（－3，4），AP→ ＝（x－3，y），且 AP→ ＝λAB→ ＋μAC→ ，所以 x－3＝－3λ－3μ， y＝4μ， 解得 λ＝1－ 1 3 x－ 1 4 y， μ＝ 1 4 y， 所以λ＋μ＝1－ 1 3 x，又 0＜x ＜1，所以λ＋μ∈ 2 3 ，1 ． 答案： 2 3 ，1