2022届高考数学一轮复习第三章第五节y＝Asinωx＋φ的图像及应用课时作业理含解析北师大版

y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用 授课提示：对应学生用书第 309 页 [A 组 基础保分练] 1．将函数 y＝sin x－ π 4 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平 移 π 6 个单位长度，则所得函数图像的解析式为（ ） A．y＝sin x 2 － 5π 24 B．y＝sin x 2 － π 3 C．y＝sin x 2 － 5π 12 D．y＝sin 2x－ 7π 12 解析：函数 y＝sin x－ π 4 的图像所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍得 y＝sin 1 2 x－ π 4 的图像， 再将所得图像向右平移 π 6 个单位长度得 y＝sin 1 2 x－ π 6 － π 4 ＝sin 1 2 x－ π 3 的图像． 答案：B 2．（2020·高考全国卷Ⅰ）设函数 f（x）＝cos ωx＋ π 6 在[－π，π]的图像大致如下图，则 f （x）的最小正周期为（ ） A． 10π 9 B． 7π 6 C． 4π 3 D． 3π 2 解析：由题图知 T 2 ＞－ 4π 9 －（－π）， T＜π－ － 4π 9 ， 解得 10π 9 ＜T＜ 13π 9 ， 排除选项 A，D． 法一：若 T＝ 7π 6 ，则|ω|＝ 2π T ＝ 12 7 ， 经检验，此时 f － 4π 9 ≠0，排除选项 B．故选 C． 法二：由题图知－ 4π 9 是函数的零点，且图像在零点附近上升， 所以－ 4π 9 ω＋ π 6 ＝2kπ－ π 2 ，k∈Z， 得ω＝－ 9k 2 ＋ 3 2 ，k∈Z． 当 T＝ 7π 6 时，|ω|＝ 2π T ＝ 12 7 ，此时 k∉ Z，排除选项 B． 当 T＝ 4π 3 时，|ω|＝ 2π T ＝ 3 2 ，此时 k＝0 k＝ 2 3 舍去 ，符合题意． 答案：C 3．（2021·衡水模拟）设函数 f（x）＝2cos（ωx＋φ）对任意的 x∈R，都有 f π 3 －x ＝f π 3 ＋x ， 若函数 g（x）＝ 3sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）＋2，则 g π 3 的值是（ ） A．2 B．0 C．2 或 4 D．1 或 3 解析：∵f π 3 －x ＝f π 3 ＋x ，∴f（x）的图像关于直线 x＝ π 3 对称． ∴f π 3 ＝2cos π 3 ω＋φ ＝±2， 即 cos π 3 ω＋φ ＝±1． ∴g π 3 ＝cos π 3 ω＋φ ＋2． 当 cos π 3 ω＋φ ＝1 时，原式＝3； 当 cos π 3 ω＋φ ＝－1 时，原式＝1． 答案：D 4．（2021·湖南株洲模拟）若函数 f（x）＝cos 2x－ π 4 －a x∈ 0， 9π 8 恰有三个不同的零点 x1，x2，x3，则 x1＋x2＋x3 的取值范围是（ ） A． 5π 4 ， 11π 8 B． 9π 4 ， 7π 2 C． 5π 4 ， 11π 8 D． 9π 4 ， 7π 2 解析：由题意得方程 cos 2x－ π 4 ＝a x∈ 0， 9π 8 有三个不同的实数根． 画出函数 y＝cos 2x－ π 4 x∈ 0， 9π 8 的大致图像，如图所示． 由图像得，当 2 2 ≤a 11π 12 ，即 2π ω > 11π 12 ， 解得ω< 24 11 ．又ω>0，故 k＝1，从而ω＝ 22 11 ＝2．所以 f（x）＝2sin 2x＋ π 6 ． 由 f（a＋x）－f（a－x）＝0，得 f（a＋x）＝f（a－x），所以该函数图像的对称轴为直线 x ＝a． 令 2a＋ π 6 ＝nπ＋ π 2 （n∈Z），解得 a＝ n 2 π＋ π 6 （n∈Z）． 要求 a 的最小正值，只需 n＝0，得 a＝ π 6 ． 答案：B 6．（2021·衡水中学调考）已知函数 f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0）的部分图像如图所示， 其中 M（m，0），N（n，2），P（π，0），且 mn0， 所以当 k＝0 时，m 取得最小值，且最小值为 π 6 ． 此时，g（x）＝ 3sin 2x＋ 2π 3 ． 因为 x∈ － π 6 ， 7π 12 ，所以 2x＋ 2π 3 ∈ π 3 ， 11π 6 ． 当 2x＋ 2π 3 ∈ π 3 ， π 2 ，即 x∈ － π 6 ，－ π 12 时，g（x）单调递增， 当 2x＋ 2π 3 ∈ 3π 2 ， 11π 6 ，即 x∈ 5π 12 ， 7π 12 时，g（x）单调递增． 综上，g（x）在区间 － π 6 ， 7π 12 上的单调递增区间是 － π 6 ，－ π 12 和 5π 12 ， 7π 12 ． [C 组 创新应用练] 1．（2021·武汉市高三二调）函数 f（x）＝2sin ωx＋ π 3 （ω>0）的图像在[0，1]上恰有两个 极大值点，则ω的取值范围为（ ） A．[2π，4π] B． 2π， 9π 2 C． 13π 6 ， 25π 6 D． 2π， 25π 6 解析：法一：由函数 f（x）在[0，1]上恰有两个极大值点，及正弦函数的图像可知ω＋ π 3 ∈ 2π＋ π 2 ，4π＋ π 2 ，则 13π 6 ≤ω< 25π 6 ． 法二：取ω＝2π，则 f（x）＝2sin 2πx＋ π 3 ， 故 2πx＋ π 3 ＝ π 2 ＋2kπ，k∈Z，得 x＝ 1 12 ＋k，k∈Z， 则在[0，1]上只有 x＝ 1 12 ，不满足题意，排除 A，B，D． 答案：C 2．（2021·济南模拟）已知函数 f（x）＝ 3sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1． （1）若函数 f（x）的图像关于直线 x＝ π 6 对称，且ω∈[0，3]，求函数 f（x）的单调递增区间； （2）在（1）的条件下，当 x∈ 0， 7π 12 时，函数 f（x）有且只有一个零点，求实数 b 的取值 范围． 解析：（1）函数 f（x）＝ 3sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1 ＝ 3 2 sin 2ωx＋ 1＋cos 2ωx 2 ＋b＋1＝sin 2ωx＋ π 6 ＋ 3 2 ＋b． 因为函数 f（x）的图像关于直线 x＝ π 6 对称，所以 2ω· π 6 ＋ π 6 ＝kπ＋ π 2 ，k∈Z，且ω∈[0，3]， 所以ω＝1． 由 2kπ－ π 2 ≤2x＋ π 6 ≤2kπ＋ π 2 （k∈Z），解得 kπ－ π 3 ≤x≤kπ＋ π 6 （k∈Z），所以函数 f（x）的 单调递增区间为 kπ－ π 3 ，kπ＋ π 6 （k∈Z）． （2）由（1）知 f（x）＝sin 2x＋ π 6 ＋ 3 2 ＋b． 因为 x∈ 0， 7π 12 ，所以 2x＋ π 6 ∈ π 6 ， 4π 3 ． 当 2x＋ π 6 ∈ π 6 ， π 2 ，即 x∈ 0， π 6 时，函数 f（x）单调递增； 当 2x＋ π 6 ∈ π 2 ， 4π 3 ，即 x∈ π 6 ， 7π 12 时，函数 f（x）单调递减． 又 f（0）＝f π 3 ，所以当 f π 3 >0≥f 7π 12 或 f π 6 ＝0 时，函数 f（x）有且只有一个零点，即 sin 4π 3 ≤－b－ 3 2