2022届高考数学一轮复习第九章第四节随机事件的概率课时作业理含解析北师大版

第四节 随机事件的概率 授课提示：对应学生用书第 381 页 [A 组 基础保分练] 1．在下列六个事件中，随机事件的个数为（ ） ①如果 a，b 都是实数，那么 a＋b＝b＋a；②从分别标有数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10 的 10 张号签中任取一张，得到 4 号签；③没有水分，种子发芽；④某电话总机在 60 秒内 接到至少 10 次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度达到 50 ℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排 斥． A．2 B．3 C．4 D．5 解析：①⑥是必然事件，③⑤是不可能事件；②④是随机事件． 答案：A 2．从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，对于事件 A：“这个三角形是 等腰三角形”，下列推断正确的是（ ） A．事件 A 发生的概率等于 1 5 B．事件 A 发生的概率等于 2 5 C．事件 A 是不可能事件 D．事件 A 是必然事件 解析：从正五边形的五个顶点中随机选择三个顶点连成的三角形都是等腰三角形，所以事件 A 是必然事件． 答案：D 3．（2021·河北衡水中学模拟）从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0．2，该同学的身高在[160，175]（单位：cm）内的概率为 0．5，那么该同学的 身高超过 175 cm 的概率为（ ） A．0．2 B．0．3 C．0．7 D．0．8 解析：该同学的身高超过 175 cm 的概率为 1－0．2－0．5＝0．3． 答案：B 4．（2021·银川模拟）已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为 1 2 ，乙胜的概率为 1 3 ，则甲胜的概率 和甲不输的概率分别为（ ） A． 1 6 ， 1 6 B． 1 2 ， 2 3 C． 1 6 ， 2 3 D． 2 3 ， 1 2 解析：“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为 1－ 1 2 － 1 3 ＝ 1 6 ．设“甲不输” 为事件 A，则 A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以 P（A）＝ 1 6 ＋ 1 2 ＝ 2 3 或设“甲不输”为事件 A，则 A 可看作是“乙胜”的对立事件，所以 P（A）＝1－ 1 3 ＝ 2 3 . 答案：C 5．（2021·黄石联考）天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测 三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数．依据每天下雨的概率，可规定投一次 骰子出现 1 点和 2 点代表下雨，投三次骰子代表三天，产生的三个随机数作为一组，得到的 10 组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353．则在此次 随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为（ ） A． 1 2 ， 3 8 B． 1 2 ， 1 8 C． 1 3 ， 1 5 D． 1 3 ， 2 9 解析：由题意可得，每天下雨的概率 P（A）＝ 2 6 ＝ 1 3 ；由 10 组数据可得三天中有两天下雨的 概率 P（B）＝ 2 10 ＝ 1 5 ． 答案：C 6．在运动会火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，4，5 的 5 名火炬手．若从中任选 3 人， 则选出的火炬手的编号相连的概率为（ ） A． 3 10 B． 5 8 C． 7 10 D． 2 5 解析：从 1，2，3，4，5 中任取三个数的结果有 10 种，其中选出的火炬手的编号相连的事 件有：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），∴选出的火炬手的编号相连的概率为 P＝ 3 10 ． 答案：A 7．（2021·吉林模拟）从分别写有 0，1，2，3，4 的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后 放回，再从中取出一张卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是_________． 解析：从 0，1，2，3，4 五张卡片中取出两张卡片的结果有 25 种，数字之和恰好等于 4 的 结果有（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），所以数字之和恰好等于 4 的概率是 P ＝ 1 5 ． 答案： 1 5 8．一根绳子长为 6 米，绳子上有 5 个节点将绳子 6 等分，现从 5 个节点中随机选一个将绳子 剪断，则所得的两段绳长均不小于 2 米的概率为_________． 解析：随机选一个节点将绳子剪断共有 5 种情况，分别为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2）， （5，1）．满足两段绳长均不小于 2 米的为（2，4），（3，3），（4，2），共 3 种情况．所以所 求概率为 3 5 ． 答案： 3 5 9．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上 概率 0．1 0．16 0．3 0．3 0．1 0．04 求：（1）至多 2 人排队等候的概率； （2）至少 3 人排队等候的概率． 解析：记“无人排队等候”为事件 A，“1 人排队等候”为事件 B，“2 人排队等候”为事件 C， “3 人排队等候”为事件 D，“4 人排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 彼此互斥． （1）记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 G＝A＋B＋C， 所以 P（G）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C） ＝0．1＋0．16＋0．3＝0．56． （2）法一：记“至少 3 人排队等候”为事件 H， 则 H＝D＋E＋F， 所以 P（H）＝P（D＋E＋F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0．3＋0．1＋0．04＝0．44． 法二：记“至少 3 人排队等候”为事件 H， 则其对立事件为事件 G，所以 P（H）＝1－P（G）＝0．44． 10．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧奋战，经过近期训练， 某队员射击一次命中 7～10 环的概率如表所示： 命中环数 10 环 9 环 8 环 7 环 概率 0．32 0．28 0．18 0．12 该射击队员射击一次，求： （1）射中 9 环或 10 环的概率； （2）至少命中 8 环的概率； （3）命中不足 8 环的概率． 解析：记事件“射击一次，命中 k 环”为 Ak（k∈N＋，k≤10），则事件 Ak 彼此互斥． （1）记“射击一次，射中 9 环或 10 环”为事件 A，那么当 A9，A10 之一发生时，事件 A 发 生，由互斥事件的加法公式得 P（A）＝P（A9）＋P（A10）＝0．28＋0．32＝0．60． （2）设“射击一次，至少命中 8 环”的事件为 B，那么当 A8，A9，A10 之一发生时，事件 B 发生．由互斥事件概率的加法公式得 P（B）＝P（A8）＋P（A9）＋P（A10）＝0．18＋0．28 ＋0．32＝0．78． （3）由于事件“射击一次，命中不足 8 环”是事件 B：“射击一次，至少命中 8 环”的对立 事件，即B － 表示事件“射击一次，命中不足 8 环”． ∴P（B － ）＝1－P（B）＝1－0．78＝0．22． [B 组 能力提升练] 1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方 向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是（ ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．相互独立事件 D．以上都不对 解析：由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但 不是对立事件． 答案：A 2．（2021·西安五校模拟）在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任选 2 张， 如果事件“2 张全是移动卡”的概率是 3 10 ，那么概率是 7 10 的事件是（ ） A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡 解析：因为事件“2 张全是移动卡”的概率是 3 10 ，1－ 3 10 ＝ 7 10 ，所以概率是 7 10 的事件是事件 “2 张全是移动卡”的对立事件，也就是“2 张不全是移动卡”，即“至多有一张移动卡”． 答案：A 3．（2021·长沙模拟）同时掷 3 枚硬币，至少有 1 枚正面向上的概率是（ ） A． 7 8 B． 5 8 C． 3 8 D． 1 8 解析：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将 1 枚硬币连续抛掷 三次，共有 23＝8 种结果，满足条件的事件的对立事件是 3 枚硬币都是背面向上，有 1 种结 果，所以至少一枚正面向上的概率是 1－ 1 8 ＝ 7 8 ． 答案：A 4．（2021·合肥模拟）某城市有连接 8 个小区 A，B，C，D，E，F，G，H 和市中心 O 的整齐 方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路 径，由小区 A 前往小区 H，则他经过市中心 O 的概率为（ ） A． 1 3 B． 2 3 C． 1 4 D． 3 4 解析：由题意知，此人从小区 A 前往小区 H 的所有最短路径为：A→B→C→E→H，A→B→O →E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共 6 条．记“此人经过市中心 O”为事件 M，则 M 包含的基本事件为：A→B→O→E→H，A→B →O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共 4 个，所以 P（M）＝ 4 6 ＝ 2 3 ，即他经 过市中心 O 的概率为 2 3 ． 答案：B 5．口袋内装有一些大小、形状均相同的红球、白球和黑球，如果从中摸出 1 个球，摸出红球 的概率是 0．42，摸出白球的概率是 0．28，那么摸出黑球的概率是_________． 解析：事件“摸出红球或白球”与事件“摸出黑球”是对立事件，设“摸出红球或白球”为 事件 M，则M － 表示“摸出黑球”，由对立事件的概率公式得 P（M － ）＝1－P（M）＝1－（0．42 ＋0．28）＝0．3． 答案：0．3 6．已知盒子中有散落的棋子 15 粒，其中 6 粒是黑子，9 粒是白子，已知从中取出 2 粒都是 黑子的概率是 1 7 ，从中取出 2 粒都是白子的概率是 12 35 ，现从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概 率是_________． 解析：从盒子中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率恰为取 2 粒白子的概率与取 2 粒黑子的概 率的和，即为 1 7 ＋ 12 35 ＝ 17 35 ． 答案： 17 35 7．（2021·徐州模拟）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚，为了更好 地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了 200 人进行调查，当不处罚时，有 80 人会闯红 灯，处罚时，得到如下数据： 处罚金额 x（单位：元） 5 10 15 20 会闯红灯的人数 y 50 40 20 10 若用表中数据所得频率代替概率． （1）当罚金定为 10 元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？ （2）将选取的 200 人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过 10 元时就会改正 行为；B 类是其他市民．现对 A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行深度问卷， 则前两位均为 B 类市民的概率是多少？ 解析：（1）设“当罚金定为 10 元时，闯红灯的市民改正行为”为事件 A，则 P（A）＝ 80－40 200 ＝ 1 5 ． ∴当罚金定为 10 元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低 1 5 ． （2）由题可知 A 类市民和 B 类市民各有 40 人，故分别从 A 类市民和 B 类市民各抽出 2 人， 设从 A 类市民抽出的两人分别为 A1，A2，设从 B 类市民抽出的两人分别为 B1，B2．设“A 类 与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行深度问卷”为事件 M，则事件 M 中首先抽出 A1 的事件有（A1，A2，B1，B2），（A1，A2，B2，B1），（A1，B1，A2，B2），（A1，B1，B2， A2），（A1，B2，A2，B1），（A1，B2，B1，A2）．共 6 种． 同理首先抽出 A2，B1，B2 的事件也各有 6 种． 故事件 M 共有 4×6＝24 种． 设“抽取 4 人中前两位均为 B 类市民”为事件 N， 则事件 N 有（B1，B2，A1，A2），（B1，B2，A2，A1），（B2，B1，A1，A2），（B2，B1，A2， A1），共 4 种． ∴P（N）＝ 4 24 ＝ 1 6 ． ∴抽取 4 人中前两位均为 B 类市民的概率是 1 6 ． [C 组 创新应用练] 1．若 p：“事件 A 与事件 B 是对立事件”，q：“概率满足 P（A）＋P（B）＝1”，则 p 是 q 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 A＋B 为必然事件，再由概率的加法公式得 P（A） ＋P（B）＝1．设掷一枚硬币 3 次，事件 A：“至少出现一次正面”，事件 B：“3 次出现正面”， 则 P（A）＝ 7 8 ，P（B）＝ 1 8 ，满足 P（A）＋P（B）＝1，但 A，B 不是对立事件，所以 p 是 q 的充分不必要条件． 答案：A 2．（2019·高考全国卷Ⅱ）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中， 有 10 个车次的正点率为 0．97，有 20 个车次的正点率为 0．98，有 10 个车次的正点率为 0．99， 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_________． 解析：x － ＝ 10×0.97＋20×0.98＋10× 10＋20＋10 ＝0．98．则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率 的估计值为 0．98． 答案：0．98