2022届高考数学一轮复习第三章第四节三角函数的图像与性质课时作业理含解析北师大版

第四节 三角函数的图像与性质 授课提示：对应学生用书第 307 页 [A 组 基础保分练] 1．下列函数中，周期为π的奇函数为（ ） A．y＝sin xcos x B．y＝sin2x C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x 解析：y＝sin2x 为偶函数；y＝tan 2x 的周期为 π 2 ；y＝sin 2x＋cos 2x 为非奇非偶函数，故 B、 C、D 三项都不正确． 答案：A 2．y＝|cos x|的一个单调递增区间是（ ） A． － π 2 ， π 2 B．[0，π] C． π， 3π 2 D． 3π 2 ，2π 解析：将 y＝cos x 的图像位于 x 轴下方的图像关于 x 轴对称，x 轴上方（或 x 轴上）的图像 不变，即得 y＝|cos x|的图像（如图）． 答案：D 3．（2021·广州模拟）函数 f（x）＝sin（x＋φ）在区间 π 3 ， 2π 3 上单调递增，常数φ的值可能 是（ ） A．0 B． π 2 C．π D． 3π 2 解析：由函数 f（x）＝sin x 的图像可以看出，要使函数 f（x）＝sin（x＋φ）在区间 π 3 ， 2π 3 上单调递增，结合选项，经验证知，需将 f（x）＝sin x 的图像向左平移 3π 2 个单位长度，故选 项 D 正确． 答案：D 4．（2021·石家庄质检）已知函数 f（x）＝sin 2x＋ π 6 ＋cos 2x，则 f（x）的一个单调递减区 间是（ ） A． π 12 ， 7π 12 B． － 5π 12 ， π 12 C． － π 3 ， 2π 3 D． － π 6 ， 5π 6 解析：f（x）＝sin 2x＋ π 6 ＋cos 2x＝ 3 2 sin 2x＋ 1 2 cos 2x＋cos 2x＝ 3 2 sin 2x＋ 3 2 cos 2x＝ 3sin 2x＋ π 3 ．由 2kπ＋ π 2 ≤2x＋ π 3 ≤2kπ＋ 3π 2 （k∈Z），得 kπ＋ π 12 ≤x≤kπ＋ 7π 12 （k∈N）， 所以 f（x）的一个单调递减区间为 π 12 ， 7π 12 ． 答案：A 5．已知函数 y＝2cos x 的定义域为 π 3 ，π ，值域为[a，b]，则 b－a 的值是（ ） A．2 B．3 C． 3＋2 D．2－ 3 解析：因为 x∈ π 3 ，π ，所以 cos x∈ －1， 1 2 ，故 y＝2cos x 的值域为[－2，1]，所以 b－a ＝3． 答案：B 6．若函数 f（x）＝ 3sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）为奇函数，且在 － π 4 ，0 上为减函数， 则θ的一个值为（ ） A．－ π 3 B．－ π 6 C． 2π 3 D． 5π 6 解析：由题意得 f（x）＝ 3sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）＝2sin 2x＋θ＋ π 6 ．因为函数 f （x）为奇函数，所以θ＋ π 6 ＝kπ，k∈Z，故θ＝－ π 6 ＋kπ，k∈Z．当θ＝－ π 6 时，f（x）＝2sin 2x，在 － π 4 ，0 上为增函数，不合题意．当θ＝ 5π 6 时，f（x）＝－2sin 2x，在 － π 4 ，0 上为 减函数，符合题意． 答案：D 7．若函数 f（x）＝sin ωx（ω>0）在区间 π 3 ， π 2 上是减少的，则ω的取值范围是_________． 解析：令 π 2 ＋2kπ≤ωx≤ 3 2 π＋2kπ（k∈Z），得 π 2ω ＋ 2kπ ω ≤x≤ 3π 2ω ＋ 2kπ ω ，因为 f（x）在 π 3 ， π 2 上是减少的，所以 π 2ω ＋ 2kπ ω ≤ π 3 ， π 2 ≤ 3π 2ω ＋ 2kπ ω ， 得 6k＋ 3 2 ≤ω≤4k＋3．又ω>0，所以 k≥0，又 6k＋ 3 2 0），f π 6 ＋f π 2 ＝0，且 f（x）在区间 π 6 ， π 2 上递减，则ω＝_________． 解析：因为 f（x）＝sin ωx＋ 3cos ωx＝2sin ωx＋ π 3 ， 由 π 2 ＋2kπ≤ωx＋ π 3 ≤ 3π 2 ＋2kπ，k∈Z， 得 π 6ω ＋ 2kπ ω ≤ x ≤ 7π 6ω ＋ 2kπ ω ， 因 为 f （ x ） 在 区 间 π 6 ， π 2 上 递 减 ， 所 以 π 6 ， π 2 ⊆ π 6ω ＋ 2kπ ω ， 7π 6ω ＋ 2kπ ω ，从而有 π 6 ≥ π 6ω ＋ 2kπ ω ， π 2 ≤ 7π 6ω ＋ 2kπ ω ， 解得 12k＋1≤ω≤ 7＋12k 3 ，k∈Z， 所以 1≤ω≤ 7 3 ．因为 f π 6 ＋f π 2 ＝0， 所以 x＝ π 6 ＋ π 2 2 ＝ π 3 为 f（x）＝2sin ωx＋ π 3 的一个对称中心的横坐标， 所以 π 3 ω＋ π 3 ＝kπ（k∈Z），ω＝3k－1，k∈Z， 又 1≤ω≤ 7 3 ，所以ω＝2． 答案：2 7．（2021·绍兴期末测试）已知函数 f（x）＝2sin x· cos x－ π 3 ＋cos x ，x∈ 0， π 2 ． （1）求 f π 6 ； （2）求 f（x）的最大值与最小值． 解析：（1）因为 cos － π 6 ＝cos π 6 ＝ 3 2 ，sin π 6 ＝ 1 2 ， 所以 f π 6 ＝2× 1 2 × 3 2 ＋ 3 2 ＝ 3． （2）f（x）＝2sin x· cos x－ π 3 ＋cos x ＝2sin x· 1 2 cos x＋ 3 2 sin x ＋cos x ＝ 3 2 sin 2x＋ 3 2 （1－cos 2x）＝ 3sin 2x－ π 6 ＋ 3 2 ． 因为 x∈ 0， π 2 ，所以 2x－ π 6 ∈ － π 6 ， 5π 6 ．又因为 y＝sin z 在区间 － π 6 ， π 2 上单调递增，在 区间 π 2 ， 5π 6 上单调递减，所以，当 2x－ π 6 ＝ π 2 ，即 x＝ π 3 时，f（x）有最大值 3 3 2 ；当 2x－ π 6 ＝－ π 6 ，即 x＝0 时，f（x）有最小值 0． [C 组 创新应用练] 1．若函数 y＝sin ωx＋ π 6 在 x＝2 处取得最大值，则正数ω的最小值为（ ） A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 解析：由题意得 2ω＋ π 6 ＝ π 2 ＋2kπ（k∈Z），解得ω＝ π 6 ＋kπ（k∈Z），因为ω>0，所以当 k ＝0 时，ωmin＝ π 6 ． 答案：D 2．（2021·太原模拟）已知函数 f（x）＝sin ωx－ 3cos ωx（ω>0）在（0，π）上有且只 有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A． 0， 4 3 B． 4 3 ， 7 3 C． 7 3 ， 10 3 D． 10 3 ， 13 3 解析：法一：易得 f（x）＝2sin ωx－ π 3 ，设 t＝ωx－ π 3 ，因为 0