2022届高考数学一轮复习第十一章选修4_5不等式选讲课时作业理含解析北师大版

选修 4-5 不等式选讲 授课提示：对应学生用书第 400 页 [A 组 基础保分练] f（x）＝|x－3|－|x＋2|. （1）求函数 f（x）的值域； （2）若存在 x∈[－2，1]，使 f（x）≥x2＋a 成立，求 a 的取值范围. 解析：（1）依题意可得 f（x）＝ －5，x≥3， －2x＋1，－21， 3x＋2>4 ⇔x＜－2 或 01. 综上，不等式 f（x）>4 的解集为（－∞，－2）∪（0，＋∞）. （2）若存在 x∈ － 3 2 ，1 使不等式 a＋1>f（x）成立⇔a＋1>f（x）min， 由（1）得，x∈ － 3 2 ，1 时，f（x）＝x＋4，f（x）min＝ 5 2 ， 所以 a＋1> 5 2 ，所以 a> 3 2 ， 所以实数 a 的取值范围为 3 2 ，＋∞ . [B 组 能力提升练] 1.（2021·重庆模拟）已知关于 x 的不等式|2x|＋|2x－1|≤m 有解. （1）求实数 m 的取值范围； （2）已知 a>0，b>0，a＋b＝m，证明： a2 a＋2b ＋ b2 2a＋b ≥ 1 3 . 解析：（1）|2x|＋|2x－1|≥|2x－（2x－1）|＝1，当且仅当 2x（2x－1）≤0，即 0≤x≤ 1 2 时取 等号，故 m≥1. 所以实数 m 的取值范围为[1，＋∞）. （2）证明：由题知 a＋b≥1， 又 a2 a＋2b ＋ b2 2a＋b （a＋2b＋2a＋b）≥（a＋b）2， 所以 a2 a＋2b ＋ b2 2a＋b ≥ 1 3 （a＋b）≥ 1 3 . 2.（2021·皖南八校第二次联考）已知函数 f（x）＝|x－2|＋|2x＋4|. （1）解不等式 f（x）≥－3x＋4； （2）若函数 f（x）的最小值为 a，且 m＋n＝a（m>0，n>0），求 1 m ＋ 1 n 的最小值. 解析：（1）f（x）＝|x－2|＋|2x＋4|＝ －3x－2，x2. 当 x2 时，由 3x＋2≥－3x＋4，得 x≥ 1 3 ，可得 x>2. ∴不等式的解集为 x|x≥－ 1 2 . （2）根据函数 f（x）＝ －3x－2，x2， 可知当 x＝－2 时，函数 f（x）取得最小值 f（－ 2）＝4，则 a＝4. ∴m＋n＝4，m>0，n>0. ∴ 1 m ＋ 1 n ＝ 1 4 （m＋n） 1 m ＋ 1 n ＝ 1 4 1＋1＋ n m ＋ m n ≥ 1 4 （2＋2）＝1. 当且仅当 n m ＝ m n ，即 m＝n＝2 时取“＝”. ∴ 1 m ＋ 1 n 的最小值为 1.