2022版高考数学一轮复习高考大题规范解答系列六_概率与统计学案新人教版

高考 1 / 19 高考大题规 X 解答系列(六)——概率与统计 考点一 离散型随机变量的分布列与期望 例 1(2021·某某联考)已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白 球，球除颜色外完全相同．现从甲盒中任取三个球放入乙盒中． (1)求乙盒中红球个数 X 的分布列与期望； (2)求从乙盒中任取一球是红球的概率． 【标准答案】——规 X 答题 步步得分 (1)由题意知 X 的可能取值为 0,1,2,3. P(X＝0)＝ C0 3C3 3 C3 6 ＝ 1 20 ，P(X＝1)＝ C1 3C2 3 C3 6 ＝ 9 20 ，2 分 得分点① P(X＝2)＝ C2 3C1 3 C3 6 ＝ 9 20 ，P(X＝3)＝ C3 3C0 3 C3 6 ＝ 1 20 ，4 分 得分点② 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 20 9 20 9 20 1 20 5 分 得分点③ 所以 E(X)＝0× 1 20 ＋1× 9 20 ＋2× 9 20 ＋3× 1 20 ＝ 3 2 .6 分 得分点④ (2)当乙盒中红球个数为 0 时，P1＝0，7 分 得分点⑤ 当乙盒中红球个数为 1 时，P2＝ 9 20 × 1 6 ＝ 3 40 ，8 分 得分点⑥ 当乙盒中红球个数为 2，P3＝ 9 20 × 2 6 ＝ 3 20 ，9 分 得分点⑦ 当乙盒中红球个数为 3 时，P4＝ 1 20 × 3 6 ＝ 1 40 ，10 分 得分点⑧ 高考 2 / 19 所以从乙盒中任取一球是红球的概率为 P1＋P2＋P3＋P4＝ 1 4 .12 分 得分点⑨ 【评分细则】 (1)第一问中，正确算出 P(X＝0)，P(X＝1)，P(X＝2)，P(X＝3)各得 1 分，列出分布列 得 1 分，求出期望得 1 分． (2)第二问中，分类讨论，每种情况各占 1 分． (3)其他方法按步骤酌情给分． 例 2(2019·课标Ⅰ，21)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪 种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试 验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安 排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验， 并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白 鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得 1 分，乙药得－1 分；若施以乙药的白鼠治愈且 施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得 1 分，甲药得－1 分；若都治愈或都未治愈，则两种药均 得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为 X. (1)求 X 的分布列； (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝ 1,2，…，7)，其中 a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8. ①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列； ②求 p4，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性． 【标准答案】——规 X 答题 步步得分 (1)X 的所有可能取值为－1,0,1. P(X＝－1)＝(1－α)β， P(X＝0)＝αβ＋(1－α)·(1－β)， P(X＝1)＝α(1－β)． 高考 3 / 19 所以 X 的分布列为 X －1 0 1 P (1－α)β αβ＋(1－α)(1－β) α(1－β) 4 分 得分点① (2)①由(1)得 a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.5 分 得分点② 因此 pi＝0.4Pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1， 故 0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)， 即 pi＋1－pi＝4(pi－pi－1).6 分 得分点③ 又因为 p1－p0＝p1≠0， 所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为 4，首项为 p1 的等比数列.7 分 得分点④ ②由①可得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0 ＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝ 48－1 3 p1. 由于 p8＝1，故 p1＝ 3 48－1 ， 所以 p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0) ＝ 44－1 3 p1＝ 1 257 .10 分 得分点⑤ p4 表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药 治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4＝ 1 257 ≈0.003 9，11 分 得分点⑥ 此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.12 分 得分点⑦ 【评分细则】 ①每个式子 1 分，表格 1 分；给出 X 的可能取值给 1 分； 高考 4 / 19 ②得出 a、b、c 的值(有正确的)得 1 分； ③得到 Pi＋1－Pi＝4(Pi－Pi－1)得 1 分； ④给出结论得 1 分； ⑤得出 P8，P4，P1 的表达式各得 1 分； ⑥说明 P4 非常小得 1 分； ⑦说明实验方案合理得 1 分． 【名师点评】 1．核心素养：本题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的期望、方差的应用、二 项分布、决策问题等，考查数据处理能力、运算求解能力，考查或然与必然思想，考查的核 心素养的逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析． 2．解题技巧：破解此类题的关键：一是认真读题，读懂题意；二是会利用导数求最值； 三是会利用公式求服从特殊分布的离散型随机变量的期望值；四是会利用期望值，解决决策 型问题． 〔变式训练 1〕 (2021·某某五市十校教研教改共同体联考)某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预 防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答．竞答分为必答题(共 5 题)和选答题(共 2 题)两部分．每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响．已知 甲同学答对每道必答题的概率为 4 5 ，答对每道选答题的概率为 2 5 . (1)求甲恰好答对 4 道必答题的概率； (2)在选答阶段，若选择回答且答对奖励 5 分，答错扣 2 分，选择放弃回答得 0 分．已 知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为 1 2 ，试求甲同学在选答题阶段， 得分 X 的分布列． [解析](1)甲恰好答对 4 道必答题的概率为 高考 5 / 19 P＝C4 5 4 5 4× 1 5 ＝ 256 625 . (2)依题意，每道题选择回答并答对的概率为 1 2 × 2 5 ＝ 1 5 ， 选择回答且答错的概率为 1 2 × 3 5 ＝ 3 10 ， 选择放弃回答的概率为 1 2 . 甲得分的可能性为－4 分，－2 分，0 分，3 分，5 分和 10 分． 所以 P(X＝－4)＝ 9 100 ， P(X＝－2)＝C1 2 1 2 × 1 2 × 3 5 ＝ 3 10 ， P(X＝0)＝ 1 2 × 1 2 ＝ 1 4 ， P(X＝3)＝C1 2 1 2 × 1 2 × 2 5 × 3 5 ＝ 3 25 ， P(X＝5)＝C1 2 1 2 × 1 2 × 2 5 ＝ 1 5 ， P(X＝10)＝ 1 2 × 1 2 × 2 5 2＝ 1 25 . 所以 X 的分布列为 X －4 －2 0 3 5 10 P 9 100 3 10 1 4 3 25 1 5 1 25 考点二 线性回归分析 例 3(2018·全国 2)下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资 y(单位： 亿元)的折线图． 高考 6 / 19 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回 归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2，…，17)建立模型①； y^＝－30.4＋13.5t，根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2，…，7)建 立模型②：y^＝99＋17.5t. (1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【分析】(1)模型①中取 t＝19，模型②中取 t＝9，求出对应的函数值即可；(2)利用所 给折线图中数据的增长趋势，加以分析即可． 【标准答案】——规 X 答题 步步得分 (1)利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元).3 分 得分点① 利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元).6 分 得分点② (2)利用模型②得到的预测值更可靠． 8 分 得分点③ 理由如下： (i)从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y＝－ 30.4＋13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描 述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增 高考 7 / 19 加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境 基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模 型y^＝99＋17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利 用模型②得到的预测值更可靠． (ii)从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到的 预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利 用模型②得到的预测值更可靠． (以上给出了 2 种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可得分) 12 分 得分点④ 【评分细则】 ①根据模型①求出预测值给 3 分； ②根据模型②求出预测值给 3 分； ③判断模型②得到的预测值更可靠给 2 分； ④作出正确的判断，写出合理理由，给 4 分； 【名师点评】 1．核心素养：本题主要考查线性回归方程的实际应用，考查考生的应用意识，分析问 题与解决问题的能力以及运算求解能力，考查数学的核心素养是数据分析、数学建模、数学 运算． 2．解题技巧：统计中涉及的图形较多、常见的有条形统计图、折线图、茎叶图、频率 分布直方图、应熟练地掌握这些图形的特点，提高识图与用图的能力． 〔变式训练 2〕 (2021·某某某某质检)经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数 x(0