2022版高考数学一轮复习课后限时集训13指数与指数函数含解析

课后限时集训(十三) 指数与指数函数 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．设 a＞0，将 a2 a· 3 a2 表示成分数指数幂的形式，其结果是( ) C [ .故选 C.] 2．已知函数 f(x)＝4＋2ax－1 的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是( ) A．(1,6) B．(1,5) C．(0,5) D．(5,0) A [由于函数 y＝ax 的图象过定点(0,1)， 当 x＝1 时，f(x)＝4＋2＝6， 故函数 f(x)＝4＋2ax－1 的图象恒过定点 P(1,6)．] 3．设 a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是( ) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a C [y＝0.6x 在 R 上是减函数，又 0.6＜1.5， ∴0.60.6＞0.61.5.又 y＝x0.6 为 R 上的增函数， ∴1.50.6＞0.60.6，∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5，即 c＞a＞b.] 4．函数 y＝ xax |x| (0＜a＜1)的图象的大致形状是( ) A B C D D [函数的定义域为{x|x≠0}，所以 y＝ xax |x| ＝ ax，x＞0， －ax，x＜0， 当 x＞0 时，函数是指数 函数 y＝ax，其底数 0＜a＜1，所以函数递减；当 x＜0 时，函数 y＝－ax 的图象与指数函数 y ＝ax(0＜a＜1)的图象关于 x 轴对称，所以函数递增，所以应选 D.] 5．(多选)设指数函数 f(x)＝ax(a＞0 且 a≠1)，则下列等式中正确的是( ) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ f x f y C．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*) ABC [f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A 正确； f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝ ax ay ＝ f x f y ，B 正确； f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，C 正确； [f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D 不正确．] 6．函数 f(x)＝ 1 2 x2－2x 的单调递减区间为( ) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C C．(－∞，1) D．(－∞，－1) B [令 t＝x2－2x，由 y＝ 1 2 t 为减函数知 f(x)＝ 1 2 x2－2x 的单调递减区间为 t＝x2－2x 的 单调递增区间．又 t＝x2－2x＝(x－1)2－1，则函数 t 的单调递增区间为(1，＋∞)，即 f(x)的 单调递减区间为(1，＋∞)，故选 B.] 二、填空题 7．若函数 f(x)＝a|2x－4|(a＞0，a≠1)满足 f(1)＝ 1 9 ，则 f(x)的单调递减区间是________． [2，＋∞) [由 f(1)＝ 1 9 得 a2＝ 1 9 ， 所以 a＝ 1 3 或 a＝－ 1 3 (舍去)，即 f(x)＝ 1 3 |2x－4|. 由于 y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以 f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．] 8．不等式 2－x2＋2x＞ 1 2 x＋4 的解集为________． (－1,4) [原不等式等价为 2－x2＋2x＞2－x－4， 又函数 y＝2x 为增函数，∴－x2＋2x＞－x－4， 即 x2－3x－4＜0，∴－1＜x＜4.] 9．若直线 y1＝2a 与函数 y2＝|ax－1|(a＞0 且 a≠1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范 围是________． 0， 1 2 [(数形结合法)当 0＜a＜1 时，作出函数 y2＝|ax－ 1|的 图象， 由图象可知 0＜2a＜1， ∴0＜a＜ 1 2 ； 同理，当 a＞1 时，解得 0＜a＜ 1 2 ，与 a＞1 矛盾． 综上，a 的取值范围是 0， 1 2 .] 三、解答题 10．已知关于 x 的函数 f(x)＝2x＋(a－a2)·4x，其中 a∈R. (1)当 a＝2 时，求满足 f(x)≥0 的实数 x 的取值范围； (2)若当 x∈(－∞，1]时，函数 f(x)的图象总在直线 y＝－1 的上方，求 a 的整数值． [解] (1)当 a＝2 时，f(x)＝2x－2·4x≥0， 即 2x≥22x＋1，x≥2x＋1，x≤－1. 故实数 x 的取值范围是(－∞，－1]． (2)f(x)＞－1 在 x∈(－∞，1]上恒成立， 即 a－a2＞－ 1 4 x＋ 1 2 x 在 x∈(－∞，1]上恒成立． 因为函数 1 4 x 和 1 2 x 在 x∈(－∞，1]上均为单调递减函数，所以－ 1 4 x＋ 1 2 x 在(－∞， 1]上为单调递增函数， 最大值为－ 1 4 1＋ 1 2 1 ＝－ 3 4 . 因此 a－a2＞－ 3 4 ，解得－ 1 2 ＜a＜ 3 2 . 故实数 a 的整数值是 0,1. 11.函数 y＝F(x)的图象如图所示，该图象由指数函数 f(x)＝ax 与幂 函数 g(x)＝xb“拼接”而成． (1)求 F(x)的解析式； (2)比较 ab 与 ba 的大小； (3)若(m＋4)－b＜(3－2m)－b，求 m 的取值范围． [解] (1)依题意得 a ＝ 1 2 ， 1 4 b＝ 1 2 ， 解得 a＝ 1 16 ， b＝ 1 2 ， 所以 F(x)＝ 1 16 x，x≤ 1 4 ， x ，x＞ 1 4 . (2)因为 ab＝ 1 16 ＝ 1 2 2，ba＝ 1 2 ， 指数函数 y＝ 1 2 x 在 R 上单调递减， 所以 1 2 2＜ 1 2 ，即 ab＜ba. (3)由(m＋4) ＜(3－2m) ，得 m＋4＞0， 3－2m＞0， m＋4＞3－2m， 解得－ 1 3 ＜m＜ 3 2 ， 所以 m 的取值范围是 － 1 3 ， 3 2 . 1．(2019·全国卷Ⅱ)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面 软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问 题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着 围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行．L2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量 为 M1，月球质量为 M2，地月距离为 R，L2 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引 力定律，r 满足方程： M1 R＋r 2 ＋ M2 r2 ＝(R＋r) M1 R3 . 设α＝ r R ，由于α的值很小，因此在近似计算中 3α3＋3α4＋α5 1＋α 2 ≈3α3，则 r 的近似值为( ) A. M2 M1 R B． M2 2M1 R C. 3 3M2 M1 R D． 3 M2 3M1 R D [由 M1 R＋r 2 ＋ M2 r2 ＝(R＋r) M1 R3 ，得 M1 1＋ r R 2 ＋ M2 r R 2 ＝ 1＋ r R M1.因为α＝ r R ，所以 M1 1＋α 2 ＋ M2 α2 ＝(1＋α)M1，得 3α3＋3α4＋α5 1＋α 2 ＝ M2 M1 .由 3α3＋3α4＋α5 1＋α 2 ≈3α3，得 3α3≈ M2 M1 ，即 3 r R 3≈ M2 M1 ，所以 r≈ 3 M2 3M1 ·R，故选 D.] 2．已知函数 f(x)＝ex－ 1 ex ，其中 e 是自然对数的底数，则关于 x 的不等式 f(2x－1)＋f(－ x－1)＞0 的解集为( ) A． －∞，－ 4 3 ∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C． －∞， 4 3 ∪(2，＋∞) D．(－∞，2) B [函数 f(x)＝ex－ 1 ex 的定义域为 R， ∵f(－x)＝e－x－ 1 e－x ＝ 1 ex －ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，那么不等式 f(2x－1)＋f(－x－1) ＞0 等价于 f(2x－1)＞－f(－x－1)＝f(1＋x)，易证 f(x)是 R 上的单调递增函数，∴2x－1＞x ＋1，解得 x＞2，∴不等式 f(2x－1)＋f(－x－1)＞0 的解集为(2，＋∞)．] 3．已知定义域为 R 的函数 f(x)＝ －2x＋b 2x＋1＋a 是奇函数． (1)求 a，b 的值； (2)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0 恒成立，求 k 的取值范围． [解] (1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0，即 －1＋b 2＋a ＝0，解得 b＝1， 所以 f(x)＝ －2x＋1 2x＋1＋a . 又由 f(1)＝－f(－1)知 －2＋1 4＋a ＝－ － 1 2 ＋1 1＋a ，解得 a＝2. (2)由(1)知 f(x)＝ －2x＋1 2x＋1＋2 ＝－ 1 2 ＋ 1 2x＋1 ， 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数，又因为 f(x)是奇函数，从而不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k) ＜0 等价于 f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因为 f(x)是 R 上的减函数，由上式推得 t2－2t＞－2t2＋k. 即对一切 t∈R 有 3t2－2t－k＞0， 从而Δ＝4＋12k＜0，解得 k＜－ 1 3 . 故 k 的取值范围为 －∞，－ 1 3 . 1．(多选)(2020·福建厦门质检改编)已知函数 f(x)＝ －2－x＋a，x＜0， 2x－a，x＞0 (a∈R)，下列 结论正确的是( ) A．f(x)为奇函数 B．若 f(x)在定义域上是增函数，则 a≤1 C．若 f(x)的值域为 R，则 a＜1 D．当 a≤1 时，若 f(x)＋f(3x＋4)＞0，则 x∈(－1,0)∪(0，＋∞) ABD [当 x＜0 时，－x＞0，f(x)＝－2－x＋a，f(－x)＝2－x－a＝－(－2－x＋a)＝－f(x)； 当 x＞0 时，－x＜0，f(x)＝2x－a，f(－x)＝－2x＋a＝－(2x－a)＝－f(x)．则函数 f(x)为奇函 数，故 A 正确． 若 f(x)在定义域上是增函数，则－2－0＋a≤20－a，即 a≤1，故 B 正确． 当 x＜0 时，f(x)＝－2－x＋a 在区间(－∞，0)上单调递增，此时值域为 (－∞，a－1)；当 x＞0 时，f(x)＝2x－a 在区间(0，＋∞)上单调递增，此时值域为(1－a，＋ ∞)．要使得 f(x)的值域为 R，则 a－1＞1－a，即 a＞1，故 C 错误． 当 a≤1 时，由于－2－0＋a≤20－a，则函数 f(x)在定义域上是增函数，由 f(x)＋f(3x＋4) ＞0，得 f(x)＞f(－3x－4)，则 x≠0， －3x－4≠0， x＞－3x－4， 解得 x∈(－1,0)∪(0，＋∞)，故 D 正确．故 选 ABD.] 2．定义在 D 上的函数 f(x)，如果满足：对任意 x∈D，存在常数 M＞0，都有|f(x)|≤M 成立，则称 f(x)是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数 f(x)的上界，已知函数 f(x)＝ 1 4x ＋ a 2x ＋1. (1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数 f(x)在(－∞，0)上是不是 有界函数，请说明理由； (2)若函数 f(x)在[0，＋∞)上是以 3 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围． [解] (1)设 y＝f(x)＝ 1 4x ＋ a 2x ＋1. 当 a＝－1 时，y＝f(x)＝ 1 2 2x－ 1 2 x＋1(x＜0)， 令 t＝ 1 2 x，x＜0，则 t＞1， y＝t2－t＋1＝ t－ 1 2 2＋ 3 4 ， ∴y＞1，即函数 f(x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)， ∴不存在常数 M＞0，使得|f(x)|≤M 成立． ∴函数 f(x)在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f(x)|≤3 对 x∈[0，＋∞)恒成立， 即－3≤f(x)≤3 对 x∈[0，＋∞)恒成立， 令 t＝ 1 2 x，x≥0，则 t∈(0,1]． ∴－ t＋ 4 t ≤a≤ 2 t －t 对 t∈(0,1]恒成立， ∴ － t＋ 4 t max≤a≤ 2 t －t min. 设 h(t)＝－ t＋ 4 t ，p(t)＝ 2 t －t，t∈(0,1]， ∵h(t)在(0,1]上递增，p(t)在(0,1]上递减， ∴h(t)在(0,1]上的最大值为 h(1)＝－5，p(t)在(0,1]上的最小值为 p(1)＝1. ∴实数 a 的取值范围为[－5,1].