2022版高考数学一轮复习课后限时集训8函数及其表示含解析 (1)

课后限时集训(八) 函数及其表示 建议用时：25 分钟 一、选择题 1．函数 f(x)＝log2(1－2x)＋ 1 x＋1 的定义域为( ) A． 0， 1 2 B． －∞， 1 2 C．(－1,0)∪ 0， 1 2 D．(－∞，－1)∪ －1， 1 2 D [由 1－2x＞0，且 x＋1≠0，得 x＜ 1 2 且 x≠－1，所以函数 f(x)＝log2(1－2x)＋ 1 x＋1 的 定义域为(－∞，－1)∪ －1， 1 2 .] 2．(多选)(2020·浙江杭州月考)下列说法正确的是( ) A．f(x)＝ |x| x 与 g(x)＝ 1，x≥0， －1，x＜0 表示同一函数 B．函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 的交点最多有 1 个 C．f(x)＝x2－2x＋1 与 g(t)＝t2－2t＋1 是同一函数 D．若 f(x)＝|x－1|－|x|，则 f f 1 2 ＝0 BC [对于 A，由于函数 f(x)＝ |x| x 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，而函数 g(x)＝ 1，x≥0， －1，x＜0 的定义域是 R，所以二者不是同一函数，故错误；对于 B，若 x＝1 不是 y＝f(x) 定义域内的值，则直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象没有交点，若 x＝1 是 y＝f(x)定义域内的值，则 由函数的定义可知，直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象只有一个交点，故 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 最多有一个交点，故正确；对于 C，f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以 f(x) 和 g(t)表示同一函数，故正确；对于 D，由于 f 1 2 ＝|1 2 －1|－|1 2|＝0，所以 f f 1 2 ＝f(0)＝1，故错误．综上可知，选 BC.] 3．已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝x＋2，则 f(x)＝( ) A．x＋1 B．2x－1 C．－x＋1 D．x＋1 或－x－1 A [设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，则由 f[f(x)]＝x＋2，可得 k(kx＋b)＋b＝x＋2，即 k2x＋kb ＋b＝x＋2，∴k2＝1，kb＋b＝2.解得 k＝－1 时，b 无解，k＝1 时，b＝1，所以 f(x)＝x＋1. 故选 A.] 4．已知函数 f(x)＝ 2x，x≤1， log3 x－1 ，x＞1， 且 f(x0)＝1，则 x0＝( ) A．0 B．4 C．0 或 4 D．1 或 3 C [当 x0≤1 时，由 f(x0)＝2x0＝1，得 x0＝0(满足 x0≤1)；当 x0＞1 时，由 f(x0)＝log3(x0 －1)＝1，得 x0－1＝3，则 x0＝4(满足 x0＞1)，故选 C.] 5．(多选)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)＋g(x)＝ax－ a－x＋2(a＞0 且 a≠1)，若 g(2)＝a，则下列结论正确的是( ) A．a 的值为 2 B．函数 f(x)的解析式为 f(x)＝a－x－ax C．函数 g(x)的解析式为 g(x)＝2 D．函数 f(x2＋2x)的单调递增区间为(－1，＋∞) ACD [依题意得 f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2①， f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2＝－f(x)＋g(x)②， ①－②得 f(x)＝ax－a－x，g(x)＝2. 又 g(2)＝a，所以 a＝2，f(x)＝2x－2－x，f(x)在 R 上单调递增． 所以函数 f(x2＋2x)的单调递增区间为(－1，＋∞)．故选 ACD.] 6．(2020·潍坊模拟)设函数 f(x)＝ 3x－b，x＜1， 2x，x≥1. 若 f f 5 6 ＝4，则 b＝ ( ) A．1 B． 7 8 C． 3 4 D． 1 2 D [f 5 6 ＝3× 5 6 －b＝ 5 2 －b，若 5 2 －b＜1，即 b＞ 3 2 时，则 f f 5 6 ＝f 5 2 －b ＝3 5 2 －b －b＝4，解得 b＝ 7 8 ，不符合题意舍去．若 5 2 －b≥1，即 b≤ 3 2 ，则 2 5 2 －b＝4，解得 b＝ 1 2 ，符 合题意．故选 D.] 二、填空题 7．已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 2 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则 f[g(1)]的值为________；满足 f[g(x)]＞g[f(x)]的 x 的值是________． 1 2 [∵g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1. 当 x＝1 时，f[g(1)]＝1，g[f(1)]＝g(2)＝2，不满足 f[g(x)]＞g[f(x)]； 当 x＝2 时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1， 满足 f[g(x)]＞g[f(x)]； 当 x＝3 时，f[g(3)]＝f(1)＝2，g[f(3)]＝g(1)＝3， 不满足 f[g(x)]＞g[f(x)]， ∴当 x＝2 时，f[g(x)]＞g[f(x)]成立．] 8．已知函数 f(x)＝ 3，x＜ 1 2 1 x ，x≥ 1 2 ， 则不等式 x2·f(x)＋x－2≤0 的解集是____． {x|－1≤x≤1} [由题意得 x＜ 1 2 ， 3x2＋x－2≤0 或 x≥ 1 2 ， x2· 1 x ＋x－2≤0， 即 x＜ 1 2 ， －1≤x≤ 2 3 或 x≥ 1 2 ， x≤1， 解得－1≤x＜ 1 2 或 1 2 ≤x≤1，即－1≤x≤1.] 9．(2020·泰安模拟)已知函数 f(x)＝ x 2x－4x ，则函数 f x－1 x＋1 的定义域为________． (－∞，－1)∪(－1,1) [由 2x－4x＞0 得 2x＜1，解得 x＜0，即函数 f(x)的定义域为(－∞， 0)．若函数 f x－1 x＋1 有意义，则 x－1＜0， x＋1≠0， 解得 x＜1 且 x≠－1，即函数 f x－1 x＋1 的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．] 三、解答题 10.设函数 f(x)＝ ax＋b，x＜0， 2x，x≥0， 且 f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)在如图所示的直角坐标系中画出 f(x)的图象． [解] (1)由 f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得 －2a＋b＝3， －a＋b＝2， 解得 a＝－1， b＝1， 所以 f(x)＝ －x＋1，x＜0， 2x，x≥0. (2)函数 f(x)的图象如图所示． 11．行驶中的汽车在刹车时由于惯性，要继续往前滑行一 段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某 种型号汽车的刹车距离 y(m)与汽车的车速 x(km/h)满足下列关 系：y＝ x2 200 ＋mx＋n(m，n 是常数)．如图是根据多次试验数据绘制的刹车距离 y(m)与汽车 的车速 x(km/h)的关系图． (1)求出 y 关于 x 的函数解析式； (2)如果要求刹车距离不超过 25.2 m，求行驶的最大速度． [解] (1)由题意及函数图象， 得 402 200 ＋40m＋n＝8.4， 602 200 ＋60m＋n＝18.6， 解得 m＝ 1 100 ，n＝0，所以 y＝ x2 200 ＋ x 100 (x≥0)． (2)令 x2 200 ＋ x 100 ≤25.2，得－72≤x≤70. ∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是 70 km/h. 1．根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为 f(x)＝ C x ，x＜A C A ，x≥A (A，C 为常数)，已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品 用时 15 分钟，那么 C 和 A 的值分别是( ) A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16 D [由题意知 A＞4，从而 f(4)＝ C 4 ＝30，解得 C＝60，又 f(A)＝ 60 A ＝15，解得 A＝ 16，故选 D.] 2．(多选)(2020·山东月考)设函数 f(x)的定义域为 D，∀x∈D，∃y∈D，使得 f(y)＝－f(x)成立，则称 f(x)为“美丽函数”．下列所给出的函数中，是“美丽函数”的是( ) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝ 1 x－1 C．f(x)＝ln(2x＋3) D．f(x)＝2x＋3 BCD [函数 f(x)的定义域为 D，∀x∈D，∃y∈D，使得 f(y)＝－f(x)成立，所以函数 f(x) 的值域关于原点对称． 对于选项 A，函数 f(x)＝x2 的值域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不符合题意； 对于选项 B，函数 f(x)＝ 1 x－1 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，符合题意； 对于选项 C，函数 f(x)＝ln(2x＋3)的值域为 R，关于原点对称，符合题意； 对于选项 D，函数 f(x)＝2x＋3 的值域为 R，关于原点对称，符合题意．故选 BCD.] 3．设函数 f(x)对 x≠0 的一切实数均有 f(x)＋2f 2 021 x ＝3x，则 f(2 021)＝________. －2 019 [法一：分别令 x＝1 和 x＝2 021 得 f 1 ＋2f 2 021 ＝3， f 2 021 ＋2f 1 ＝6 063， 解得 f(2 021)＝－2 019. 法二：由 f(x)＋2f 2 021 x ＝3x，得 f 2 021 x ＋2f(x)＝ 6 063 x ， 解方程组 f x ＋2f 2 021 x ＝3x， f 2 021 x ＋2f x ＝ 6 063 x ， 得 f(x)＝ 4 042 x －x， ∴f(2 021)＝ 4 042 2 021 －2 021＝－2 019.] 4．已知函数 f(x)＝ 2x，x＞0 －x2－2x＋1，x≤0， 则 f(f(－2))＝________，若 f(f(a))＝4，则 a ＝________. 2 ±1 [f(－2)＝－(－2)2－2×(－2)＋1＝1， 则 f(f(－2))＝f(1)＝21＝2. 令 m＝f(a)，则 f(m)＝4，当 m＞0 时，由 2m＝4，解得 m＝2， 当 m≤0 时，－m2－2m＋1＝4，即 m2＋2m＋3＝0.此方程无实数解．故 f(a)＝2，当 a ＞0 时，由 2a＝2，解得 a＝1. 当 a＜0 时，由－a2－2a＋1＝2，解得 a＝－1，综上知 a＝±1.]