2022版高考数学一轮复习课后限时集训7基本不等式含解析

课后限时集训(七) 基本不等式 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．(多选)(2020·山东淄博期中)下列表达式的最小值为 2 的有( ) A．当 ab＝1 时，a＋b B．当 ab＝1 时， b a ＋ a b C．a2－2a＋3 D． a2＋2＋ 1 a2＋2 BC [对于 A，当 a，b 均为负值时，a＋b＜0，故当 ab＝1 时，a＋b 的最小值不为 2， A 错误；对于 B，因为 ab＝1，所以 a，b 同号，所以 b a ＞0， a b ＞0，所以 b a ＋ a b ≥2 b a · a b ＝2， 当且仅当 b a ＝ a b ，且 ab＝1，即 a＝b＝±1 时取等号，故当 ab＝1 时， b a ＋ a b 的最小值为 2，B 正确；对于 C，因为 a2－2a＋3＝(a－1)2＋2，所以当 a＝1 时，a2－2a＋3 取最小值 2，C 正 确；对于 D， a2＋2＋ 1 a2＋2 ≥2 a2＋2· 1 a2＋2 ＝2，当且仅当 a2＋2＝ 1 a2＋2 ， 即 a2＋2＝1 时取等号，但等号显然不成立，故 a2＋2＋ 1 a2＋2 的最小值不为 2，D 错误．故 选 BC.] 2．(多选)(2020·山东菏泽期中)设 a，b∈R，则下列不等式一定成立的是 ( ) A．a2＋b2≥2ab B．a＋ 1 a ≥2 C．b2＋1≥2b D．|b a|＋|a b|≥2 ACD [对于 A，当 a，b∈R 时，a2＋b2≥2ab 成立，故 A 正确；对于 B，当 a＞0 时， a＋ 1 a ≥2，等号成立的条件是 a＝1，当 a＜0 时，a＋ 1 a ≤－2，等号成立的条件是 a＝－1，故 B 不正确；对于 C，当 b∈R 时，b2＋1－2b＝(b－1)2≥0，所以 b2＋1≥2b，故 C 正确；对 于 D，|b a|＞0，|a b|＞0，所以|b a|＋|a b|≥2 |b a|×|a b|＝2，当且仅 当|b a|＝|a b|，即 a2＝b2 时等号成立，故 D 正确．故选 ACD.] 3．设 0＜x＜2，则函数 y＝ x 4－2x 的最大值为( ) A．2 B． 2 2 C． 3 D． 2 D [∵0＜x＜2，∴4－2x＞0， ∴x(4－2x)＝ 1 2 ×2x(4－2x)≤ 1 2 × 2x＋4－2x 2 2＝ 1 2 ×4＝2. 当且仅当 2x＝4－2x，即 x＝1 时等号成立． 即函数 y＝ x 4－2x 的最大值为 2.] 4．已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则 y＝ 1 a ＋ 4 b 的最小值是( ) A. 7 2 B．4 C. 9 2 D．5 C [由 a＞0，b＞0，a＋b＝2 知 1 a ＋ 4 b ＝ 1 2 (a＋b) 1 a ＋ 4 b ＝ 1 2 5＋ b a ＋ 4a b ≥ 9 2 ，当且仅当 b a ＝ 4a b ，即 b＝2a＝ 4 3 时等号成立，故选 C.] 5．若 a＞b＞1，P＝ lg a·lg b，Q＝ 1 2 (lg a＋lg b)，R＝lg a＋b 2 ，则( ) A．R＜P＜Q B．Q＜P＜R C．P＜Q＜R D．P＜R＜Q C [∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0， 1 2 (lg a＋lg b)＞ lg a·lg b， 即 Q＞P.∵ a＋b 2 ＞ ab，∴lg a＋b 2 ＞lg ab＝ 1 2 (lg a＋lg b)＝Q，即 R＞Q，∴P＜Q＜R.] 6．(2020·福州模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元．若每批 生产 x 件，则平均仓储时间为 x 8 天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元．为使平均到每件产品 的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A．60 件 B．80 件 C．100 件 D．120 件 B [若每批生产 x 件产品，则每件产品的生产准备费用是 800 x 元，仓储费用是 x 8 元，总的 费用是 800 x ＋ x 8 ≥2 800 x · x 8 ＝20，当且仅当 800 x ＝ x 8 ，即 x＝80 时取等号．] 二、填空题 7．已知函数 y＝x＋ m x－2 (x＞2)的最小值为 6，则正数 m 的值为________． 4 [∵x＞2，∴x－2＞0， ∴y＝x＋ m x－2 ＝x－2＋ m x－2 ＋2≥2 x－2× m x－2 ＋2＝2 m＋2， 当且仅当 x－2＝ m x－2 ，即 x＝2＋ m时等号成立． 由题意知 2 m＋2＝6，解得 m＝4.] 8．(2018·天津高考)已知 a，b∈R，且 a－3b＋6＝0，则 2a＋ 1 8b 的最小值为________． 1 4 [由题知 a－3b＝－6，因为 2a＞0,8b＞0，所以 2a＋ 1 8b ≥2× 2a× 1 8b ＝2× 2a－3b＝ 1 4 ，当且仅当 2a＝ 1 8b ，即 a＝－3b，a＝－3，b＝1 时取等号．] 9．(2020·扬州模拟)已知正数 a，b 满足 a＋b＝1，则 b2＋2a ab 的最小值为________． 2＋2 2 [∵a＞0，b＞0，且 a＋b＝1， ∴ b2＋2a ab ＝ b a ＋ 2 b ＝ b a ＋ 2 a＋b b ＝ b a ＋ 2a b ＋2 ≥2 b a × 2a b ＋2＝2＋2 2. 当且仅当 b a ＝ 2a b a＋b＝1 即 a＝ 2－1，b＝2－ 2时等号成立． 因此 b2＋2a ab 的最小值为 2＋2 2.] 三、解答题 10．已知正实数 x，y 满足等式 1 x ＋ 3 y ＝2. (1)求 xy 的最小值； (2)若 3x＋y≥m2－m 恒成立，求实数 m 的取值范围． [解] (1)2＝ 1 x ＋ 3 y ≥2 3 xy ，即 xy≥3，当且仅当 x＝1，y＝3 时等号成立，所以 xy 的 最小值为 3. (2)3x＋y＝ 1 2 (3x＋y) 1 x ＋ 3 y ＝ 1 2 6＋ 9x y ＋ y x ≥ 1 2 6＋2 9x y · y x ＝6，当且仅当 x＝1，y＝3 时等号成立，即(3x＋y)min＝6，所以 m2－m≤6，所以－2≤m≤3. 11．已知 x>0，y>0，且 2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x＋y 的最小值． [解] (1)由 2x＋8y－xy＝0，得 8 x ＋ 2 y ＝1， 又 x>0，y>0， 则 1＝ 8 x ＋ 2 y ≥2 8 x · 2 y ＝ 8 xy ，得 xy≥64， 当且仅当 x＝16，y＝4 时，等号成立． 所以 xy 的最小值为 64. (2)由 2x＋8y－xy＝0，得 8 x ＋ 2 y ＝1， 则 x＋y＝ 8 x ＋ 2 y ·(x＋y)＝10＋ 2x y ＋ 8y x ≥10＋2 2x y · 8y x ＝18. 当且仅当 x＝12 且 y＝6 时等号成立， 所以 x＋y 的最小值为 18. 1．(多选)(2020·山东烟台期中)下列说法正确的是( ) A．若 x，y＞0，x＋y＝2，则 2x＋2y 的最大值为 4 B．若 x＜ 1 2 ，则函数 y＝2x＋ 1 2x－1 的最大值为－1 C．若 x，y＞0，x＋y＋xy＝3，则 xy 的最小值为 1 D．函数 y＝ 1 sin2x ＋ 4 cos2x 的最小值为 9 BD [对于 A，取 x＝ 3 2 ，y＝ 1 2 ，可得 2x＋2y＝3 2＞4，A 错误；对于 B，y＝2x＋ 1 2x－1 ＝－ 1－2x＋ 1 1－2x ＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当 x＝0 时等号成立，B 正确；对于 C，易知 x＝2，y＝ 1 3 满足等式 x＋y＋xy＝3，此时 xy＝ 2 3 ＜1，C 错误；对于 D，y＝ 1 sin2x ＋ 4 cos2x ＝ 1 sin2x ＋ 4 cos2x (sin2x＋cos2x)＝ cos2x sin2x ＋ 4sin2x cos2x ＋5≥2 4＋5＝9，当且仅当 cos2x＝ 2 3 ，sin2x ＝ 1 3 时等号成立，D 正确．故选 BD.] 2．(2020·北京朝阳区模拟)已知 x＞1，且 x－y＝1，则 x＋ 1 y 的最小值是________． 3 [∵x＞1 且 x－y＝1，∴y＝x－1＞0. ∴x＋ 1 y ＝x＋ 1 x－1 ＝(x－1)＋ 1 x－1 ＋1 ≥2 x－1· 1 x－1 ＋1＝3(当且仅当 x＝2 时取等号，此时 y＝1)．∴x＋ 1 y 的最小值为 3.] 3．经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y(L)与速度 x(km/h)(50≤x≤120) 的关系可近似表示为 y＝ 1 75 x2－130x＋4 900 ，x∈[50，80 ， 12－ x 60 ，x∈[80，120]. (1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？ (2)已知 A，B 两地相距 120 km，假定该型号汽车匀速从 A 地驶向 B 地，则汽车速度为 多少时总耗油量最少？ [解] (1)当 x∈[50,80)时，y＝ 1 75 (x2－130x＋4 900)＝ 1 75 [(x－65)2＋675]， 所以当 x＝65 时，y 取得最小值，最小值为 1 75 ×675＝9. 当 x∈[80,120]时，函数 y＝12－ x 60 单调递减， 故当 x＝120 时，y 取得最小值，最小值为 12－ 120 60 ＝10. 因为 9