2022版高考数学一轮复习高考大题规范解答系列三_数列学案含解析新人教版

高考 - 1 - / 7 高考大题规 X 解答系列(三)——数列 考点一 判断等差数列和等比数列 例 1(2017·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，已知 S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式； (2)求 Sn，并判断 Sn＋1，Sn，Sn＋2 是否成等差数列． 【分析】(1)看到 S2＝2，S3＝－6，想到 S2＝a1＋a2，S3＝a1＋a2＋a3，利用等比数列的 通项公式求解． (2)看到判断 Sn＋1，Sn，Sn＋2 是否成等差数列，想到等差数列的等差中项，利用 2Sn＝Sn ＋1＋Sn＋2 进行证明． 【标准答案】——规 X 答题 步步得分 (1)设{an}的首项为 a1，公比为 q. 由题设可得 a1 1＋q ＝2， a1 1＋q＋q2 ＝－6， 2 分…………………………………… 得分点① 解得 q＝－2，a1＝－2.4 分………………………………………………… 得分点② 故{an}的通项公式为 an＝(－2)n.6 分……………………………………… 得分点③ (2)由(1)可得 Sn＝ a1 1－qn 1－q ＝－ 2 3 ＋(－1)n2n＋1 3 ，8 分…………………… 得分点④ 由于 Sn＋2＋Sn＋1＝－ 4 3 ＋(－1)n2n＋3－2n＋2 3 ＝2 － 2 3 ＋ －1 n2n＋1 3 ＝2Sn，11 分……………………………………… 得分点⑤ 故 Sn＋1，Sn，Sn＋2 成等差数列.12 分……………………………………… 得分点⑥ 【评分细则】 ①列出关于首项为 a1，公比为 q 的方程组得 2 分． ②能够正确求出 a1 和 q 得 2 分，只求对一个得 1 分，都不正确不得分． 高考 - 2 - / 7 ③正确写出数列的通项公式得 2 分． ④正确计算出数列的前 n 项和得 2 分． ⑤能够正确计算出 Sn＋1＋Sn＋2 的值得 2 分，得出结论 2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2 再得 1 分． ⑥写出结论得 1 分． 【名师点评】 1．核心素养：数列问题是高考的必考题，求数列的通项公式及判断数列是否为等差或等 比数列是高考的常见题型．本类题型重点考查“逻辑推理”及“数学运算”的学科素养． 2．解题技巧：(1)等差(或等比)数列的通项公式、前 n 项和公式中有五个元素 a1、d(或 q)、n、an、Sn，“知三求二”是等差(等比)的基本题型，通过解方程的方法达到解题的目的． (2)等差、等比数列的判定可采用定义法、中项法等．如本题采用中项法得出 2Sn＝Sn＋1 ＋Sn＋2. 〔变式训练 1〕 (2021·某某省名校联盟模拟)已知数列{an}的前n 项和为Sn，且满足 2Sn＝－an＋n(n∈N*)． (1)求证：数列 an－ 1 2 为等比数列； (2)求数列{an－1}的前 n 项和 Tn. [解析](1)证明：∵2Sn＝－an＋n， 当 n＝1 时，2a1＝－a1＋1，解得 a1＝ 1 3 . 当 n≥2 时，2Sn－1＝－an－1＋n－1， 两式相减，得 2an＝－an＋an－1＋1， 即 an＝ 1 3 an－1＋ 1 3 . ∴an－ 1 2 ＝ 1 3 an－1－ 1 2 ， 高考 - 3 - / 7 又 a1－ 1 2 ＝－ 1 6 ≠0， ∴数列 an－ 1 2 为等比数列． (2)由(1)知，数列 an－ 1 2 是以－ 1 6 为首项， 1 3 为公比的等比数列． ∴an－ 1 2 ＝－ 1 6 1 3 n－1＝－ 1 2 1 3 n， ∴an＝－ 1 2 1 3 n＋ 1 2 ， ∴an－1＝－ 1 2 1 3 n－ 1 2 ， ∴Tn＝ － 1 6 1－ 1 3 n 1－ 1 3 － n 2 ＝ 1 4 1 3 n－1 － n 2 . 考点二 等差、等比数列的综合问题 例 2(2020·某某，19,15 分)已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a5 ＝5(a4－a3)，b5＝4(b4－b3)． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记{an}的前 n 项和为 Sn，求证：SnSn＋2