2022版高考数学一轮复习课后限时集训43直线平面垂直的判定及其性质含解析

课后限时集训(四十三) 直线、平面垂直的判定及其性质 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．已知直线 l⊥平面α，直线 m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是( ) A．l∥β或 l⊂β B．l∥m C．m⊥α D．l⊥m A [直线 l⊥平面α，α⊥β，则 l∥β或 l⊂β，A 正确，故选 A.] 2．(多选)(2020·山东泰安期末)已知α，β是两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直 线，则下列命题正确的是( ) A．若 m∥n，m⊥α，则 n⊥α B．若 m∥α，α∩β＝n，则 m∥n C．若 m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若 m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β ACD [易知 A 正确；对于 B，如图，设 m 为 AB，平面 A1B1C1D1 为平面α，m∥α，设平面 ADD1A1 为平面β，α∩β＝A1D1 为 n，则 m⊥n，故 B 错； 垂直于同一条直线的两个平面平行，故 C 对； 若 m⊥α，m∥n，则 n⊥α，又 n⊥β，则α∥β，故 D 对．故选 ACD.] 3.如图，在四面体 DABC 中，若 AB＝CB，AD＝CD，E 是 AC 的 中点，则下列结论正确的是( ) A．平面 ABC⊥平面 ABD B．平面 ABD⊥平面 BDC C．平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ADC⊥平面 BDE D．平面 ABC⊥平面 ADC，且平面 ADC⊥平面 BDE C [因为 AB＝CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE⊥AC，同理有 DE⊥AC，于是 AC⊥平 面 BDE.因为 AC 在平面 ABC 内，所以平面 ABC⊥平面 BDE.又由于 AC⊂平面 ACD，所以平 面 ACD⊥平面 BDE.] 4．(2020·南宁模拟)在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，且 PA＝AB＝2，则直线 PB 与平面 PAC 所成角为( ) A． π 6 B． π 4 C． π 3 D． π 2 A [连接 BD，交 AC 于点 O.因为 PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，所以 BD⊥AC，BD⊥PA.又因为 PA∩AC＝A，所以 BD⊥ 平面 PAC，故 BO⊥平面 PAC.连接 OP，则∠BPO 即为直线 PB 与平 面 PAC 所成角．又因为 PA＝AB＝2，所以 PB＝2 2，BO＝ 2.所 以 sin∠BPO＝ BO PB ＝ 1 2 ，所以∠BPO＝ π 6 .故选 A.] 5．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则( ) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC C [如图，∵A1E 在平面 ABCD 上的投影为 AE，而 AE 不与 AC，BD 垂直， ∴选项 B，D 错误； ∵A1E 在平面 BCC1B1 上的投影为 B1C，且 B1C⊥BC1， ∴A1E⊥BC1，故选项 C 正确； (证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又 CE∩B1C＝C， ∴BC1⊥平面 CEA1B1.又 A1E⊂平面 CEA1B1，∴A1E⊥BC1.) ∵A1E 在平面 DCC1D1 上的投影为 D1E，而 D1E 不与 DC1 垂直，故 选项 A 错误． 故选 C.] 6．(多选)(2020·安徽滁州月考)如图 1，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中 点，将△ADE，△CDF，△BEF 分别沿 DE，DF，EF 折起，使点 A，B，C 重合于点 P(如图 2)， 则下列结论正确的是( ) 图 1 图 2 A．PD⊥EF B．平面 PDE⊥平面 PDF C．二面角 PEFD 的余弦值为 1 3 D．点 P 在平面 DEF 上的正投影是△DEF 的外心 ABC [对于 A 选项，如图，取 EF 的中点 H，连接 PH，DH，由 题意知 PE＝PF，DE＝DF，故 PH⊥EF，DH⊥EF，又 PH∩DH＝H，所 以 EF⊥平面 PDH，所以 PD⊥EF，故 A 正确；根据折起前后的题图，可知 PE，PF，PD 三线 两两垂直，于是可证平面 PDE⊥平面 PDF，故 B 正确；根据 A 选项可知∠PHD 为二面角 P EFD 的平面角，设正方形 ABCD 的边长为 2，因此 PE＝PF＝1，PH＝ 2 2 ，HD＝2 2－ 2 2 ＝ 3 2 2 ，PD＝2，由余弦定理得，cos∠PHD＝ PH2＋HD2－PD2 2PH·HD ＝ 1 3 ，故 C 正确；由于 PE＝ PF≠PD，故点 P 在平面 DEF 上的正投影不是△DEF 的外心，故 D 错误．故选 ABC.] 二、填空题 7.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝BC＝2， 若该长方体的体积为 8 2，则直线 AC1 与平面 BB1C1C 所 成的角为________． 30° [连接 BC1(图略)，由 AB⊥平面 BB1C1C 知 ∠AC1B 就是直线 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角． 由 2×2×AA1＝8 2得 AA1＝2 2， ∴BC1＝ BC2＋CC2 1＝2 3， 在 Rt△AC1B 中，tan∠AC1B＝ AB BC1 ＝ 2 2 3 ＝ 3 3 ， ∴∠AC1B＝30°.] 8.四面体 PABC 中，PA＝PB＝PC，底面△ABC 为等腰直角三角 形，AC＝BC，O 为 AB 中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的 平面________．(只填序号) ①平面 PAB；②平面 ABC；③平面 PAC；④平面 PBC；⑤平面 POC. ②⑤(答案不唯一) [∵四面体 PABC 中，PA＝PB＝PC， 底面△ABC 为等腰直角三角形，AC＝BC，O 为 AB 中点， ∴CO⊥AB，PO⊥AB，CO∩ PO＝O， ∴AB⊥平面 POC.∵AB⊂平面 ABC, ∴平面 POC⊥平面 ABC， ∴两个相互垂直的平面为②⑤.] 9．在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝2，则点 A1 到平面 AB1D1 的距离是 ________． 2 3 [如图，△AB1D1 中，AB1＝AD1＝ 5，B1D1＝ 2， ∴△AB1D1 的边 B1D1 上的高为 5 2－ 2 2 2＝ 3 2 2 ， ∴S△AB1D1＝ 1 2 × 2× 3 2 2 ＝ 3 2 ， 设 A1 到平面 AB1D1 的距离为 h；则有 S△AB1D1×h＝S△A1B1D1×AA1， 即 3 2 h＝ 1 2 ×2，解得 h＝ 2 3 .] 三、解答题 10.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥ AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE. [证明] (1)在四棱锥 PABCD 中， ∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD. 又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， PA，AC⊂平面 PAC， ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C， PC，CD⊂平面 PCD， ∴AE⊥平面 PCD， 而 PD⊂平面 PCD， ∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，AB⊂平面 ABCD， ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD，且 PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面 PAD， 而 PD⊂平面 PAD， ∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A， AB，AE⊂平面 ABE， ∴PD⊥平面 ABE. 11．(2020·茂名一模)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1 ⊥平面 ABC，点 D 是 AB 的中点，BC＝AC，AB＝2DC＝2，AA1 ＝ 3. (1)求证：平面 A1DC⊥平面 ABB1A1； (2)求点 A 到平面 A1DC 的距离． [解] (1)证明：∵在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC， 点 D 是 AB 的中点，BC＝AC，CD⊂平面 ABC， ∴CD⊥AB，CD⊥AA1， ∵AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面 ABB1A1， ∵CD⊂平面 A1DC，∴平面 A1DC⊥平面 ABB1A1. (2)点 D 是 AB 的中点，BC＝AC，AB＝2DC＝2，AA1＝ 3. 设点 A 到平面 A1DC 的距离为 d， ∵VA1ACD＝VAA1CD， ∴ 1 3 ×S△ACD×AA1＝ 1 3 ×S△DCA1×d， ∴ 1 3 × 1 2 ×1×1× 3＝ 1 3 × 1 2 ×1×2×d， 解得 d＝ 3 2 ， ∴点 A 到平面 A1DC 的距离为 3 2 . 1．(多选)(2020·山东蒙阴实验中学期末)已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为矩形，侧 面 PCD⊥平面 ABCD，BC＝2 3，CD＝PC＝PD＝2 6.若点 M 为 PC 的中点，则下列说法 正确的是( ) A．BM⊥平面 PCD B．PA∥平面 MBD C．四棱锥 MABCD 外接球的表面积为 36π D．四棱锥 MABCD 的体积为 6 BC [由侧面 PCD⊥平面 ABCD，交线为 CD，BC⊥CD，得 BC⊥平面 PCD，过点 B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选 项 A 错误； 连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO， 在△PAC 中，OM∥PA，MO⊂平面 MBD，PA⊄ 平面 MBD， 所以 PA∥平面 MBD，所以选项 B 正确； 四棱锥 MABCD 的体积是四棱锥 PABCD 的体积的一半， 取 CD 中点 N，连接 PN， 则 PN⊥CD，则 PN⊥平面 ABCD，PN＝3 2， 故 VMABCD＝ 1 2 × 1 3 ×2 3×2 6×3 2＝12，所以选项 D 错误； 连接 ON，MN，矩形 ABCD 中，易得 AC＝6，OC＝3，ON＝ 3，在△PCD 中，有 NM＝ 1 2 PD＝ 6，在 Rt△MNO 中，MO＝ ON2＋MN2＝3，即 OM＝OA＝OB＝OC＝OD， 所以四棱锥 MABCD 外接球的球心为 O，半径为 3，所以其表面积为 36π，所以选项 C 正确．故 选 BC.] 2．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边 称为邪．在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为邪田，两畔 CD，AB 分别为 1,3，正广 AD 为 2 3，PD⊥平面 ABCD，则邪田 ABCD 的邪长为________；邪所在直线与平面 PAD 所成角的 大小为________． 4 π 6 [过点 C 作 CE⊥AB，垂足为 E，延长 AD，BC，使得 AD ∩BC＝F，如图所示．由题意可得 CE＝2 3，BE＝2，则 BC＝ 12＋4 ＝4，由题意知 AB⊥AD，CD∥AB，所以 DF AF ＝ CD AB ＝ 1 3 ，所以 DF＝ 3. 因为 PD⊥平面 ABCD，所以 PD⊥AB，又 AB⊥AD，所以 AB⊥平面 PAD，则∠AFB 是直线 BC 与平面 PAD 所成角的平面角， tan∠AFB＝ AB AF ＝ 3 3 3 ＝ 3 3 ，所以∠AFB＝ π 6 .] 3．(2020·郑州模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 是菱形，点 E 在线段 PC 上，PA∥平面 EBD. (1)证明：点 E 为线段 PC 中点； (2)已知 PA⊥平面 ABCD，∠ABC＝60°，点 P 到平面 EBD 的距离为 1，四棱锥 PABCD 的体积为 2 3，求 PA. [解] (1)证明：连接 AC，与 BD 相交于点 O，连接 EO， 则经过 PA 的平面 PAC 与平面 EBD 交线为 EO. 因为 PA∥平面 EBD，所以 PA∥EO. 因为四边形 ABCD 是菱形，所以 O 为 AC 的中点， 所以 EO 是△PAC 中位线，于是 E 为线段 PC 中点． (2)因为 PA∥平面 EBD， 所以点 A 到平面 EBD 的距离等于点 P 到平面 EBD 的距离等 于 1. 因为 PA⊥平面 ABCD，所以 EO⊥平面 ABCD， 所以平面 EBD⊥平面 ABCD， 平面 EBD∩平面 ABCD＝BD.因为 AO⊥BD， 所以 AO⊥面 EBD，因此 AO＝1. 因为∠ABC＝60°，所以四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，面积为 2×2×sin 60°＝2 3， 所以四棱锥 PABCD 的体积为 VPABCD＝ 1 3 ·2 3·PA， 由 1 3 ·2 3·PA＝2 3，得 PA＝3. 1．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P 为平面 ABC 外一点，PC＝2，点 P 到∠ACB 两 边 AC，BC 的距离均为 3，那么 P 到平面 ABC 的距离为________． 2 [如图，过点 P 作 PO⊥平面 ABC 于 O，则 PO 为 P 到平面 ABC 的距离． 再过 O 作 OE⊥AC 于 E，OF⊥BC 于 F， 连接 PC，PE，PF，则 PE⊥AC，PF⊥BC. 又 PE＝PF＝ 3，所以 OE＝OF， 所以 CO 为∠ACB 的平分线， 即∠ACO＝45°. 在 Rt△PEC 中，PC＝2，PE＝ 3，所以 CE＝1， 所以 OE＝1，所以 PO＝ PE2－OE2＝ 3 2－12＝ 2.] 2．(2020·月考)《九章算术》中，将底面为 长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面 都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马 PABCD 中，侧棱 PD⊥底面 ABCD，且 PD ＝CD，过棱 PC 的中点 E，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F，连接 DE，DF，BD，BE. (1)证明：PB⊥平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只 需写出结论)；若不是，说明理由； (2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 π 3 ，求 DC BC 的值． [解] (1)证明：因为 PD⊥底面 ABCD，所以 PD⊥BC， 由底面 ABCD 为长方形，有 BC⊥CD，而 PD∩CD＝D， 所以 BC⊥平面 PCD.而 DE⊂平面 PCD，所以 BC⊥DE. 又因为 PD＝CD，点 E 是 PC 的中点，所以 DE⊥PC. 而 PC∩BC＝C，所以 DE⊥平面 PBC.而 PB⊂平面 PBC，所以 PB⊥DE. 又 PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以 PB⊥平面 DEF. 由 DE⊥平面 PBC，PB⊥平面 DEF，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四 面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB. (2)如图，在面 PBC 内，延长 BC 与 FE 交于点 G，则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD 的交线．由(1)知，PB⊥平面 DEF， 所以 PB⊥DG. 又因为 PD⊥底面 ABCD，所以 PD⊥DG.而 PD∩PB＝P， 所以 DG⊥平面 PBD. 故∠BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角， 设 PD＝DC＝1，BC＝λ，有 BD＝ 1＋λ2， 在 Rt△PDB 中，由 DF⊥PB, 得 ∠DPF＝∠FDB＝ π 3 ， 则 tan π 3 ＝tan∠DPF＝ BD PD ＝ 1＋λ2＝ 3，解得λ＝ 2. 所以 DC BC ＝ 1 λ ＝ 2 2 . 故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 π 3 时， DC BC ＝ 2 2 .