2022版高考数学一轮复习课后限时集训49圆的方程含解析

课后限时集训(四十九) 圆的方程 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D [因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径 r＝ 12＋12＝ 2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y－1)2＝2，故选 D.] 2．(2020·西城二模)圆 x2＋y2＋4x－2y＋1＝0 截 x 轴所得弦的长度等于( ) A．2 B．2 3 C．2 5 D．4 B [令 y＝0 得 x2＋4x＋1＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－4，x1x2＝1. ∴|AB|＝ x1＋x2 2－4x1x2＝2 3.] 3．(2020·北京高考)已知半径为 1 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 A [设圆心 C(x，y)，则 x－3 2＋ y－4 2＝1， 化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1， 所以圆心 C 的轨迹是以 M(3,4)为圆心，1 为半径的圆， 所以|OC|＋1≥|OM|＝ 32＋42＝5，所以|OC|≥5－1 ＝4， 当且仅当 C 在线段 OM 上时取得等号，故选 A.] 4．(多选)若 P 是圆 C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1 上任一点，则点 P 到直线 y＝kx－1 距离的 值可以为( ) A．4 B．6 C．3 2＋1 D．8 ABC [如图．圆 C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1 的圆心坐 标 为(－3,3)，半径为 1，直线 y＝kx－1 过定点(0，－1)， 由 图可知，圆心 C 到直线 y＝kx－1 距离的最大值为 －3－0 2＋ 3＋1 2＝5，则点 P 到直线 y＝kx－1 距 离的最大值为 5＋1＝6.选项 ABC 中的值均符合，只有 D 不符合．故选 ABC.] 5．动点 A 在圆 x2＋y2＝1 上移动时，它与定点 B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( ) A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝4 C．(2x－3)2＋4y2＝1 D． x＋ 3 2 2＋y2＝ 1 2 C [设中点 M(x，y)，则动点 A(2x－3,2y)．∵点 A 在圆 x2＋y2＝1 上，∴(2x－3)2＋(2y)2 ＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.故选 C.] 6．(多选)(2020·山东青岛检测)已知圆 C 过点 M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列 叙述正确的是( ) A．满足条件的圆 C 的圆心在一条直线上 B．满足条件的圆 C 有且只有一个 C．点(2，－1)在满足条件的圆 C 上 D．满足条件的圆 C 有且只有两个，它们的圆心距为 4 2 ACD [因为圆 C 和两个坐标轴都相切，且过点 M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－ a)(a>0)，故圆心在直线 y＝－x 上，A 正确；圆 C 的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点 M 的 坐标代入可得 a2－6a＋5＝0，解得 a＝1 或 a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以 满足条件的圆 C 有且只有两个，故 B 错误；圆 C 的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2 ＋(y＋5)5＝25，将点(2，－1)代入可知满足圆的方程，故 C 正确；它们的圆心距为 5－1 2＋ －5＋1 2＝4 2，D 正确．] 二、填空题 7．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 关于直线 y＝x 对称的圆的方程为________． (x－2)2＋(y－1)2＝1 [设对称圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，圆心(1,2)关于直线 y＝x 的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.] 8．(2020·湖北随州期末)已知 O 为坐标原点，直线 l 与圆 x2＋y2－6y＋5＝0 交于 A，B 两点，|AB|＝2，点 M 为线段 AB 的中点．则点 M 的轨迹方程是________，|OA→ ＋OB→ |的取值 范围为________． x2＋(y－3)2＝3 [6－2 3，6＋2 3] [由题意，圆 x2＋y2－6y＋5＝0 的圆心为 C(0,3)， 半径 R＝2，设圆心到直线 l 的距离为 d，可得|AB|＝2 R2－d2，即 2＝2 4－d2，整理得 d ＝ 3，即|MC|＝ 3，所以点 M 的轨迹表示以 C(0,3)为圆心，以 3为半径的圆，所以点 M 的轨迹方程为 x2＋(y－3)2＝3.根据向量的运算可得|OA→ ＋OB→ |＝|2OM→ |＝2|OM→ |，又|OC|＝3， 所以|OC|－ 3≤|OM→ |≤|OC|＋ 3，即 3－ 3≤|OM→ |≤3＋ 3，所以 6－2 3≤2|OM→ |≤6＋ 2 3，即|OA→ ＋OB→ |的取值范围为[6－2 3，6＋2 3]．] 9．圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 上的点到直线 x－y＝2 距离的最大值是________． 2＋1 [将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为 1，则圆心到 直线 x－y＝2 的距离 d＝ |1－1－2| 2 ＝ 2，故圆上的点到直线 x－y＝2 距离的最大值为 d＋1 ＝ 2＋1.] 三、解答题 10．已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(－1,0)和 B(3,4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于 点 C 和 D，且|CD|＝4 10. (1)求直线 CD 的方程； (2)求圆 P 的方程． [解] (1)由已知得直线 AB 的斜率 k＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 所以直线 CD 的方程为 y－2＝－(x－1)， 即 x＋y－3＝0. (2)设圆心 P(a，b)，则由 P 在 CD 上得 a＋b－3＝0. ① 又直径|CD|＝4 10， 所以|PA|＝2 10. 所以(a＋1)2＋b2＝40. ② 由①②解得 a＝－3， b＝6 或 a＝5， b＝－2， 所以圆心 P(－3,6)或 P(5，－2)， 所以圆 P 的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40 或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 11.如图，等腰梯形 ABCD 的底边 AB 和 CD 长分别为 6 和 2 6， 高为 3. (1)求这个等腰梯形的外接圆 E 的方程； (2)若线段 MN 的端点 N 的坐标为(5,2)，端点 M 在圆 E 上运动，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程． [解] (1)由已知可知 A(－3,0)，B(3,0)，C( 6，3)，D(－ 6，3)， 设圆心 E(0，b)，由|EB|＝|EC|可知 (0－3)2＋(b－0)2＝(0－ 6)2＋(b－3)2，解得 b＝1. 所以 r2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10. 所以圆的方程为 x2＋(y－1)2＝10. (2)设 P(x，y)，由点 P 是 MN 中点，得 M(2x－5,2y－2)． 将 M 点代入圆的方程得(2x－5)2＋(2y－3)2＝10， 即 x－ 5 2 2＋ y－ 3 2 2＝ 5 2 . 1．(多选)(2020·山东德州期末)已知点 A 是直线 l：x＋y－ 2＝0 上一定点，点 P，Q 是 圆 x2＋y2＝1 上的动点，若∠PAQ 的最大值为 90°，则点 A 的坐标可以是( ) A．(0， 2) B．(1， 2－1) C．( 2，0) D．( 2－1,1) AC [原点 O 到直线 l 的距离为 d＝ 2 12＋12 ＝1，则直线 l 与圆 x2＋y2＝1 相切，当 AP， AQ 均为圆 x2＋y2＝1 的切线时，∠PAQ 取得最大值．连接 OP，OQ(图略)，由于∠PAQ 的最 大值为 90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，故四边形 APOQ 为正方形，所以|OA| ＝ 2|OP|＝ 2，设点 A 的坐标为(t， 2－t)，由两点间的距离公式得|OA|＝ t2＋ 2－t 2＝ 2，整理得 2t2－2 2t＝0，解得 t＝0 或 t＝ 2，因此，点 A 的坐标 为(0， 2)或( 2，0)．故选 AC.] 2．已知圆 C 截 y 轴所得的弦长为 2，圆心 C 到直线 l：x－2y＝0 的距离为 5 5 ，且圆 C 被 x 轴分成的两段弧长之比为 3∶1，则圆 C 的方程为________． (x＋1)2＋(y＋1)2＝2 或(x－1)2＋(y－1)2＝2 [设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则点 C 到 x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|. 由题意可知 r2＝2b2， r2＝a2＋1， |a－2b| 5 ＝ 5 5 ， ∴ a＝－1， b＝－1， r2＝2， 或 a＝1， b＝1， r2＝2. 故所求圆 C 的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 或(x－1)2＋(y－1)2＝2.] 3．动圆 C 与 x 轴交于 A(x1,0)，B(x2,0)两点，且 x1，x2 是方程 x2＋2mx－4＝0 的两根． (1)若线段 AB 是动圆 C 的直径，求动圆 C 的方程； (2)证明：当动圆 C 过点 M(0,1)时，动圆 C 在 y 轴上截得弦长为定值． [解] (1)∵x1，x2 是方程 x2＋2mx－4＝0 的两根， ∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝－4. ∵动圆 C 与 x 轴交于 A(x1,0)，B(x2,0)两点，且线段 AB 是动圆 C 的直径， ∴动圆 C 的圆心 C 的坐标为(－m,0)，半径为 |AB| 2 ＝ |x2－x1| 2 ＝ x1＋x2 2－4x1x2 2 ＝ m2＋4. ∴动圆 C 的方程为(x＋m)2＋y2＝m2＋4. (2)证明：设动圆 C 的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵动圆 C 与 y 轴交于 M(0,1)，N(0， y1)，令 y＝0， 则 x2＋Dx＋F＝0，由题意可知 D＝2m，F＝－4， 又动圆 C 过点 M(0,1)，∴1＋E－4＝0，解得 E＝3. 令 x＝0，则 y2＋3y－4＝0，解得 y＝1 或 y＝－4， ∴y1＝－4.∴动圆 C 在 y 轴上截得弦长为|y1－1|＝5. 故动圆 C 在 y 轴上截得弦长为定值． 1．(2020·青岛模拟)如图 A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)， CD ︵ 是以 OD 为直径的圆上一段圆弧，CB ︵ 是以 BC 为直径的圆上一 段圆弧，BA ︵ 是以 OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线 W. 给出以下 4 个结论： ①曲线 W 与 x 轴围成的面积等于 2π； ②曲线 W 上有 5 个整点(横、纵坐标均为整数的点)； ③CB ︵ 所在圆的方程为： x2＋(y－1)2＝1； ④CB ︵ 与BA ︵ 的公切线方程为：x＋y＝ 2＋1. 则上述结论正确的是( ) A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．②③ B [曲线 W 与 x 轴的图形为以(0,1)圆心，1 为半径的半圆加上以(1,0)为圆心，1 为半径 的 1 4 圆，加上以(－1,0)为圆心，1 为半径的 1 4 圆，加上长为 2，宽为 1 的矩形构成，可得其面 积为 1 2 π＋2× 1 4 π＋2＝2＋π≠2π，故①错误； 曲线 W 上有(－2,0)，(－1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)共 5 个整点，故②正确；CB ︵ 是以(0,1)为圆心，1 为半径的圆， 其所在圆的方程为 x2＋(y－1)2＝1，故③正确；设CB ︵ 与BA ︵ 的公切线方程为 y＝kx＋t(k＜0，t＞0)，由直线和圆相切的条件可得 |t－1| 1＋k2 ＝1＝ |k＋t| 1＋k2 ， 解得 k＝－1，t＝1＋ 2(t＝1－ 2舍去)， 则其公切线方程为 y＝－x＋1＋ 2，即 x＋y＝1＋ 2，故④正确．故选 B.] 2．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与 x 轴交于不同的两点 A，B，曲线Γ与 y 轴交于点 C. (1)是否存在以 AB 为直径的圆过点 C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理 由． (2)求证：过 A，B，C 三点的圆过定点． [解] 由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令 y＝0，得 x2－mx＋2m＝0.设 A(x1,0)， B(x2,0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则 m＜0 或 m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令 x＝0，得 y＝ 2m，即 C(0,2m)． (1)若存在以 AB 为直径的圆过点 C，则AC→ ·BC→＝0，得 x1x2＋4m2＝0，即 2m＋4m2＝0， 所以 m＝0(舍去)或 m＝－ 1 2 . 此时 C(0，－1)，AB 的中点 M － 1 4 ，0 即圆心， 半径 r＝|CM|＝ 17 4 ， 故所求圆的方程为 x＋ 1 4 2＋y2＝ 17 16 . (2)证明：设过 A，B 两点的圆的方程为 x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0， 将点 C(0,2m)代入可得 E＝－1－2m， 所以过 A，B，C 三点的圆的方程为 x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0. 整理得 x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0. 令 x2＋y2－y＝0， x＋2y－2＝0， 可得 x＝0， y＝1 或 x＝ 2 5 ， y＝ 4 5 ， 故过 A，B，C 三点的圆过定点(0,1)和 2 5 ， 4 5 .