2022版高考数学一轮复习课后限时集训50直线与圆圆与圆的位置关系含解析

课后限时集训(五十) 直线与圆、圆与圆的位置关系 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 与直线 2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 C [直线 2tx－y－2－2t＝0 恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0， ∴点(1，－2)在圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 内部， 直线 2tx－y－2－2t＝0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 相交．] 2．若圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0 外切，则 m＝( ) A．21 B．19 C．9 D．－11 C [圆 C1 的圆心为 C1(0,0)，半径 r1＝1，因为圆 C2 的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25 －m，所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径 r2＝ 25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝ 32＋42＝5. 由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即 1＋ 25－m＝5，解得 m＝9，故选 C.] 3．(2020·全国卷Ⅰ)已知圆 x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的 最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 B [将圆的方程 x2＋y2－6x＝0 化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为 C，则 C(3,0)， 半径 r＝3.设点(1,2)为点 A，过点 A(1,2)的直线为 l，因为(1－3)2＋220)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即 a2－6a＋5＝0，解得 a＝1 或 a＝5，所以圆心 的坐标为(1,1)或(5,5)，所以圆心到直线 2x－y－3＝0 的距离为 |2×1－1－3| 22＋ －1 2 ＝ 2 5 5 或 |2×5－5－3| 22＋ －1 2 ＝ 2 5 5 ，故选 B.] 5．若圆 x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有 4 个点到直线 x－y－2＝0 的距离为 1，则实数 r 的取值 范围是( ) A．( 2＋1，＋∞) B．( 2－1， 2＋1) C．(0， 2－1) D．(0， 2＋1) A [计算得圆心到直线 l 的距离为 2 2 ＝ 2＞1，如图，直线 l： x－y－2＝0 与圆相交，l1，l2 与 l 平行，且与直线 l 的距离为 1，故可 以看出，圆的半径应该大于圆心到直线 l2 的距离 2＋1.] 6．(多选)(2020·月考)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2＋y2－ 4x＝0.若直线 y＝k(x＋1)上存在一点 P，使过点 P 所作圆 C 的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值可以是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 AB [∵x2＋y2－4x＝0，∴(x－2)2＋y2＝4.∵过点 P 所作圆 C 的两条切线相互垂直，∴点 P 与圆心 C，两切点构成一个边长为 2 的正方形，∴PC＝2 2，即点 P 的轨迹方程为(x－2)2 ＋y2＝8，又点 P 在直线 y＝k(x＋1)上，∴ |2k－0＋k| 1＋k2 ≤2 2，∴－2 2≤k≤2 2.即实数 k 的 取值可以是 1,2.] 二、填空题 7．(2018·全国卷Ⅰ)直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＋2y－3＝0 交于 A，B 两点，则|AB|＝ ________. 2 2 [由题意知圆的标准方程为 x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为 2， 则圆心到直线 y＝x＋1 的距离 d＝ |1＋1| 2 ＝ 2，所以|AB|＝2 22－ 2 2＝2 2.] 8．(2019·浙江高考)已知圆 C 的圆心坐标是(0，m)，半径长是 r.若直线 2x－y＋3＝0 与 圆 C 相切于点 A(－2，－1)，则 m＝__________，r＝__________. －2 5 [如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得 m＋1 2 ＝－ 1 2 ，解得 m＝－2. ∴圆心为(0，－2)， 则半径 r＝ －2－0 2＋ －1＋2 2＝ 5.] 9．(2020·安庆模拟)已知圆 C：x2＋y2＝1，直线 l：ax－y＋4＝0.若直线 l 上存在点 M， 以 M 为圆心且半径为 1 的圆与圆 C 有公共点，则 a 的取值范围是________． (－∞，－ 3]∪[ 3，＋∞) [直线 l 上存在点 M，以 M 为圆心且半径为 1 的圆与圆 C 有公共点，则|MC|≤2，只需|MC|min≤2，即圆 C：x2＋y2＝1 的圆心到直线 l：ax－y＋4＝0 的距离 d≤2，即 d＝ 4 a2＋1 ≤2，解得 a≤－ 3或 a≥ 3.] 三、解答题 10．(2020·三明模拟)已知圆 C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线 l：ax＋y＋2a＝0. (1)当 a 为何值时，直线与圆 C 相切？ (2)当直线与圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB|＝2 2时，求直线的方程． [解] (1)圆 C 的标准方程为 x2＋(y－4)2＝4，圆心 C 的坐标为(0,4)，半径长为 2， 当直线 l 与圆 C 相切时，则 |2a＋4| a2＋1 ＝2，解得 a＝－ 3 4 . (2)由题意知，圆心 C 到直线 l 的距离为 d＝ 22－ |AB| 2 2＝ 2， 由点到直线的距离公式可得 d＝ |2a＋4| a2＋1 ＝ 2， 整理得 a2＋8a＋7＝0，解得 a＝－1 或－7. 因此，直线 l 的方程为 x－y＋2＝0 或 7x－y＋14＝0. 11．圆 O1 的方程为 x2＋(y＋1)2＝4，圆 O2 的圆心坐标为(2,1)． (1)若圆 O1 与圆 O2 外切，求圆 O2 的方程； (2)若圆 O1 与圆 O2 相交于 A，B 两点，且|AB|＝2 2，求圆 O2 的方程． [解] (1)因为圆 O1 的方程为 x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心 O1(0，－1)，半径 r1＝2. 设圆 O2 的半径为 r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2. 又|O1O2|＝ 2－0 2＋ 1＋1 2＝2 2， 所以 r2＝|O1O2|－r1＝2 2－2. 所以圆 O2 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8 2. (2)设圆 O2 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2 2， 又圆 O1 的方程为 x2＋(y＋1)2＝4， 相减得 AB 所在的直线方程为 4x＋4y＋r2 2－8＝0. 设线段 AB 的中点为 H， 因为 r1＝2，所以|O1H|＝ r2 1－|AH|2＝ 2. 又|O1H|＝ |4×0＋4× －1 ＋r2 2－8| 42＋42 ＝ |r2 2－12| 4 2 ， 所以 |r2 2－12| 4 2 ＝ 2， 解得 r2 2＝4 或 r2 2＝20. 所以圆 O2 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4 或(x－2)2＋(y－1)2＝20. 1．(多选)(2020·山东滨州一中月考)已知圆 C1：x2＋y2＝r2，圆 C2：(x－a)2＋(y－b)2＝ r2(r>0)交于不同的 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有( ) A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2 C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b ABC [由题意知，圆 C2 的方程可化为 x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，将两圆的方 程联立，可得直线 AB 的方程为 2ax＋2by－a2－b2＝0，即 2ax＋2by＝a2＋b2，分别把 A(x1， y1)，B(x2，y2)两点代入可得 2ax1＋2by1＝a2＋b2 ①，2ax2＋2by2＝a2＋b2 ②，①－②可 得 2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即 a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以选项 A，B 是正确的；由圆 的性质可得，线段 AB 与线段 C1C2 互相平分，所以 x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以选项 C 是正 确的，选项 D 是不正确的. ] 2．(多选)(2020·山东威海一中月考)设有一组圆 Ck：(x－1)2＋(y－k)2＝ k4(k∈N*)．下列四个结论正确的是( ) A．存在 k，使圆与 x 轴相切 B．存在一条直线与所有的圆均相交 C．存在一条直线与所有的圆均不相交 D．所有的圆均不经过原点 ABD [根据题意得圆 Ck 的圆心为(1，k)，半径为 k2.选项 A，当 k＝k2，即 k＝1 时，圆 的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，此时圆与 x 轴相切，故此选项正确；选项 B，直线 x＝1 过圆 Ck 的圆心(1，k)，故直线 x＝1 与所有圆都相交，故此选项正确；选项 C，圆 Ck 的圆心为(1， k)，半径为 k2，圆 Ck＋1 的圆心为(1，k＋1)，半径为(k＋1)2，两圆的圆心距为 1，两圆的半径 之差为 2k＋1，因为 2k＋1>1，所以圆 Ck 含于圆 Ck＋1 之中，若 k 取无穷大，则可以认为所 有直线都与圆相交，故此选项错误；选项 D，将(0,0)代入圆 Ck 的方程，则有 1＋k2＝k4，不 存在 k∈N*使上式成立，即所有的圆均不过原点，故此选项正确．] 3．已知点 P(2,2)，圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点， 线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点． (1)求点 M 的轨迹方程； (2)当|OP|＝|OM|时，求 l 的方程及△POM 的面积． [解] (1)由 x2＋y2－8y＝0 得 x2＋(y－4)2＝16， ∴圆 C 的圆心坐标为(0,4)，半径为 4. 设 M(x，y)，则CM→ ＝(x，y－4)，MP→ ＝(2－x,2－y)． 由题意可得CM→ ·MP→ ＝0，即 x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0. 整理得(x－1)2＋(y－3)2＝2. 所以点 M 的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 2为半径的圆，由于|OP|＝|OM|，故 O 在 线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而 ON⊥PM. 又 kON＝3，故直线 l 的斜率为－ 1 3 ， 所以直线 PM 的方程为 y－2＝－ 1 3 (x－2)，即 x＋3y－8＝0. 则 O 到直线 l 的距离为 |－8| 12＋32 ＝ 4 10 5 . 又 N 到 l 的距离为 |1×1＋3×3－8| 10 ＝ 10 5 ， ∴|PM|＝2 2－ 10 5 2＝ 4 10 5 . ∴S△POM＝ 1 2 × 4 10 5 × 4 10 5 ＝ 16 5 . 1．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l：y＝2x－4，设圆 C 的半径为 1，圆心 在 l 上．若圆 C 上存在点 M，使 MA＝2MO，则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围是( ) A. 0， 12 5 B．[0,1] C. 1， 12 5 D． 0， 12 5 A [因为圆心在直线 y＝2x－4 上，所以圆 C 的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1，设点 M(x，y)，因为 MA＝2MO，所以 x2＋ y－3 2＝2 x2＋y2， 化简得 x2＋y2＋2y－3＝0，即 x2＋(y＋1)2＝4，所以点 M 在以 D(0，－1)为圆心，2 为 半径的圆上． 由题意，点 M(x，y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即 1 ≤ a2＋ 2a－3 2≤3. 由 a2＋ 2a－3 2≥1 得 5a2－12a＋8≥0， 解得 a∈R； 由 a2＋ 2a－3 2≤3 得 5a2－12a≤0， 解得 0≤a≤ 12 5 . 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 0， 12 5 .故选 A.] 2．(2020·海淀模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，以 O 为圆心的圆与直线 x－ 3y－4＝0 相切． (1)求圆 O 的方程； (2)直线 l：y＝kx＋3 与圆 O 交于 A，B 两点，在圆 O 上是否存在一点 M，使得四边形 OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线 l 的斜率；若不存在，说明理由． [解] (1)设圆 O 的半径长为 r，因为直线 x－ 3y－4＝0 与圆 O 相切，所以 r＝ |0－ 3×0－4| 1＋3 ＝2. 所以圆 O 的方程为 x2＋y2＝4. (2)假设存在点 M，使得四边形 OAMB 为菱形，则 OM 与 AB 互相垂直且平分，所以原 点 O 到直线 l：y＝kx＋3 的距离 d＝ 1 2 |OM|＝1.所以 |3| 1＋k2 ＝1，解得 k2＝8，即 k＝±2 2， 经验证满足条件．所以存在点 M，使得四边形 OAMB 为菱形，此时直线 l 的斜率为±2 2.