课后限时集训(二十) 利用导数解决函数的极值、最值
建议用时：40 分钟
一、选择题
1．函数 y＝
x
ex
在[0,2]上的最大值是( )
A．
1
e
B．
2
e2
C．0 D．
1
2 e
A [易知 y′＝
1－x
ex
，x∈[0,2]，令 y′＞0，得 0≤x＜1，令 y′＜0，得 1＜x≤2，所以函数
y＝
x
ex
在[0,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以 y＝
x
ex
在[0,2]上的最大值是 ymax＝
1
e
，故
选 A.]
2．(2020·宁波质检)下列四个函数中，在 x＝0 处取得极值的函数是( )
①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝x3－3x2；④y＝2x.
A．①② B．①③
C．③④ D．②③
D [对于①，y′＝3x2≥0，故①不是；
对于②，y′＝2x，当 x＞0 时，y′＞0，当 x＜0 时，y′＜0，当 x＝0 时，y′＝0，故②是；
对于③，y′＝3x2－6x＝3x(x－2)，当 x＜0 时，y′＞0，当 0＜x＜2 时，y′＜0，当 x＝0
时，y′＝0，故③是；
对于④，由 y＝2x 的图象知，④不是．故选 D.]
3．(多选)(2020·山东省日照实验高中月考)函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，
以下命题错误的是( )
A．－3 是函数 y＝f(x)的极值点
B．－1 是函数 y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增
D．y＝f(x)在 x＝0 处的切线的斜率小于零
BD [根据导函数的图象可知，当 x∈(－∞，－3)时，f′(x)＜0，当 x∈(－3,1)时，f′(x)
≥0，∴函数 y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,1)上单调递增，∴－3 是函数 y＝f(x)的
极值点．∵函数 y＝f(x)在(－3,1)上单调递增，∴－1 不是函数 y＝f(x)的最小值点．∵函数 y＝
f(x)在 x＝0 处的导数大于零，∴y＝f(x)在 x＝0 处的切线的斜率大于零，故选 BD.]
4．(多选)(2020·山东临沂期末)已知函数 f(x)＝x＋sin x－xcos x 的定义域为[－2π，2π)，
则( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)在[0，π)上单调递增
C．f(x)恰有 4 个极大值点
D．f(x)有且仅有 4 个极值点
BD [由题意得 f′(x)＝1＋cos x－(cos x－xsin x)＝1＋xsin x，当 x∈[0，π)时，f′(x)＞
0，则 f(x)在[0，π)上单调递增．令 f′(x)＝0，得 sin x＝－
1
x
.作出 y＝sin x，y＝－
1
x
在区间[－
2π，2π)上的大致图象，如图所示，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有 4
个公共点，且两图象在这些公共点处都不相切，故 f(x)在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为
4，且 f(x)只有 2 个极大值点．故选 BD.
]
5．已知 f(x)＝2x3－6x2＋m(m 为常数)在[－2,2]上有最大值 3，那么此函数在[－2,2]上
的最小值是( )
A．－37 B．－29
C．－5 D．以上都不对
A [∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，∴x
＝0 为极大值点，也为最大值点，∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值
是－37.故选 A.]
6．已知函数 f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若 f(x)在区间[k,2]上的最大值为 28，则实数 k 的
取值范围为( )
A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
D [由题意知 f′(x)＝3x2＋6x－9，令 f′(x)＝0，解得 x＝1 或 x＝－3，所以 f′(x)，f(x)
随 x 的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
又 f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为 28，所以 k≤－3.]
二、填空题
7．设直线 y＝m 与曲线 C：y＝x(x－2)2 的三个交点分别为 A(a，m)，B(b，m)，C(c，
m)，其中 a＜b＜c，则实数 m 的取值范围是________，a2＋b2＋c2 的值为________．
0，
32
27 8 [根据题意，设 f(x)＝x(x－2)2，其导数 f′(x)＝3x2－8x＋4，令 f′(x)＞0，
解得 x＜
2
3
或 x＞2，则 f(x)在
－∞，
2
3 和(2，＋∞)上单调递增，在
2
3
，2
上单调递减，故 f(x)
的极大值为 f
2
3 ＝
32
27
，极小值为 f(2)＝0，若直线 y＝m 与曲线 C：y＝x(x－2)2 有三个交点，
必有 0＜m＜
32
27
，即 m 的取值范围为
0，
32
27 .设 g(x)＝f(x)－m＝x(x－2)2－m＝x3－4x2＋4x
－m，若直线 y＝m 与曲线 C：y＝x(x－2)2 有三个交点，且其坐标分别为 A(a，m)，B(b，
m)，C(c，m)，则函数 g(x)＝x3－4x2＋4x－m＝0 有三个根，依次为 a，b，c，则有 x3－4x2
＋4x－m＝(x－a)(x－b)(x－c)＝x3－(a＋b＋c)x2＋(ab＋ac＋bc)x－abc，变形可得 abc＝m，
a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，则 a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝8.]
8．已知函数 f(x)＝ln x－ax 存在最大值 0，则 a＝________.
1
e
[f′(x)＝
1
x
－a，x＞0.当 a≤0 时，f′(x)＝
1
x
－a＞0 恒成立，函数 f(x)单调递增，不存在
最大值；当 a＞0 时，令 f′(x)＝
1
x
－a＝0，解得 x＝
1
a
.当 0＜x＜
1
a
时，f′(x)＞0，函数 f(x)单调
递增；当 x＞
1
a
时，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减．
∴f(x)max＝f
1
a ＝ln
1
a
－1＝0，解得 a＝
1
e
.]
9．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为
________．
3 [设圆柱的底面半径为 R，母线长为 l，则 V＝πR2l＝27π，∴l＝
27
R2
，要使用料最省，
只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和 S 最小．
由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·
27
R
.
∴S′＝2πR－
54π
R2
，令 S′＝0，得 R＝3，根据单调性得当 R＝3 时，S 最小．]
三、解答题
10．已知函数 f(x)＝ax＋ln x，其中 a 为常数．
(1)当 a＝－1 时，求 f(x)的最大值；
(2)若 f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求 a 的值．
[解] (1)易知 f(x)的定义域为(0，＋∞)，当 a＝－1 时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋
1
x
＝
1－x
x
，令 f′(x)＝0，得 x＝1.
当 0＜x＜1 时，f′(x)＞0；当 x＞1 时，f′(x)＜0.
∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．
∴f(x)max＝f(1)＝－1.
∴当 a＝－1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋
1
x
，x∈(0，e]，
1
x
∈
1
e
，＋∞
.
①若 a≥－
1
e
，则 f′(x)≥0，从而 f(x)在(0，e]上是增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不合题意．
②若 a＜－
1
e
，令 f′(x)＞0 得 a＋
1
x
＞0，结合 x∈(0，e]，解得 0＜x＜－
1
a
；
令 f′(x)＜0 得 a＋
1
x
＜0，结合 x∈(0，e]，解得－
1
a
＜x≤e.
从而 f(x)在
0，－
1
a 上为增函数，在
－
1
a
，e
上为减函数，
∴f(x)max＝f
－
1
a ＝－1＋ln
－
1
a .
令－1＋ln
－
1
a ＝－3，得 ln
－
1
a ＝－2，
即 a＝－e2.
∵－e2＜－
1
e
，∴a＝－e2 为所求．
故实数 a 的值为－e2.
11．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业，根据
以往经验，潜水员下潜的平均速度为 v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为
v
10 3＋1(升)，
在水底作业 10 个单位时间，每单位时间用氧量为 0.9(升)，返回水面的平均速度为
v
2
(米/单位
时间)，每单位时间用氧量为 1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 y(升)．
(1)求 y 关于 v 的函数关系式；
(2)若 c≤v≤15(c＞0)，求当下潜速度 v 取什么值时，总用氧量最少．
[解] (1)由题意，下潜用时
60
v
(单位时间)，用氧量为
v
10 3＋1 ×
60
v
＝
3v2
50
＋
60
v
(升)，水
底作业时的用氧量为 10×0.9＝9(升)，返回水面用时
60
v
2
＝
120
v
(单位时间)，用氧量为
120
v
×1.5
＝
180
v
(升)，因此总用氧量 y＝
3v2
50
＋
240
v
＋9(v＞0)．
(2)y′＝
6v
50
－
240
v2
＝
3 v3－2 000
25v2
，令 y′＝0 得 v＝10
3
2，
当 0＜v＜10
3
2时，y′＜0，函数单调递减；
当 v＞10
3
2时，y′＞0，函数单调递增．
若 c＜10
3
2，函数在(c,10
3
2)上单调递减，在(10
3
2，15)上单调递增，
∴当 v＝10
3
2时，总用氧量最少．
若 c≥10
3
2，则 y 在[c,15]上单调递增，
∴当 v＝c 时，这时总用氧量最少．
1．(多选)若函数 f(x)＝2x3－ax2(a＜0)在
a
2
，
a＋6
3 上有最大值，则 a 的取值可能为( )
A．－6 B．－5
C．－4 D．－3
ABC [令 f′(x)＝2x(3x－a)＝0，解得 x1＝0，x2＝
a
3
(a＜0)，当
a
3
＜x＜0 时，f′(x)＜0；
当 x＜
a
3
或 x＞0 时，f′(x)＞0，则 f(x)的单调递增区间为
－∞，
a
3 ，(0，＋∞)，单调递减区间
为
a
3
，0
，从而 f(x)在 x＝
a
3
处取得极大值 f
a
3 ＝－
a3
27
，由 f(x)＝－
a3
27
，得
x－
a
3 2
2x＋
a
3 ＝0，
解得 x＝
a
3
或 x＝－
a
6
，又 f(x)在
a
2
，
a＋6
3 上有最大值，所以
a
3
＜
a＋6
3
≤－
a
6
，解得 a≤－4.所以
选项 A，B，C 符合题意．]
2．若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1 的极值点，则 f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
A [f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.
∵x＝－2 是 f(x)的极值点，∴f′(－2)＝0，即(4－2a－4＋a－1)e－3＝0，得 a＝－1.
∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1.
由 f′(x)＞0，得 x＜－2 或 x＞1；
由 f′(x)＜0，得－2＜x＜1.
∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)
的极小值点为 1，
∴f(x)的极小值为 f(1)＝－1.]
3．已知函数 f(x)＝aln x＋
1
x
(a＞0)．
(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；
(2)是否存在实数 a，使得函数 f(x)在[1，e]上的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不
存在，请说明理由．
[解] 由题意，知函数的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝
a
x
－
1
x2
(a＞0)．
(1)由 f′(x)＞0 解得 x＞
1
a
，
所以函数 f(x)的单调递增区间是
1
a
，＋∞
；
由 f′(x)＜0 解得 x＜
1
a
，
所以函数 f(x)的单调递减区间是
0，
1
a .
所以当 x＝
1
a
时，函数 f(x)有极小值 f
1
a ＝aln
1
a
＋a＝a－aln a，无极大值．
(2)不存在．理由如下：
由(1)可知，当 x∈
0，
1
a 时，函数 f(x)单调递减；
当 x∈
1
a
，＋∞
时，函数 f(x)单调递增．
①若 0＜
1
a
≤1，即 a≥1 时，函数 f(x)在[1，e]上为增函数，
故函数 f(x)的最小值为 f(1)＝aln 1＋1＝1，显然 1≠0，故不满足条件．
②若 1＜
1
a
≤e，即
1
e
≤a＜1 时，函数 f(x)在
1，
1
a 上为减函数，在
1
a
，e
上为增函数，
故函数 f(x)的最小值为 f(x)的极小值 f
1
a ＝aln
1
a
＋a＝a－aln a＝a(1－ln a)＝0，即 ln a
＝1，解得 a＝e，而
1
e
≤a＜1，故不满足条件．
③若
1
a
＞e，即 0＜a＜
1
e
时，函数 f(x)在[1，e]上为减函数，
故函数 f(x)的最小值为 f(e)＝a＋
1
e
＝0，
解得 a＝－
1
e
，而 0＜a＜
1
e
，
故不满足条件．
综上所述，这样的 a 不存在．
1．(多选)(2020·山东模考)已知函数 f(x)＝
ln x
x
，g(x)＝xe－x，若存在 x1∈(0，
＋∞)，x2∈R，使得 f(x1)＝g(x2)＝k(k＜0)成立，则下列结论正确的是
( )
A．ln x1＝x2
B．ln(－x2)＝－x1
C．
x2
x1 2·ek 的最大值为
4
e2
D．
x2
x1 2·ek 的最大值为
1
e2
AC [由 f(x1)＝g(x2)＝k(k＜0)，得
ln x1
x1
＝x2e－x2＜0 (*)，∴0＜x1＜1，x2＜0.由(*)可
得
－ln x1
x1
＝－x2e－x2＞0，两边同时取对数可得 ln(－ln x1)－ln x1＝
ln(－x2)－x2.
∵函数 y＝ln x＋x 在(0，＋∞)上为增函数，∴－ln x1＝－x2，∴ln x1＝x2，∴
x2
x1
＝
ln x1
x1
＝k，
故
x2
x1 2·ek＝k2·ek.设 h(k)＝k2·ek(k＜0)，∴h′(k)＝ek(k2＋2k)，由 ek(k2＋2k)＞0，可得 k＜－
2，故 h(k)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，故 h(k)max＝h(－2)＝
4
e2
，因此
x2
x1 2·ek 的最大值为
4
e2
.
综上，AC 正确．]
2．已知函数 f(x)＝2sin x＋sin 2x，则 f(x)的最小值是________．
－
3 3
2
[∵f(x)的最小正周期 T＝2π，∴求 f(x)的最小值相当于求 f(x)在[0,2π]上的最小
值．
f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)＝4cos2x＋2cos x－2＝2(2cos x－
1)(cos x＋1)．
令 f′(x)＝0，解得 cos x＝
1
2
或 cos x＝－1，x∈[0,2π]．
∴由 cos x＝－1，得 x＝π；由 cos x＝
1
2
，
得 x＝
5
3
π或 x＝
π
3
.
∵函数的最值只能在导数值为 0 的点或区间端点处取到，
f(π)＝2sin π＋sin 2π＝0，f
π
3 ＝2sin
π
3
＋sin
2π
3
＝
3 3
2
，f
5
3
π
＝－
3 3
2
，f(0)＝0，
f(2π)＝0，
∴f(x)的最小值为－
3 3
2
.]
3．(2019·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝2x3－ax2＋b.
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)是否存在 a，b，使得 f(x)在区间[0,1]的最小值为－1 且最大值为 1？若存在，求出 a，
b 的所有值；若不存在，说明理由．
[解] (1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝
a
3
.
若 a＞0，则当 x∈(－∞，0)∪
a
3
，＋∞
时，f′(x)＞0；
当 x∈
0，
a
3 时，f′(x)＜0.故 f(x)在(－∞，0)，
a
3
，＋∞
单调递增，在
0，
a
3 单调递减．
若 a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若 a＜0，则当 x∈
－∞，
a
3 ∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0；
当 x∈
a
3
，0
时，f′(x)＜0.故 f(x)在
－∞，
a
3 ，(0，＋∞)单调递增，在
a
3
，0
单调递减．
(2)满足题设条件的 a，b 存在．
①当 a≤0 时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所以 f(x)在区间[0,1]的最小值为 f(0)＝b，
最大值为 f(1)＝2－a＋b.此时 a，b 满足题设条件当且仅当 b＝－1，2－a＋b＝1，即 a＝0，
b＝－1.
②当 a≥3 时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以 f(x)在区间[0,1]的最大值为 f(0)＝b，
最小值为 f(1)＝2－a＋b.此时 a，b 满足题设条件当且仅当 2－a＋b＝－1，b＝1，即 a＝4，
b＝1.
③当 0＜a＜3 时，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为 f
a
3 ＝－
a3
27
＋b，最大值为 b 或 2－a
＋b.
若－
a3
27
＋b＝－1，b＝1，则 a＝3
3
2，与 0＜a＜3 矛盾．
若－
a3
27
＋b＝－1,2－a＋b＝1，则 a＝3 3或 a＝－3 3或 a＝0，与 0＜a＜3 矛盾．
综上，当且仅当 a＝0，b＝－1 或 a＝4，b＝1 时，f(x)在[0,1]的最小值为－1，最大值
为 1.
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