2022版高考数学一轮复习课后限时集训30正弦定理余弦定理含解析

课后限时集训(三十) 正弦定理、余弦定理 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．(2020·大连测试)在△ABC 中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则 cos C＝( ) A． 3 3 B．± 6 3 C．－ 6 3 D． 6 3 D [由正弦定理得 AC sin B ＝ AB sin C ，∴sin C＝ AB·sin B AC ＝ 2×sin 60° 3 ＝ 3 3 .又 AB＜AC，∴0 ＜C＜B＝60°，∴cos C＝ 1－sin2C＝ 6 3 .故选 D.] 2．(2020·南昌模拟)在△ABC 中，已知 C＝ π 3 ，b＝4，△ABC 的面积为 2 3，则 c＝( ) A．2 7 B．2 3 C．2 2 D． 7 B [由 S＝ 1 2 absin C＝2a× 3 2 ＝2 3，解得 a＝2.由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C ＝12，故 c＝2 3.] 3．(多选)在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，以下四个结论中，正确的是 ( ) A．若 a＞b＞c，则 sin A＞sin B＞sin C B．若 A＞B＞C，则 sin A＞sin B＞sin C C．acos B＋bcos A＝c D．若 a2＋b2＞c2，则△ABC 是锐角三角形 ABC [对于 A，由于 a＞b＞c，由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ，可得 sin A＞sin B＞ sin C，故 A 正确； 对于 B，A＞B＞C，由大边对大角可知，a＞b＞c，由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ，可 得 sin A＞sin B＞sin C，故 B 正确； 对于 C，根据正弦定理可得 acos B＋bcos A＝2R(sin Acos B＋sin Bcos A)＝2Rsin(B ＋A)＝2Rsin(π－C)＝2Rsin C＝c(其中 R 为△ABC 的外接圆半径)，故 C 正确； 对于 D，a2＋b2＞c2，由余弦定理可得 cos C＝ a2＋b2－c2 2ab ＞0，由 C∈(0，π)，可得 C 是锐角，但 A 或 B 可能为钝角，故 D 错误．] 4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝ 2 3 ，AC＝4，BC＝3，则 cos B＝( ) A． 1 9 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 A [由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3× 2 3 ＝9，AB＝ 3，所以 cos B＝ 9＋9－16 2×9 ＝ 1 9 ，故选 A.] 5．(多选)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则( ) A．若 2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则 C＝ π 3 B．若 2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则 C＝ π 6 C．若边 BC 的高为 3 6 a，则当 c b ＋ b c 取得最大值时，A＝ π 3 D．若边 BC 的高为 3 6 a，则当 c b ＋ b c 取得最大值时，A＝ π 6 AC [因为在△ABC 中，0＜C＜π，所以 sin C≠0.对于 A，B，利用正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，整理得 2cos Csin(A＋B)＝sin C，即 2cos Csin[π－(A＋B)] ＝sin C，即 2cos Csin C＝sin C，又 sin C≠0，所以 cos C＝ 1 2 ，所以 C＝ π 3 ，故 A 正确，B 错误．对于 C，D，由等面积法得 1 2 × 3 6 a2＝ 1 2 bcsin A，所以 a2＝2 3bcsin A，又 b2＋c2＝ a2＋2bccos A＝2 3bcsin A＋2bccos A，则 c b ＋ b c ＝ b2＋c2 bc ＝2 3sin A＋2cos A＝ 4sin A＋ π 6 ≤4，当且仅当 A＋ π 6 ＝ π 2 ＋2kπ，k∈Z，即 A＝ π 3 ＋2kπ，k∈Z 时， c b ＋ b c 取得最大 值 4，又 0＜A＜π，所以 A＝ π 3 .故 C 正确，D 错误．] 6．(多选)(2020·山东烟台期中)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且(a ＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( ) A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B．△ABC 是钝角三角形 C．△ABC 的最大内角是最小内角的 2 倍 D．若 c＝6，则△ABC 的外接圆的半径为 8 7 7 ACD [因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11， 所以可设 a＋b＝9x， a＋c＝10x， b＋c＝11x (其中 x＞0)，解得 a＝4x， b＝5x， c＝6x， 所以由正弦定理可得 sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，所以 A 正确． 由上可知边 a 最短，边 c 最长，所以角 A 最小，角 C 最大． 又 cos A＝ c2＋b2－a2 2cb ＝ 6x 2＋ 5x 2－ 4x 2 2×6x×5x ＝ 3 4 ，cos C＝ a2＋b2－c2 2ab ＝ 4x 2＋ 5x 2－ 6x 2 2×4x×5x ＝ 1 8 ， 所以 cos 2A＝2cos2A－1＝ 1 8 ，所以 cos 2A＝cos C， 由三角形中角C最大且角C为锐角，可得△ABC是锐角三角形，且2A∈(0，π)，C∈ 0， π 2 ， 所以 2A＝C，所以 B 错误，C 正确． 设△ABC 的外接圆的半径为 R，则由正弦定理得 2R＝ c sin C ， 又 sin C＝ 1－cos2C＝ 3 7 8 ， 所以 2R＝ 6 3 7 8 ，解得 R＝ 8 7 7 ，所以 D 正确．故选 ACD.] 二、填空题 7．在△ABC 中，A＝ 2π 3 ，a＝ 3c，则 b c ＝________. 1 [由 a＝ 3c 得 sin A＝ 3sin C，即 sin 2π 3 ＝ 3sin C， ∴sin C＝ 1 2 ，又 0＜C＜ π 3 ，∴C＝ π 6 ， 从而 B＝ π 6 ，∴b＝c，因此 b c ＝1.] 8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin A＋acos B ＝0，则 B＝________. 3π 4 [∵bsin A＋acos B＝0，∴ a sin A ＝ b －cos B .由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B ＝－1.又 B∈(0，π)，∴B＝ 3π 4 .] 9．(2020·北京高考适应性考核)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a ＝4，b＝5，c＝6，则 cos A＝________，△ABC 的面积为________． 3 4 15 7 4 [依题意得 cos A＝ b2＋c2－a2 2bc ＝ 3 4 ，所以 sin A＝ 1－cos2A＝ 7 4 ，所以△ ABC 的面积为 1 2 bcsin A＝ 15 7 4 .] 三、解答题 10．[结构不良试题](2020·北京西城区统一测试)已知△ABC 满足________，且 b＝ 6，A ＝ 2π 3 ，求 sin C 的值及△ABC 的面积． 从①B＝ π 4 ，②a＝ 3，③a＝3 2sin B 这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完 成解答． [解] 当选择条件①时， ∵B＝ π 4 ，A＝ 2π 3 ， ∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝ 3 2 × 2 2 － 1 2 × 2 2 ＝ 6－ 2 4 . 由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，得 a 3 2 ＝ 6 2 2 ，解得 a＝3， ∴S△ABC＝ 1 2 absin C＝ 9－3 3 4 . 当选择条件②时， ∵a＜b，∴A＜B，又 A 为钝角，∴无解． 当选择条件③时， 由题意得 B 为锐角． 由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，得 3 2sin B 3 2 ＝ 6 sin B ，得 sin B＝ 2 2 ， ∴a＝3，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝ 3 2 × 2 2 － 1 2 × 2 2 ＝ 6－ 2 4 . ∴S△ABC＝ 1 2 absin C＝ 9－3 3 4 . 11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos2 π 2 ＋A ＋ cos A＝ 5 4 . (1)求 A； (2)若 b－c＝ 3 3 a，证明：△ABC 是直角三角形． [解] (1)由已知得 sin2A＋cos A＝ 5 4 ，即 cos2A－cos A＋ 1 4 ＝0.所以 cos A－ 1 2 2＝0， cos A＝ 1 2 . 由于 0