2022版高考数学一轮复习课后限时集训53双曲线含解析

课后限时集训(五十三) 双曲线 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．(2019·浙江高考)渐近线方程为 x±y＝0 的双曲线的离心率是( ) A． 2 2 B．1 C． 2 D．2 C [根据渐近线方程为 x±y＝0 的双曲线，可得 a＝b，所以 c＝ 2a， 则该双曲线的离心率为 e＝ c a ＝ 2，故选 C.] 2．已知双曲线的方程为 y2 4 － x2 9 ＝1，则下列关于双曲线说法正确的是( ) A．虚轴长为 4 B．焦距为 2 5 C．离心率为 13 3 D．渐近线方程为 2x±3y＝0 D [由题意知，双曲线 y2 4 － x2 9 ＝1 的焦点在 y 轴上，且 a2＝4，b2＝9，故 c2＝13，所以 选项 A，B 均不对；离心率 e＝ c a ＝ 13 2 ，故选项 C 不对；由双曲线的渐近线知选项 D 正确．故 选 D.] 3．(多选)(2020·山东青岛二中期中)若方程 x2 5－t ＋ y2 t－1 ＝1 所表示的曲线为 C，则下面四 个命题中正确的是( ) A．若 1＜t＜5，则 C 为椭圆 B．若 t＜1，则 C 为双曲线 C．若 C 为双曲线，则焦距为 4 D．若 C 为焦点在 y 轴上的椭圆，则 3＜t＜5 BD [对于 A，当 t＝3 时，方程 x2＋y2＝2 表示圆，所以 A 不正确；对于 B，当 t＜1 时，5－t＞0，t－1＜0，此时曲线 C 是焦点在 x 轴上的双曲线，所以 B 正确；对于 C，当 t ＝0 时，方程 x2 5 － y2 1 ＝1 表示双曲线，此时双曲线的焦距为 2 6，所以 C 不正确；对于 D， 当方程 x2 5－t ＋ y2 t－1 ＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆时，满足 5－t＞0， t－1＞0， 5－t＜t－1， 解得 3＜t＜5， 所以 D 正确．] 4．(2020·全国卷Ⅰ)设 F1，F2 是双曲线 C：x2－ y2 3 ＝1 的两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在 C 上且|OP|＝2，则△PF1F2 的面积为( ) A． 7 2 B．3 C． 5 2 D．2 B [法一：设 F1，F2 分别为双曲线 C 的左、右焦点，则由题意可知 F1(－2,0)，F2(2,0)， 又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2 是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2 ＝16.不妨令点 P 在双曲线 C 的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－ 2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则 S△PF1F2＝ 1 2 |PF1|·|PF2|＝ 1 2 ×6 ＝3，故选 B. 法二：设 F1，F2 分别为双曲线 C 的左、右焦点，则由题意可知 F1(－2,0)，F2(2,0)，又|OP| ＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2 是直角三角形，所以 S△PF1F2＝ b2 tan θ 2 ＝ 3 tan 45 ° ＝ 3(其中θ＝∠F1PF2)，故选 B.] 5．已知双曲线 C： x2 a2 － y2 16 ＝1(a＞0)的一条渐近线方程为 4x＋3y＝0，F1，F2 分别是双 曲线 C 的左、右焦点，点 P 在双曲线 C 上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝( ) A．1 B．13 C．17 D．1 或 13 B [由题意知双曲线 x2 a2 － y2 16 ＝1(a＞0)的一条渐近线方程为 4x＋3y＝0，可得 4 a ＝ 4 3 ，解 得 a＝3，所以 c＝ a2＋b2＝5.又由 F1，F2 分别是双曲线 C 的左、右焦点，点 P 在双曲线上， 且|PF1|＝7，可得点 P 在双曲线的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13.故选 B.] 6．(2020·西安模拟)已知双曲线 C： x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的顶点到其一条渐近线的距 离为 1，焦点到其一条渐近线的距离为 2，则其一条渐近线的倾斜角为( ) A．30° B．45° C．60° D．120° B [设双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1 的右顶点 A(a,0)，右焦点 F2(c,0)到渐近线 y＝ b a x 的距离分别为 1 和 2，则有 ab a2＋b2 ＝1， bc a2＋b2 ＝ 2， 即 a c ＝ 2 2 . 则 b2 a2 ＝ c2－a2 a2 ＝ c2 a2 －1＝2－1＝1，即 b a ＝1. 设渐近线 y＝ b a x 的倾斜角为θ，则 tan θ＝ b a ＝1. 所以θ＝45°，故选 B.] 7．(多选)已知双曲线 E 过点(3， 2)，(6， 11)，则( ) A．E 的方程为 x2 3 －y2＝1 B．直线 x－ 2y－1＝0 与 E 有且仅有一个公共点 C．曲线 y＝ln(x－1)过 E 的一个焦点 D．E 的离心率为 3 ABC [设双曲线 E 的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为双曲线 E 过点(3， 2)，(6， 11)，所以 9m＋2n＝1， 36m＋11n＝1， 解得 m＝ 1 3 ， n＝－1， 故双曲线 E 的方程为 x2 3 －y2＝1，选项 A 正确；联立直线与双曲线的方程，得 x－ 2y－1＝0， x2 3 －y2＝1， 消去 x 得 y2－2 2y＋2＝0， Δ＝0，故选项 B 正确；E 的一个焦点为点(2,0)，易知该点在曲线 y＝ln(x－1)上，故 C 正确； 因为 a＝ 3，c＝2，所以双曲线 E 的离心率 e＝ 2 3 3 ，选项 D 错误．故选 ABC.] 8．(多选)(2020·山东滨州期末)已知双曲线 C： x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分 别为 F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线 C 的方程为 x2 16 － y2 9 ＝1 的条件是 ( ) A．双曲线的离心率为 5 4 B．双曲线过点 5， 9 4 C．双曲线的渐近线方程为 3x±4y＝0 D．双曲线的实轴长为 4 ABC [由题意可得焦点在 x 轴上，且 c＝5.A 选项，若双曲线的离心率为 5 4 ，则 a＝4， 所以 b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为 x2 16 － y2 9 ＝1，故 A 正确；B 选项，若双曲线过点 5， 9 4 ， 则 25 a2 － 81 16 b2 ＝1， a2＋b2＝25， 得 a2＝16， b2＝9， 此时双曲线的方程为 x2 16 － y2 9 ＝1，故 B 正确；C 选项， 若双曲线的渐近线方程为 3x±4y＝0，可设双曲线的方程为 x2 16 － y2 9 ＝m(m＞0)，所以 c2＝16m ＋9m＝25，解得 m＝1，此时双曲线的方程为 x2 16 － y2 9 ＝1，故 C 正确；D 选项，若双曲线的 实轴长为 4，则 a＝2，所以 b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为 x2 4 － y2 21 ＝1，故 D 错误．故 选 ABC.] 二、填空题 9．已知双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为 2x＋y＝0，一个焦点为( 5，0)， 则 a＝________；b＝________. 1 2 [由 2x＋y＝0，得 y＝－2x，所以 b a ＝2. 又 c＝ 5，a2＋b2＝c2，解得 a＝1，b＝2.] 10．(2020·南宁模拟)已知双曲线 E： x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)．若矩形 ABCD 的四个顶点 在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|＝3|BC|，则 E 的离心率是________． 2 [由已知得|AB|＝|CD|＝ 2b2 a ，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.因为 2|AB|＝3|BC|，所以 4b2 a ＝ 6c， 又 b2＝c2－a2，所以 2e2－3e－2＝0， 解得 e＝2，或 e＝－ 1 2 (舍去)．] 11．已知焦点在 x 轴上的双曲线 x2 8－m ＋ y2 4－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范 围是________． (0,2) [对于焦点在 x 轴上的双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)，它的焦点(c,0)到渐近线 bx －ay＝0 的距离为 |bc| b2＋a2 ＝b.双曲线 x2 8－m ＋ y2 4－m ＝1，即 x2 8－m － y2 m－4 ＝1，其焦点在 x 轴上，则 8－m>0， m－4>0， 解得 40)的左、右焦点分别为 F1，F2， 过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若F1A→ ＝AB→ ，F1B→ ·F2B→ ＝0，则 C 的离心率 为________． 2 [如图，由F1A→ ＝AB→ ，得 F1A＝AB. 又 OF1＝OF2，所以 OA 是三角形 F1F2B 的中位线， 即 BF2∥OA， BF2＝2OA. 由F1B→ ·F2B→ ＝0，得 F1B⊥F2B，OA⊥F1A， 则 OB＝OF1，所以∠AOB＝∠AOF1， 又 OA 与 OB 都是渐近线，得∠BOF2＝∠AOF1， 又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝180°， 得∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°， 又渐近线 OB 的斜率为 b a ＝tan 60°＝ 3， 所以该双曲线的离心率为 e＝ c a ＝ 1＋ b a 2＝ 1＋ 3 2＝2.] 2．(2020·黄冈模拟)双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 3 3 x，一个焦点为 F(0，－8)，则该 双曲线的标准方程为______．已知点 A(－6,0)，若点 P 为 C 上一动点，且 P 点在 x 轴上方， 当点 P 的位置变化时，△PAF 的周长的最小值为________． y2 16 － x2 48 ＝1 28 [∵双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 3 3 x，一个焦点为 F(0，－8)， ∴ a2 b2 ＝ 1 3 ， a2＋b2＝8， 解得 a＝4，b＝4 3. ∴双曲线的标准方程为 y2 16 － x2 48 ＝1. 设双曲线的上焦点为 F′(0,8)，则|PF|＝|PF′|＋8， △PAF 的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋|PA|＋|AF|＋8. 当 P 点在第二象限，且 A，P，F′共线时，|PF′|＋|PA|最小，最小值为|AF′|＝10. 而|AF|＝10，故△PAF 的周长的最小值为 10＋10＋8＝28.]