2022版高考数学一轮复习课后限时集训48两条直线的位置关系含解析

课后限时集训(四十八) 两条直线的位置关系 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．直线 2x＋y＋m＝0 和 x＋2y＋n＝0 的位置关系是( ) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 C [直线 2x＋y＋m＝0 的斜率 k1＝－2，直线 x＋2y＋n＝0 的斜率 k2＝－ 1 2 ，则 k1≠k2， 且 k1k2≠－1.故选 C.] 2．已知过点 A(－2，m)和 B(m,4)的直线为 l1，直线 2x＋y－1＝0 为 l2，直线 x＋ny＋1 ＝0 为 l3.若 l1∥l2，l2⊥l3，则实数 m＋n 的值为( ) A．－10 B．－2 C．0 D．8 A [因为 l1∥l2，所以 kAB＝ 4－m m＋2 ＝－2.解得 m＝－8.又因为 l2⊥l3，所以－ 1 n ×(－2)＝－ 1，解得 n＝－2， 所以 m＋n＝－10.] 3．经过两直线 l1：2x－3y＋2＝0 与 l2：3x－4y－2＝0 的交点，且平行于直线 4x－2y ＋7＝0 的直线方程是( ) A．x－2y＋9＝0 B．4x－2y＋9＝0 C．2x－y－18＝0 D．x＋2y＋18＝0 C [由 2x－3y＋2＝0， 3x－4y－2＝0， 解得 x＝14， y＝10. 所以直线 l1，l2 的交点坐标是(14,10)．设 与直线 4x－2y＋7＝0 平行的直线 l 的方程为 4x－2y＋C＝0(C≠7)．因为直线 l 过直线 l1 与 l2 的交点(14,10)，所以 C＝－36.所以直线 l 的方程为 4x－2y－36＝0，即 2x－y－18＝0.故选 C.] 4．若直线 l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线 l2：2x＋6y－3＝0 的距离为 10，则 m＝ ( ) A．7 B． 17 2 C．14 D．17 B [直线 l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即 2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线 l2：2x＋6y－3 ＝0 的距离为 10，所以 |2m＋3| 4＋36 ＝ 10，求得 m＝ 17 2 .] 5．一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线 l：x－y＋1＝0 上的 P 点，再从 P 点出发爬 行到点 A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A． 2 B．2 C．3 D．4 B [点(0,0)关于直线 l：x－y＋1＝0 的对称点为(－1,1)，则最短路程为 －1－1 2＋ 1－1 2＝2.] 6．(多选)已知直线 l1：mx＋(m－3)y＋1＝0，直线 l2：(m＋1)x＋my－1＝0，且 l1⊥l2， 则( ) A．直线 l1 恒过定点 － 1 3 ， 1 3 B．直线 l2 恒过定点 (1,1) C．m＝0 或 m＝1 D．m＝0 或 m＝－ 3 2 AC [由直线 l1 的方程可得，m(x＋y)＋(－3y＋1)＝0，由 x＋y＝0， －3y＋1＝0， 解得 x＝－ 1 3 ， y＝ 1 3 ， 故直线 l1 恒过定点 － 1 3 ， 1 3 ，故选项 A 正确；由直线 l2 的方程可得，m(x＋ y)＋(x－1)＝0，由 x＋y＝0， x－1＝0， 解得 x＝1， y＝－1， 故直线 l2 恒过定点(1，－1)，故选项 B 不 正确；因为直线 l1：mx＋(m－3)y＋1＝0 与直线 l2：(m＋1)x＋my－1＝0 垂直，所以 m(m ＋1)＋m(m－3)＝0，即 m(m－1)＝0，解得 m＝0 或 m＝1，所以选项 C 正确，选项 D 错误．] 二、填空题 7．已知直线 l1：mx＋3y＋3＝0，l2：x＋(m－2)y＋1＝0，则“m＝3”是 “l1∥l2”的________条件． 既不充分也不必要 [若 l1∥l2，则 m m－2 ＝3， m≠3， ∴m＝－1. ∴“m＝3”是“l1∥l2”的既不充分也不必要条件．] 8．已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为________． x－y＋1＝0 [因为 kPQ＝ 4－2 1－3 ＝－1，故直线 l 的斜率为 1，又线段 PQ 的中点为(2,3)， 所以直线 l 的方程为 x－y＋1＝0.] 9．若直线 l1：x＋my＋6＝0 与 l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0 互相平行，则 m 的值为________， 它们之间的距离为________． －1 8 2 3 [由题知，1×3＝m(m－2)且 1×2m≠6(m－2)，解得 m＝－1，则 l1：x－y ＋6＝0，l2：x－y＋ 2 3 ＝0，则两平行线间的距离为 d＝ |6－ 2 3| 2 ＝ 8 2 3 .] 三、解答题 10．已知△ABC 的顶点 A(5,1)，AB 边上的中线 CM 所在直线的方程为 2x－y－5＝0， AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 x－2y－5＝0，求直线 BC 的方程． [解] 依题意知 kAC＝－2，A(5,1)，所以直线 AC 的方程为 2x＋y－11＝0，联立直线 AC 和直线 CM 的方程，得 2x＋y－11＝0， 2x－y－5＝0 所以 C(4,3)．设 B(x0，y0)，AB 的中点 M 为 x0＋5 2 ， y0＋1 2 ，代入 2x－y－5＝0，得 2x0－y0－1＝0，所以 2x0－y0－1＝0， x0－2y0－5＝0， 所以 B(－ 1，－3)，所以 kBC＝ 6 5 ，所以直线 BC 的方程为 y－3＝ 6 5 (x－4)，即 6x－5y－9＝0. 11．一条光线经过点 P(2,3)射在直线 l：x＋y＋1＝0 上，反射后经过点 Q(1,1)，求： (1)入射光线所在直线的方程； (2)这条光线从 P 到 Q 所经过的路线的长度． [解] (1)设点 Q′(x′，y′)为点 Q 关于直线 l 的对称点，QQ′交 l 于点 M，∵kl＝－1，∴kQQ′ ＝1， ∴QQ′所在直线的方程为 y－1＝1×(x－1)，即 x－y＝0. 由 x＋y＋1＝0， x－y＝0， 解得 x＝－ 1 2 ， y＝－ 1 2 ， ∴交点 M － 1 2 ，－ 1 2 ，∴ 1＋x′ 2 ＝－ 1 2 ， 1＋y′ 2 ＝－ 1 2 ， 解得 x′＝－2， y′＝－2， ∴Q′(－2，－2)． 设入射光线与 l 交于点 N，则 P，N，Q′三点共线， 又 P(2,3)，Q′(－2，－2)， ∴入射光线所在直线的方程为 y－ －2 3－ －2 ＝ x－ －2 2－ －2 ，即 5x－4y＋2＝0. (2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′| ＝ [2－ －2 ]2＋[3－ －2 ]2＝ 41， 即这条光线从 P 到 Q 所经路线的长度为 41. 1．数学家欧拉 1765 年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、 重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点 A(2,0)，B(0,4)， 若其欧拉线的方程为 x－y＋2＝0，则顶点 C 的坐标是( ) A．(－4,0) B．(0，－4) C．(4,0) D．(4,0)或(－4,0) A [设 C(m，n)，由重心坐标公式，得△ABC 的重心为 2＋m 3 ， 4＋n 3 ，代入欧拉线方程 得 2＋m 3 － 4＋n 3 ＋2＝0，整理得 m－n＋4＝0，① 易得 AB 边的中点为(1,2)，kAB＝ 4－0 0－2 ＝－2，AB 的垂直平分线的方程为 y－2＝ 1 2 (x－1)， 即 x－2y＋3＝0.由 x－2y＋3＝0， x－y＋2＝0， 解得 x＝－1， y＝1. ∴△ABC 的外心为(－1,1)，则(m＋ 1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10，整理得 m2＋n2＋2m－2n＝8.② 联立①②解得 m＝－4，n＝0 或 m＝0，n＝4.当 m＝0，n＝4 时，点 B，C 重合，应舍 去，∴顶点 C 的坐标是(－4,0)．故选 A.] 2．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y＝x＋ 4 x (x>0)上的一个动点， 则点 P 到直线 x＋y＝0 的距离的最小值是__________． 4 [由 y＝x＋ 4 x (x>0)，得 y′＝1－ 4 x2 ， 设斜率为－1 的直线与曲线 y＝x＋ 4 x (x>0)切于(x0，x0＋ 4 x0 )(x0＞0)，由 1－ 4 x2 0 ＝－1， 解得 x0＝ 2(x0>0)． ∴曲线 y＝x＋ 4 x (x>0)上，点 P( 2，3 2)到直线 x＋y＝0 的距离最小，最小值为 | 2＋3 2| 2 ＝4.] 3．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为 x－2y＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的 方程为 y＝0.若点 B 的坐标为(1,2)，求： (1)点 A 和点 C 的坐标； (2)△ABC 的面积． [解] (1)由方程组 x－2y＋1＝0， y＝0， 解得点 A(－1,0)． 又直线 AB 的斜率为 kAB＝1， 且 x 轴是∠A 的平分线， 故直线 AC 的斜率为－1，所以 AC 所在的直线方程为 y＝－(x＋1)． 已知 BC 边上的高所在的直线方程为 x－2y＋1＝0， 故直线 BC 的斜率为－2，故 BC 所在的直线方程为 y－2＝－2(x－1)． 解方程组 y＝－ x＋1 ， y－2＝－2 x－1 ， 得点 C 的坐标为(5，－6)． (2)因为 B(1,2)，C(5，－6)，所以|BC|＝ 1－5 2＋[2－ －6 ]2＝4 5，点 A(－1,0)到直线 BC：y－2＝－2(x－1)的距离为 d＝ |2× －1 －4| 5 ＝ 6 5 ，所以△ABC 的面 积为 1 2 ×4 5× 6 5 ＝12.