2022版高考数学一轮复习课后限时集训17函数模型及其应用含解析

课后限时集训(十七) 函数模型及其应用 建议用时：40 分钟 一、选择题 1.如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔， 当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 T.若鱼缸 水深为 h 时，水流出所用时间为 t，则函数 h＝f(t)的图象大致是 ( ) A B C D B [函数 h＝f(t)是关于 t 的减函数，故排除 C，D，半缸水前，h 的变化是越来越慢，半 缸水后，h 的变化是越来越快，故选 B.] 2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量(升) 加油时累计里程(千米) 2020 年 10 月 1 日 12 35 000 2020 年 10 月 15 日 60 35 600 (注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程) 在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为( ) A．6 升 B．8 升 C．10 升 D．12 升 C [因为第二次加满油箱时加油量为 60 升，所以从第一次加油到第二次加油共用油 60 升，行驶了 600 千米，所以在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 60 600÷100 ＝10(升)．故 选 C.] 3．(多选)(2020·北京东城区一模改编)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本 之差)记为 y，观影人数记为 x，y 关于 x 的函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预 期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后 y 关于 x 的函数图象． 图(1) 图(2) 图(3) 给出下列四种说法，其中正确的说法是( ) A．图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B．图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C．图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D．图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 BC [由图(1)可设 y 关于 x 的函数为 y＝kx＋b，k＞0，b＜0，k 为票价，当 k＝0 时， y＝b，则－b 为固定成本．由图(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，则－b 变小，固定成本减小，故 A 错误，B 正确；由图(3)知，直线与 y 轴的交点不变，直线斜率变 大，即 k 变大，票价提高，b 不变，即－b 不变，固定成本不变，故 C 正确，D 错误．故答 案为 BC.] 4．某商品价格前两年每年递增 20%，后两年每年递减 20%，则四年后的价格与原来价 格比较，变化的情况是( ) A．减少 7.84% B．增加 7.84% C．减少 9.5% D．不增不减 A [设某商品原来价格为 a，四年后价格为： a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a， (0.921 6－1)a＝－0.078 4a， 所以四年后的价格与原来价格比较，减少 7.84%.] 5．(2020·辽宁五校联考)一个人以 6 米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽 车 25 米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间 t 秒内的路程为 s＝ 1 2 t2 米，那么，此人( ) A．可在 7 秒内追上汽车 B．可在 9 秒内追上汽车 C．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为 14 米 D．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为 7 米 D [已知 s＝ 1 2 t2，车与人的间距 d＝(s＋25)－6t＝ 1 2 t2－6t＋25＝ 1 2 (t－6)2＋7.当 t＝6 时，d 取得最小值 7.故选 D.] 6．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月货 物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项 费用 y1，y2 分别是 2 万和 8 万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A．5 千米处 B．4 千米处 C．3 千米处 D．2 千米处 A [设仓库建在离车站 x 千米处，则 y1＝ k1 x ，y2＝k2x，根据给出的初始数据可得 k1＝ 20，k2＝0.8，两项费用之和为 y＝ 20 x ＋0.8x≥8，当且仅当 x＝5 时，等号成立．] 二、填空题 7．某汽车销售公司在 A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润(单位：万 元)为 y1＝4.1x－0.1x2，在 B 地的销售利润(单位：万元)为 y2＝2x，其中 x 为销售量(单位： 辆)，若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元． 43 [设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x(0≤x≤16 且 x∈N*)辆，则在 B 地销售该品牌的 汽车(16－x)辆，所以可得利润 y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－ 1 10 × x－ 21 2 2＋ 1 10 × 212 4 ＋32. 因为 x∈[0,16]且 x∈N*， 所以当 x＝10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元．] 8．(2020·山东济宁期末)2019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志 着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了 中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少” 这一规律．已知样本中碳 14 的质量 N 随时间 t(单位：年)的衰变规律满足 N＝N0·2 (N0 表示碳 14 原有的质量)，则经过 5 730 年后，碳 14 的质量变为原来的________；经过测定， 良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的 1 2 至 3 5 ，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 ________年到 5 730 年之间．(参考数据：log23≈1.6，log25≈2.3) 1 2 4 011 [当 t＝5 730 时，N＝N0·2－1＝ 1 2 N0， ∴经过 5 730 年后，碳 14 的质量变为原来的 1 2 .令 N＝ 3 5 N0，则 2 ＝ 3 5 ，∴－ t 5 730 ＝ log2 3 5 ＝log23－log25≈－0.7，∴t≈0.7×5 730＝4 011，∴良渚古城存在的时期距今约在 4 011 年到 5 730 年之间．] 9．(2020·洛阳模拟)为促进全民健身运动，公司为员工购买某健身俱乐部的健身卡，每 张 360 元，使用规定：不记名，每卡每次仅限 1 人，每天仅限 1 次．公司共 90 名员工，公 司领导打算组织员工分批去健身，除需购买若干张健身卡外，每次去俱乐部还要包租一辆汽 车，费用是每次 40 元，如果要使每位员工健身 10 次，那么公司购买________张健身卡最合算． 10 [设购买 x 张健身卡，这项健身活动的总支出为 y， 则 y＝ 90×10 x ×40＋360x， 即 y＝360 100 x ＋x ≥360×2 100 x ·x＝7 200， 当且仅当 100 x ＝x，即 x＝10 时取等号， 所以公司购买 10 张健身卡最合算．] 三、解答题 10.如图，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE＝4 米，CD＝6 米．为了合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内 截取一个矩形 BNPM，使点 P 在边 DE 上． (1)设 MP＝x 米，PN＝y 米，将 y 表示成 x 的函数，并求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形 BNPM 面积的最大值． [解] (1)如图，作 PQ⊥AF 于 Q，所以 PQ＝8－y，EQ＝x－4， 在△EDF 中， EQ PQ ＝ EF FD ， 所以 x－4 8－y ＝ 4 2 ， 所以 y＝－ 1 2 x＋10， 定义域为{x|4≤x≤8}． (2)设矩形 BNPM 的面积为 S， 则 S(x)＝xy＝x 10－ x 2 ＝－ 1 2 (x－10)2＋50， 所以 S(x)是关于 x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线 x＝10，所以当 x∈[4,8] 时，S(x)单调递增， 所以当 x＝8 时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，最大值为 48 平方米． 11．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利 用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本 5 万元，每年 生产 x 万件，需另投入流动成本 C(x)万元，且 C(x)＝ 1 2 x2＋4x，0＜x＜8， 11x＋ 49 x －35，x≥8. 每件产品售 价为 10 元，经分析，生产的产品当年能全部售完． (1)写出年利润 P(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定 成本－流动成本)； (2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解] (1)因为每件产品售价为 10 元，所以 x 万件产品销售收入为 10x 万元． 依题意得，当 0＜x＜8 时，P(x)＝10x－ 1 2 x2＋4x －5＝－ 1 2 x2＋6x－5； 当 x≥8 时，P(x)＝10x－ 11x＋ 49 x －35 －5＝30－ x＋ 49 x . 所以 P(x)＝ － 1 2 x2＋6x－5，0＜x＜8， 30－ x＋ 49 x ，x≥8. (2)当 0＜x＜8 时，P(x)＝－ 1 2 (x－6)2＋13，当 x＝6 时，P(x)取得最大值 P(6)＝13； 当 x≥8 时，P′(x)＝－1＋ 49 x2 ＜0，所以 P(x)为减函数，当 x＝8 时，P(x)取得最大值 P(8) ＝ 127 8 . 由 13＜ 127 8 可知当年产量为 8 万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利 润为 127 8 万元． 1．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京 白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明 对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客 网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%. (1)当 x＝10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付________元； (2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的 最大值为________． (1)130 (2)15 [(1)顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒时，总价为 60＋80＝140(元)，总 价达到 120 元，又 x＝10，即顾客少付 10 元，所以需要支付 130 元． (2)设顾客买水果的总价为 a 元，当 0≤a＜120 时，顾客支付 a 元，李明得到 0.8a 元， 且 0.8a≥0.7a，显然符合题意，此时 x＝0；当 a≥120 时，则 0.8(a－x)≥0.7a 恒成立，即 x≤ 1 8 a 恒成立，x≤ 1 8 a min，又 a≥120，所以 1 8 a min＝15 所以 x≤15.综上可知，0≤x≤15.所以 x 的最大值为 15.] 2．某种出口产品的关税税率为 t，市场价格 x(单位：千元)与市场供应量 p(单位：万件) 之间近似满足关系式：p＝2(1－kt)(x－b)2，其中 k，b 均为常数．当关税税率 t＝75%时，若 市场价格为 5 千元，则市场供应量约为 1 万件；若市场价格为 7 千元，则市场供应量约为 2 万件． (1)试确定 k，b 的值； (2)市场需求量 q(单位：万件)与市场价格 x(单位：千元)近似满足关系式：q＝2－x，当 p ＝q 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过 4 千元时，试确定关税税率的最 大值． [解] (1)由已知得： 1＝2 1－0.75k 5－b 2 2＝2 1－0.75k 7－b 2 ⇒ 1－0.75k 5－b 2＝0， 1－0.75k 7－b 2＝1， 解得 b＝5，k＝1. (2)当 p＝q 时，2(1－t)(x－5) 2 ＝2－x， 所以(1－t)(x－5)2＝－x⇒t＝1＋ x x－5 2 ＝1＋ 1 x＋ 25 x －10 . 而 f(x)＝x＋ 25 x 在(0,4]上单调递减， 所以当 x＝4 时，f(x)有最小值 41 4 ， 故当 x＝4 时，关税税率的最大值为 500%.