2022版高考数学一轮复习课后限时集训35数系的扩充与复数的引入含解析

课后限时集训(三十五) 数系的扩充与复数的引入 建议用时：25 分钟 一、选择题 1．(2019·全国卷Ⅱ)设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C [∵z＝－3＋2i，∴ z ＝－3－2i， ∴在复平面内， z 对应的点为(－3，－2)，此点在第三象限．] 2．(2020·北京高考)在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是(1,2)，则 i·z＝ ( ) A．1＋2i B．－2＋i C．1－2i D．－2－i B [∵复数 z 对应的点的坐标是(1,2)， ∴z＝1＋2i，则 i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i，故选 B.] 3．若复数 z＝ a 1＋i ＋1 为纯虚数，则实数 a＝( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 A [因为复数 z＝ a 1＋i ＋1＝ a 1－i 1＋i 1－i ＋1＝ a＋2 2 － a 2 i，∵z 为纯虚数，∴ a＋2 2 ＝0， － a 2 ≠0， ∴a＝－2.] 4．已知 1－i 2 z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z 等于( ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i D [由题意，得 z＝ 1－i 2 1＋i ＝ －2i 1＋i ＝－1－i，故选 D.] 5．(2020·驻马店模拟)已知 z＝a＋i2 021，且|z＋i|＝3，则实数 a 的值为( ) A．0 B．1 C．± 5 D． 6 C [∵z＝a＋i2 021＝a＋i，∴|z＋i|＝|a＋2i|＝ a2＋4＝3. ∴a＝± 5，故选 C.] 6．(多选)设复数 z＝(a＋i)(1－i)(a∈R)，则复数 z 在复平面内对应的点可能在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ABD [复数 z＝(a＋i)(1－i)＝(a＋1)＋(1－a)i，设复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 (x，y)，则 x＝a＋1， y＝1－a， 消去参数 a，得点(x，y)的轨迹方程为 x＋y＝2，所以复数 z 在复平 面内对应的点不可能在第三象限，故选 ABD.] 7．(多选)已知复数 z＝ 8＋i 1＋2i ，其中 i 是虚数单位，则下列结论正确的是 ( ) A．z 的模等于 13 B．z 在复平面内对应的点位于第四象限 C．z 的共轭复数为－2－3i D．若 z(m＋4i)是纯虚数，则 m＝－6 BD [因为 z＝ 8＋i 1＋2i ＝2－3i，所以|z|＝ 13，因此 A 项错误；复数 z 在复平面内对应 的点为(2，－3)，位于第四象限，B 项正确；z 的共轭复数 z ＝2＋3i，C 项错误；因为 z(m ＋4i)＝(2－3i)(m＋4i)＝(2m＋12)＋(8－3m)i 为纯虚数，所以 2m＋12＝0,8－3m≠0，得 m ＝－6，故 D 项正确．故选 BD.] 8．(多选)已知复数 z＝ 1＋i 1－i ，则( ) A．z2 021 是纯虚数 B．|z＋i|＝2 C．z 的共轭复数为－i D．复数 z ＋z·i 在复平面内对应的点在第二象限 ABC [由题意知，z＝ 1＋i 1－i ＝ 1＋i 2 1－i 1＋i ＝i，所以 z2 021＝i2 021＝i，A 正确；|z＋ i|＝|2i|＝2，B 正确；z 的共轭复数为－i，C 正确； z ＋z·i＝－i＋i·i＝－1－i，该复数在复平 面内对应点(－1，－1)在第三象限，D 错误．故选 ABC.] 二、填空题 9．设复数 z 满足 z ＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数 z＝________. 2－i [复数 z 满足 z ＝|1－i|＋i＝ 2＋i，则复数 z＝ 2－i.] 10．已知 i 是虚数单位，则复数 z＝(1＋i)(2－i)的实部是________，虚部是________． 3 1 [z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，故实部是 3，虚部是 1.] 11．(2020·山东潍坊调研)已知 i 是虚数单位，z＝ 2i 1＋i －3i2 021，且 z 的共轭复数为 z ， 则 z＝________，z· z ＝________. 1－2i 5 [z＝ 2i 1＋i －3i2 021＝ 2i 1－i 1＋i 1－i －3i＝i＋1－3i＝1－2i， z ＝1＋2i， 所以 z· z ＝5.] 12．已知复数 z＝ 4＋2i 1＋i 2 (i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线 x－2y＋m＝0 上， 则 m＝________. －5 [z＝ 4＋2i 1＋i 2 ＝ 4＋2i 2i ＝ 4＋2i i 2i2 ＝1－2i，复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 (1，－2)，将其代入 x－2y＋m＝0，得 m＝－5.] 1．(多选)(2021·全国统一考试模拟演练)设 z1，z2，z3 为复数，z1≠0，下列命题中正确 的是( ) A．若|z2|＝|z3|，则 z2＝±z3 B．若 z1z2＝z1z3，则 z2＝z3 C．若 z 2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若 z1z2＝|z1|2，则 z1＝z2 BC [|i|＝|1|，故 A 错误；z1z2＝z1z3，则 z1(z2－z3)＝0，又 z1≠0，所以 z2＝z3，故 B 正确；|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，又 z2 ＝z3，所以|z2|＝| z2 |＝|z3|，故 C 正确； z1＝i，z2＝－i，满足 z1z2＝|z1|2，不满足 z1＝z2，故 D 错误，故选 BC.] 2．若虚数 z 同时满足下列两个条件： ①z＋ 5 z 是实数； ②z＋3 的实部与虚部互为相反数． 则 z＝________，|z|＝________. －1－2i 或－2－i 5 [设 z＝a＋bi(a，b∈R 且 b≠0)， z＋ 5 z ＝a＋bi＋ 5 a＋bi ＝a＋bi＋ 5 a－bi a2＋b2 ＝ a＋ 5a a2＋b2 ＋ b－ 5b a2＋b2 i. 因为 z＋ 5 z 是实数，所以 b－ 5b a2＋b2 ＝0. 又因为 b≠0，所以 a2＋b2＝5.① 又 z＋3＝(a＋3)＋bi 的实部与虚部互为相反数， 所以 a＋3＋b＝0.② 由①②得 a＋b＋3＝0， a2＋b2＝5， 解得 a＝－1， b＝－2 或 a＝－2， b＝－1， 故存在虚数 z，z＝－1－2i 或 z＝－2－i，|z|＝ 5.]