2022版高考数学一轮复习课后限时集训28三角函数的图象与性质含解析

课后限时集训(二十八) 三角函数的图象与性质 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．函数 y＝ 2cos 2x＋1的定义域是( ) A． x|2kπ≤x≤2kπ＋ π 2 ，k∈Z B． x|kπ≤x≤kπ＋ π 2 ，k∈Z C． x|kπ≤x≤kπ＋ π 3 ，k∈Z D． x|kπ－ π 3 ≤x≤kπ＋ π 3 ，k∈Z D [由题意知 2cos 2x＋1≥0，即 cos 2x≥－ 1 2 . ∴2kπ－ 2 3 π≤2x≤2kπ＋ 2 3 π，k∈Z， ∴kπ－ π 3 ≤x≤kπ＋ π 3 ，k∈Z，故选 D.] 2．(2019·全国卷Ⅱ)若 x1＝ π 4 ，x2＝ 3π 4 是函数 f(x)＝sin ωx(ω＞0)的两个相邻的极值点， 则ω＝( ) A．2 B． 3 2 C．1 D． 1 2 A [由题意及函数 y＝sin ωx 的图象与性质可知， 1 2 T＝ 3π 4 － π 4 ，∴T＝π，∴ 2π ω ＝π，∴ω＝2. 故选 A.] 3．下列函数中最小正周期为π，且在 0， π 2 上为增函数的是( ) A．f(x)＝|sin 2x| B．f(x)＝tan|x| C．f(x)＝－cos 2x D．f(x)＝cos|2x| C [函数 f(x)＝tan|x|不是周期函数，因此排除 B. 函数 f(x)＝|sin 2x|在 0， π 2 上不是单调函数，故排除 A. 函数 f(x)＝cos|2x|在 0， π 2 上是减函数，故排除 D， 综上知选 C.] 4．函数 y＝cos2x－2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A．3，－1 B．3，－2 C．2，－1 D．2，－2 D [y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x ＝－sin2x－2sin x＋1， 令 t＝sin x， 则 t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2， 所以 ymax＝2，ymin＝－2.] 5．已知函数 f(x)＝sin ωx＋ π 2 (0＜ω＜π)，f π 4 ＝0，则函数 f(x)的图象的对称轴方程 为( ) A．x＝kπ－ π 4 ，k∈Z B．x＝kπ＋ π 4 ，k∈Z C．x＝ 1 2 kπ，k∈Z D．x＝ 1 2 kπ＋ π 4 ，k∈Z C [f(x)＝sin ωx＋ π 2 ＝cos ωx， 则 f π 4 ＝cos πω 4 ＝0， ∵0＜ω＜π， ∴ π 4 ω＝ π 2 ，解得ω＝2， 即 f(x)＝cos 2x. 由 2x＝kπ，k∈Z 得 x＝ 1 2 kπ，k∈Z，故选 C.] 6．(多选)(2020·深圳月考)已知函数 f(x)＝sin 2x＋ 3cos 2x，则下列结论正确的是( ) A．f(x)的最小正周期为 2π B．f(x)的图象关于点 π 3 ，0 成中心对称 C．f(x)的图象关于直线 x＝－ 5π 12 对称 D．f(x)的单调递增区间是 kπ－ 5π 12 ，kπ＋ π 12 (k∈Z) BCD [已知函数 f(x)＝sin 2x＋ 3cos 2x＝2sin 2x＋ π 3 ，则： A．函数 f(x)的最小正周期为π，故 A 错误． B．由于 f π 3 ＝0，函数 f(x)图象关于 π 3 ，0 对称，故 B 正确． C．当 x＝－ 5π 12 时，f － 5π 12 ＝2sin － π 2 ＝－2，故函数 f(x)的图象关于直线 x＝－ 5π 12 对 称，C 正确． D．当 x∈ kπ－ 5π 12 ，kπ＋ π 12 (k∈Z)时，2kπ－ π 2 ≤2x＋ π 3 ≤2kπ＋ π 2 ，所以函数 f(x)在 kπ－ 5π 12 ，kπ＋ π 12 (k∈Z)上是单调增函数，故 D 正确． 故选 BCD.] 二、填空题 7．函数 y＝cos π 4 －2x 的单调递减区间为________． kπ＋ π 8 ，kπ＋ 5π 8 (k∈Z) [因为 y＝cos π 4 －2x ＝cos 2x－ π 4 ， 所以令 2kπ≤2x－ π 4 ≤2kπ＋π(k∈Z)，解得 kπ＋ π 8 ≤x≤kπ＋ 5π 8 (k∈Z)， 所以函数的单调递减区间为 kπ＋ π 8 ，kπ＋ 5π 8 (k∈Z)．] 8．若函数 f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间 0， π 3 上单调递增，在区间 π 3 ， π 2 上单调递减， 则ω＝________. 3 2 [由题意知 π 3 ω＝ π 2 ，解得ω＝ 3 2 .] 9．函数 f(x)＝ 3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则 tan θ等于________． － 3 [f(x)＝ 3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)＝2sin π 3 －3x＋θ ＝－2sin 3x－ π 3 －θ ， 因为函数 f(x)为奇函数， 则有－ π 3 －θ＝kπ，k∈Z， 即θ＝－kπ－ π 3 ，k∈Z， 故 tan θ＝tan －kπ－ π 3 ＝－ 3.] 三、解答题 10．已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期为 2，且当 x＝ 1 3 时，f(x)的最 大值为 2. (1)求 f(x)的解析式； (2)在闭区间 21 4 ， 23 4 上是否存在 f(x)的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请 说明理由． [解] (1)由 T＝2 知 2π ω ＝2 得ω＝π. 又当 x＝ 1 3 时 f(x)max＝2，知 A＝2. 且 π 3 ＋φ＝2kπ＋ π 2 (k∈Z)，故φ＝2kπ＋ π 6 (k∈Z)． ∴f(x)＝2sin πx＋2kπ＋ π 6 ＝2sin πx＋ π 6 . (2)存在．令πx＋ π 6 ＝kπ＋ π 2 (k∈Z)， 得 x＝k＋ 1 3 (k∈Z)． 由 21 4 ≤k＋ 1 3 ≤ 23 4 .得 59 12 ≤k≤ 65 12 ，又 k∈Z，∴k＝5. 故在 21 4 ， 23 4 上存在 f(x)的对称轴，其方程为 x＝ 16 3 . 11．已知 a＝(sin x， 3cos x)，b＝(cos x，－cos x)，函数 f(x)＝a·b＋ 3 2 . (1)求函数 y＝f(x)图象的对称轴方程； (2)若方程 f(x)＝ 1 3 在(0，π)上的解为 x1，x2，求 cos(x1－x2)的值． [解] (1)f(x)＝a·b＋ 3 2 ＝(sin x， 3cos x)·(cos x，－cos x)＋ 3 2 ＝sin x·cos x－ 3cos2x＋ 3 2 ＝ 1 2 sin 2x－ 3 2 cos 2x＝sin 2x－ π 3 . 令 2x－ π 3 ＝kπ＋ π 2 (k∈Z)，得 x＝ 5π 12 ＋ k 2 π(k∈Z)， 即函数 y＝f(x)图象的对称轴方程为 x＝ 5π 12 ＋ k 2 π(k∈Z)． (2)由(1)及已知条件可知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于 x＝ 5π 12 对称， 则 x1＋x2＝ 5π 6 ， ∴cos(x1－x2)＝cos x1－ 5π 6 －x1 ＝cos 2x1－ 5π 6 ＝cos 2x1－ π 3 － π 2 ＝sin 2x1－ π 3 ＝f(x1)＝ 1 3 . 1．(多选)(2020·聊城三模)已知函数 f(x)＝|sin x|＋cos x，则下列正确的是( ) A．2π为 f(x)的周期 B．对于任意 x∈R，函数 f(x)都满足 f(π＋x)＝f(π－x) C．函数 f(x)在 π 4 ，π 上单调递减 D．f(x)的最小值为－ 2 ABC [根据题意，函数 f(x)＝|sin x|＋cos x＝ sin x＋cos x，2kπ≤x≤2kπ＋π， cos x－sin x，2kπ－π≤x≤2kπ， 依次分析选项： A．f(x)＝|sin x|＋cos x，其最小正周期为 2π，故 A 正确； B．若 f(π＋x)＝f(π－x)，则函数 f(x)关于 x＝π对称， 即 f(2π＋x)＝f(－x)， 则 f(2π＋x)＝|sin(x＋2π)|＋cos(x＋2π)＝|sin x|＋cos x， f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x， 则 f(2π＋x)＝f(－x)，即 f(π＋x)＝f(π－x)成立，故 B 正确； C．当 x∈ π 4 ，π 时，x＋ π 4 ∈ π 2 ， 5π 4 ，函数 f(x)＝ 2 2 sin x＋ π 4 单调递减，故 C 正确； D．当 2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，f(x)＝sin x＋cos x＝ 2sin x＋ π 4 ， 2kπ＋ π 4 ≤x＋ π 4 ≤2kπ＋ 5π 4 ，k∈Z，此时 f(x)∈[－1， 2]， ∵f(x)是偶函数， ∴函数 f(x)值域为[－1， 2]，故 D 错误． 故选 ABC.] 2．(多选)已知函数 f(x)＝sin x·sin x＋ π 3 － 1 4 的定义域为[m，n](m＜n)，值域为 － 1 2 ， 1 4 ， 则 n－m 的值不可能是( ) A． 5π 12 B． 7π 12 C． 3π 4 D． 11π 12 CD [f(x)＝sin x·sin x＋ π 3 － 1 4 ＝sin x 1 2 sin x＋ 3 2 cos x － 1 4 ＝ 1 2 sin2x＋ 3 2 sin xcos x － 1 4 ＝ 1 4 (1－cos 2x)＋ 3 4 sin 2x－ 1 4 ＝ 1 2 3 2 sin 2x－ 1 2 cos 2x ＝ 1 2 sin 2x－ π 6 .作出函数 f(x)的 图象如图所示，在一个周期内考虑问题． 易得 m＝ π 2 ， 5π 6 ≤n≤ 7π 6 或 π 2 ≤m≤ 5π 6 ， n＝ 7π 6 满足题意，所以 n－m 的值可能为区间 π 3 ， 2π 3 内的任意实数．所以选项 A，B 可能，选项 C，D 不可能．] 3．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) (0＜ω＜1,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M 3π 4 ，0 对称． (1)求φ，ω的值； (2)求 f(x)的单调递增区间； (3)x∈ － 3π 4 ， π 2 ，求 f(x)的最大值与最小值． [解] (1)因为 f(x)＝sin(ωx＋φ)是 R 上的偶函数，所以φ＝ π 2 ＋kπ，k∈Z，且 0≤φ≤π， 则φ＝ π 2 ，即 f(x)＝cos ωx. 因为图象关于点 M 3π 4 ，0 对称， 所以ω× 3π 4 ＝ π 2 ＋kπ，k∈Z，且 0＜ω＜1，所以ω＝ 2 3 . (2)由(1)得 f(x)＝cos 2 3 x， 由－π＋2kπ≤ 2 3 x≤2kπ且 k∈Z 得，3kπ－ 3π 2 ≤x≤3kπ，k∈Z， 所以函数 f(x)的递增区间是 3kπ－ 3π 2 ，3kπ ，k∈Z. (3)因为 x∈ － 3π 4 ， π 2 ，所以 2 3 x∈ － π 2 ， π 3 ， 当 2 3 x＝0 时，即 x＝0，函数 f(x)的最大值为 1， 当 2 3 x＝－ π 2 时，即 x＝－ 3π 4 ，函数 f(x)的最小值为 0. 1．已知函数 f(x)＝sin x＋ 3cos x 在 x＝θ时取得最大值，则 cos 2θ＋ π 4 ＝ ( ) A．－ 2＋ 6 4 B．－ 1 2 C． 2－ 6 4 D． 3 2 C [法一：∵f(x)＝sin x＋ 3cos x＝2sin x＋ π 3 ，又 f(x)在 x＝θ时取得最大值，∴θ＋ π 3 ＝ π 2 ＋2kπ(k∈Z)，即θ＝ π 6 ＋2kπ(k∈Z)，于是 cos 2θ＋ π 4 ＝cos π 3 ＋ π 4 ＋4kπ ＝cos π 3 ＋ π 4 ＝ 1 2 × 2 2 － 3 2 × 2 2 ＝ 2－ 6 4 ，故选 C. 法二：∵f(x)＝sin x＋ 3cos x， ∴f′(x)＝cos x－ 3sin x. 又 f(x)在 x＝θ时取得最大值，∴f′(θ)＝cos θ－ 3sin θ＝0，即 tan θ＝ 3 3 ，则 cos 2θ＋ π 4 ＝ 2 2 (cos 2θ－sin 2θ)＝ 2 2 × 1－tan2θ－2tan θ 1＋tan2θ ＝ 2－ 6 4 ，故选 C.] 2．已知函数 f(x)＝a 2cos2x 2 ＋sin x ＋b. (1)若 a＝－1，求函数 f(x)的单调增区间； (2)当 x∈[0，π]时，函数 f(x)的值域是[5,8]，求 a，b 的值． [解] f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b ＝ 2asin x＋ π 4 ＋a＋b. (1)当 a＝－1 时，f(x)＝－ 2sin x＋ π 4 ＋b－1， 由 2kπ＋ π 2 ≤x＋ π 4 ≤2kπ＋ 3π 2 (k∈Z)， 得 2kπ＋ π 4 ≤x≤2kπ＋ 5π 4 (k∈Z)， ∴f(x)的单调增区间为 2kπ＋ π 4 ，2kπ＋ 5π 4 (k∈Z)． (2)∵0≤x≤π，∴ π 4 ≤x＋ π 4 ≤ 5π 4 ， ∴－ 2 2 ≤sin x＋ π 4 ≤1.依题意知 a≠0， ①当 a＞0 时， 2a＋a＋b＝8， b＝5， ∴a＝3 2－3，b＝5； ②当 a＜0 时， b＝8， 2a＋a＋b＝5， ∴a＝3－3 2，b＝8. 综上所述，a＝3 2－3，b＝5 或 a＝3－3 2，b＝8.