2022版高考数学一轮复习课后限时集训18导数的概念及运算含解析

课后限时集训(十八) 导数的概念及运算 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．(多选)若函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象关于 y 轴对称，则 f(x)的解析式可能为( ) A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝x3＋x C．f(x)＝x＋ 1 x D．f(x)＝ex＋x BC [根据题意，依次分析选项： 对于 A，f′(x)＝－3sin x，为奇函数，图象不关于 y 轴对称，不符合题意． 对于 B，f′(x)＝3x2＋1，为偶函数，图象关于 y 轴对称，符合题意． 对于 C，f′(x)＝1－ 1 x2 ，为偶函数，图象关于 y 轴对称，符合题意． 对于 D，f′(x)＝ex＋1，不是偶函数，图象不关于 y 轴对称，不符合题意．] 2．已知 f′(x)是函数 f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则 f′(2)＝( ) A. 12－8ln 2 1－2ln 2 B． 2 1－2ln 2 C. 4 1－2ln 2 D．－2 C [因为 f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以 f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得 f′(1)＝ 2 1－2ln 2 ，所 以 f′(x)＝ 2 1－2ln 2 ·2xln 2＋2x，所以 f′(2)＝ 2 1－2ln 2 ×22ln 2＋2×2＝ 4 1－2ln 2 .] 3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s＝ 1 3 t3－3t2＋8t，那么速度 为零的时刻是( ) A．1 秒末 B．1 秒末和 2 秒末 C．4 秒末 D．2 秒末和 4 秒末 D [∵s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义可知 v＝s′(t)，令 s′(t)＝0，得 t＝2 或 4， 即 2 秒末和 4 秒末的速度为零，故选 D.] 4．若曲线 f(x)＝acos x 与曲线 g(x)＝x2＋bx＋1 在 x＝0 处有公切线，则 a＋b＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 C [由题意得 f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，于是有 f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋ b，∴b＝0.又 f(0)＝g(0)，即 a＝1，∴a＋b＝1.] 5．(2020·月考)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其 含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137 衰变过程中，其含量 M(单 位：太贝克)与时间 t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝600·2 ，则铯137 含量 M 在 t＝30 时的瞬间变化率为( ) A．－10ln 2(太贝克/年) B．300ln 2(太贝克/年) C．－300ln 2(太贝克/年) D．300(太贝克/年) A [依题意，M(t)＝600·2 ，∴M′(t)＝－ 1 30 ×600×2 ln 2＝－20×2 ln 2，∴铯 137 含量 M 在 t＝30 时的瞬间变化率为 M′(30)＝－20×2－1ln 2＝－10ln 2(太贝克/年)，故 选 A.] 6．(2020·合肥模拟)已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－e)，且与曲线 y＝f(x)相切， 则直线 l 的斜率为( ) A．－2 B．2 C．－e D．e B [函数 f(x)＝xln x 的导数为 f′(x)＝ln x＋1， 设切点为(m，n)，可得切线的斜率 k＝1＋ln m， 则 1＋ln m＝ n＋e m ＝ mln m＋e m ， 解得 m＝e，故 k＝1＋ln e＝2.] 二、填空题 7．已知 f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若 f′(2 020)＝6，则 f′(－2 020)＝______. 8 [因为 f′(x)＝4ax3－bsin x＋7， 所以 f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7 ＝－4ax3＋bsin x＋7. 所以 f′(x)＋f′(－x)＝14. 又 f′(2 020)＝6， 所以 f′(－2 020)＝14－6＝8.] 8．(2020·全国卷Ⅰ)曲线 y＝ln x＋x＋1 的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为 ________． y＝2x [设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得 y′＝ 1 x ＋1，则该切线的斜率 k＝ 1 x0 ＋ 1＝2，解得 x0＝1，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x.] 9．设函数 f(x)＝x3＋ax2，若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 x＋y＝0，则 点 P 的坐标为________． (1，－1)或(－1,1) [由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处 的切线斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋2ax0，又切线方程为 x＋y＝0，所以 x0≠0，且 3x2 0＋2ax0＝－1， x0＋x3 0＋ax2 0＝0， 解得 x0＝－1， a＝2 或 x0＝1， a＝－2， 所以当 x0＝1， a＝－2 时，点 P 的坐标为(1，－1)； 当 x0＝－1， a＝2 时，点 P 的坐标为(－1,1)．] 三、解答题 10．已知点 M 是曲线 y＝ 1 3 x3－2x2＋3x＋1 上任意一点，曲线在 M 处的切线为 l，求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线 l 的倾斜角α的取值范围． [解] (1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴当 x＝2 时，y′min＝－1，此时 y＝ 5 3 ， ∴斜率最小时的切点为 2， 5 3 ，斜率 k＝－1， ∴切线方程为 3x＋3y－11＝0. (2)由(1)得 k≥－1，∴tan α≥－1， 又∵α∈[0，π)，∴α∈ 0， π 2 ∪ 3π 4 ，π . 故α的取值范围为 0， π 2 ∪ 3π 4 ，π . 11．已知函数 f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求 a，b 的值； (2)若曲线 y＝f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线，求 a 的取值范围． [解] f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意，得 f 0 ＝b＝0， f′ 0 ＝－a a＋2 ＝－3， 解得 b＝0，a＝－3 或 a＝1. (2)因为曲线 y＝f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线， 所以关于 x 的方程 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0 有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0， 即 4a2＋4a＋1＞0，所以 a≠－ 1 2 . 所以 a 的取值范围为 －∞，－ 1 2 ∪ － 1 2 ，＋∞ . 1．(多选)给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f′(x)存在，且导函数 f′(x)在 D 上也可导， 则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数，记 f″(x)＝(f′(x))′，若 f″(x)＜0 在 D 上恒成立，则称 f(x)在 D 上为凸函数．以下四个函数在 0， π 2 上是凸函数的是( ) A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝x3＋2x－1 D．f(x)＝xex AB [对于 A：f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x，∵x∈ 0， π 2 ，∴f″(x)＜0， f(x)在 0， π 2 上是凸函数，故 A 正确． 对于 B：f′(x)＝ 1 x －2，f″(x)＝－ 1 x2 ＜0，故 f(x)在 0， π 2 上是凸函数，故 B 正确； 对于 C：f′(x)＝3x2＋2，f″(x)＝6x＞0，故 f(x)在 0， π 2 上不是凸函数，故 C 错误； 对于 D：f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex＞0，故 f(x)在 0， π 2 上不是凸函数，故 D 错 误．故选 AB.] 2．若曲线 f(x)＝ax3＋ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是______． (－∞，0) [由题意知，f(x)的定义域(0，＋∞)，f′(x)＝3ax2＋ 1 x ，又存在垂直于 y 轴的切 线，所以 3ax2＋ 1 x ＝0，即 a＝－ 1 3x3 (x＞0)，故 a∈(－∞，0)．] 3．已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)若直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标； (3)若曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－ 1 4 x＋3 垂直，求切点坐标与切线的方程． [解] (1)因为 f′(x)＝3x2＋1， 所以 f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率 k＝f′(2)＝13. 所以所求的切线方程为 y＝13(x－2)＋(－6)， 即 y＝13x－32. (2)设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1， 所以直线 l 的方程为 y＝(3x2 0＋1)(x－x0)＋x3 0＋x0－16. 又因为直线 l 过点(0,0)， 所以 0＝(3x2 0＋1)(－x0)＋x3 0＋x0－16， 整理得 x3 0＝－8，所以 x0＝－2， 所以 y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， 直线 l 的斜率 k＝3×(－2)2＋1＝13. 所以直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线 y＝－ 1 4 x＋3 垂直， 所以切线的斜率 k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 则 f′(x0)＝3x2 0＋1＝4，所以 x0＝±1. 所以 x0＝1， y0＝－14 或 x0＝－1， y0＝－18， 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 所以切线方程为 y＝4(x－1)－14 或 y＝4(x＋1)－18， 即 y＝4x－18 或 y＝4x－14.