2022版高考数学一轮复习课后限时集训27简单的三角恒等变换含解析

课后限时集训(二十七) 简单的三角恒等变换 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．(2020·赤峰模拟)tan 15°－ 1 tan 15° ＝( ) A．－ 2 3 3 B．2 3 C．－2 3 D．4 C [tan 15°－ 1 tan 15° ＝ sin 15° cos 15° － cos 15° sin 15° ＝ sin215°－cos215° cos 15°sin 15° ＝ －cos 30° 1 2 sin 30° ＝－2 3， 故选 C.] 2．(多选)下列四个等式，其中正确的是( ) A．tan 25°＋tan 35°＋ 3tan 25°tan 35°＝ 3 B． tan 22.5° 1－tan222.5° ＝1 C．cos2π 8 －sin2π 8 ＝ 1 2 D． 1 sin 10° － 3 cos 10° ＝4 AD [对 A：tan 60°＝tan(25°＋35°)＝ tan 25°＋tan 35° 1－tan 25° tan 35° ＝ 3，故 tan 25°＋tan 35° ＋ 3tan 25°tan 35°＝ 3，故正确； 对 B： tan 22.5° 1－tan222.5° ＝ 1 2 tan 45°＝ 1 2 ，故错误； 对 C：cos2π 8 －sin2π 8 ＝cos π 4 ＝ 2 2 ，故错误； 对 D： 1 sin 10° － 3 cos 10° ＝ cos 10°－ 3sin 10° sin 10° cos 10° ＝ 2cos 60°＋10° 1 2 sin 20° ＝ 2sin 20° 1 2 sin 20° ＝4，故 正确． 故选 AD.] 3．已知α，β均为锐角，且 sin 2α＝2sin 2β，则( ) A．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B．tan(α＋β)＝2tan(α－β) C．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β) A [因为 2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， sin 2α＝2sin 2β， 所以 sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]， 展开，可得 sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α ＋β)sin(α－β)]， 整理得 sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)， 两边同时除以 cos(α＋β)cos(α－β)， 得 tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选 A.] 4．(2020·赣州模拟)若 cos 78°＝m，则 sin(－51°)＝( ) A．－ m＋1 2 B．－ 1－m 2 C． m＋1 2 D． 1－m 2 A [由 cos 78°＝m，得 cos 102°＝cos(180°－78°) ＝－cos 78°＝－m. 又 cos 102°＝1－2sin251°， ∴sin251°＝ 1＋m 2 ， ∴sin 51°＝ 1＋m 2 ， ∴sin(－51°)＝－sin 51°＝－ 1＋m 2 ，故选 A.] 5．已知 A，B 均为钝角，sin2A 2 ＋cos A＋ π 3 ＝ 5－ 15 10 ，且 sin B＝ 10 10 ，则 A＋B＝ ( ) A． 3π 4 B． 5π 4 C． 7π 4 D． 7π 6 C [sin2A 2 ＋cos A＋ π 3 ＝ 1－cos A 2 ＋ 1 2 cos A－ 3 2 sin A ＝ 5－ 15 10 ， 整理得 sin A＝ 5 5 . 又 A，B 均为钝角，∴cos A＝－ 2 5 5 ，cos B＝－ 3 10 10 ， ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝ － 2 5 5 × － 3 10 10 － 5 5 × 10 10 ＝ 2 2 . 又π＜A＋B＜2π， ∴A＋B＝ 7π 4 ，故选 C.] 6．在 － π 2 ， π 2 上，满足方程 sin 2x＋ π 2 ＝cos 3π 2 ＋x 的 x 值为( ) A． π 3 B．± π 3 C． π 6 D．± π 6 C [由 sin 2x＋ π 2 ＝cos 3 2 π＋x 得 cos 2x＝sin x， 即 2sin2x＋sin x－1＝0， 解得 sin x＝ 1 2 或 sin x＝－1. 由于 x∈ － π 2 ， π 2 ， ∴sin x＝ 1 2 ， ∴x＝ π 6 ，故选 C.] 二、填空题 7．(2020·山东烟台模拟)已知θ∈ 0， π 2 ，且 sin θ－ π 4 ＝ 2 10 ，则 tan θ＝________，tan 2θ＝________. 4 3 － 24 7 [法一：由 sin θ－ π 4 ＝ 2 10 ，得 sin θ－cos θ＝ 1 5 ，可得 2sin θcos θ＝ 24 25 ， 又θ∈ 0， π 2 ，可求得 sin θ＋cos θ＝ 7 5 ， ∴sin θ＝ 4 5 ，cos θ＝ 3 5 ， ∴tan θ＝ 4 3 ，tan 2θ＝ 2tan θ 1－tan2θ ＝－ 24 7 . 法二：∵θ∈ 0， π 2 且 sin θ－ π 4 ＝ 2 10 ， ∴cos θ－ π 4 ＝ 7 2 10 ， ∴tan θ－ π 4 ＝ 1 7 ＝ tan θ－1 1＋tan θ ，解得 tan θ＝ 4 3 . 故 tan 2θ＝ 2tan θ 1－tan2θ ＝－ 24 7 .] 8．已知方程 x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为 tan α，tan β，且α，β∈ － π 2 ， π 2 ， 则α＋β＝________. － 3 4 π [依题意有 tan α＋tan β＝－3a， tan α·tan β＝3a＋1， ∴tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan α·tan β ＝ －3a 1－ 3a＋1 ＝1. 又 tan α＋tan β＜0， tan α·tan β＞0， ∴tan α＜0 且 tan β＜0， ∴－ π 2 ＜α＜0 且－ π 2 ＜β＜0， 即－π＜α＋β＜0，结合 tan(α＋β)＝1， 得α＋β＝－ 3π 4 .] 9．函数 y＝sin xcos x＋ π 3 的最小正周期是________． π [y＝sin xcos x＋ π 3 ＝ 1 2 sin xcos x－ 3 2 sin2x＝ 1 4 sin 2x－ 3 2 · 1－cos 2x 2 ＝ 1 2 sin 2x＋ π 3 － 3 4 ，故函数 f(x)的最小正周期 T＝ 2π 2 ＝π.] 三、解答题 10．已知 cos π 6 ＋α cos π 3 －α ＝－ 1 4 ，α∈ π 3 ， π 2 . (1)求 sin 2α的值； (2)求 tan α－ 1 tan α 的值． [解] (1)cos π 6 ＋α cos π 3 －α ＝cos π 6 ＋α sin π 6 ＋α ＝ 1 2 sin 2α＋ π 3 ＝－ 1 4 ， 即 sin 2α＋ π 3 ＝－ 1 2 . ∵α∈ π 3 ， π 2 ，∴2α＋ π 3 ∈ π， 4π 3 ， ∴cos 2α＋ π 3 ＝－ 3 2 ， ∴sin 2α＝sin 2α＋ π 3 － π 3 ＝sin 2α＋ π 3 cos π 3 －cos 2α＋ π 3 sin π 3 ＝－ 1 2 × 1 2 － － 3 2 × 3 2 ＝ 1 2 . (2)∵α∈ π 3 ， π 2 ，∴2α∈ 2π 3 ，π ， 又由(1)知 sin 2α＝ 1 2 ，∴cos 2α＝－ 3 2 . ∴tan α－ 1 tan α ＝ sin α cos α － cos α sin α ＝ sin2α－cos2α sin αcos α ＝ －2cos 2α sin 2α ＝－2× － 3 2 1 2 ＝2 3. 11．已知 0＜α＜ π 2 ＜β＜π，cos β－ π 4 ＝ 1 3 ，sin(α＋β)＝ 4 5 . (1)求 sin 2β的值； (2)求 cos α＋ π 4 的值． [解] (1)∵cos β－ π 4 ＝cos π 4 cos β＋sin π 4 sin β＝ 2 2 cos β＋ 2 2 sin β＝ 1 3 ， ∴cos β＋sin β＝ 2 3 ，∴1＋sin 2β＝ 2 9 ， ∴sin 2β＝－ 7 9 . (2)∵0＜α＜ π 2 ＜β＜π，∴ π 4 ＜β－ π 4 ＜ 3π 4 ， π 2 ＜α＋β＜ 3π 2 ， ∴sin β－ π 4 ＞0，cos(α＋β)＜0. ∵cos β－ π 4 ＝ 1 3 ，sin(α＋β)＝ 4 5 ， ∴sin β－ π 4 ＝ 2 2 3 ，cos(α＋β)＝－ 3 5 . ∴cos α＋ π 4 ＝cos α＋β － β－ π 4 ＝cos(α＋β)cos β－ π 4 ＋sin(α＋β)sin β－ π 4 ＝－ 3 5 × 1 3 ＋ 4 5 × 2 2 3 ＝ 8 2－3 15 . 1．已知 cos 2π 3 －2θ ＝－ 7 9 ，则 sin π 6 ＋θ 的值为( ) A． 1 3 B．± 1 3 C．－ 1 9 D． 1 9 B [∵cos 2π 3 －2θ ＝－ 7 9 ， ∴cos π 3 ＋2θ ＝cos π－ 2π 3 －2θ ＝－cos 2π 3 －2θ ＝ 7 9 ， 即 1－2sin2 π 6 ＋θ ＝ 7 9 ， 即 sin2 π 6 ＋θ ＝ 1 9 ， ∴sin π 6 ＋θ ＝± 1 3 .] 2．(2020·广西玉林模拟)若α∈(0,2π)，则满足 4sin α－ 1 cos α ＝4cos α－ 1 sin α 的所有 α的和为( ) A． 3π 4 B．2π C． 7π 2 D． 9π 2 D [由 4sin α－ 1 cos α ＝4cos α－ 1 sin α 得 4(sin α－cos α)＝ 1 cos α － 1 sin α ＝ sin α－cos α sin αcos α . ∴sin α－cos α＝0 或 4sin αcos α＝1， 即 tan α＝1 或 sin 2α＝ 1 2 . ∵α∈(0,2π)， ∴α＝ π 4 ， 5π 4 ， π 12 ， 13π 12 ， 5π 12 ， 17π 12 ， ∴满足条件的所有α的和为 π 4 ＋ 5π 4 ＋ π 12 ＋ 13π 12 ＋ 5π 12 ＋ 17π 12 ＝ 9π 2 ，故选 D.] 3．已知角α的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P － 3 5 ，－ 4 5 . (1)求 tan 2α的值； (2)若角β满足 sin(α＋β)＝ 5 13 ，求 cos β的值． [解] (1)角α的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P － 3 5 ，－ 4 5 ， ∴tan α＝ － 4 5 － 3 5 ＝ 4 3 ，cos α＝－ 3 5 ，sin α＝－ 4 5 ， ∴tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ＝ 8 3 1－ 16 9 ＝－ 24 7 . (2)若角β满足 sin(α＋β)＝ 5 13 ，则 cos(α＋β)＝± 1－sin2 α＋β ＝± 12 13 . 当 cos(α＋β)＝ 12 13 时， cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝ 12 13 × － 3 5 ＋ 5 13 × － 4 5 ＝－ 56 65 . 当 cos(α＋β)＝－ 12 13 时，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－ 12 13 × － 3 5 ＋ 5 13 × － 4 5 ＝ 16 65 .