2022版高考数学一轮复习课后限时集训32平面向量的概念及线性运算含解析

课后限时集训(三十二) 平面向量的概念及线性运算 建议用时：25 分钟 一、选择题 1．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零； ④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中正确命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 A [①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小， 又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当 a＝0 时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0 时，λa＝μb，此时，a 与 b 可以是任意向量．] 2．设 a，b 是非零向量，则“存在实数λ，使得 a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B [当λ＜0 时，|a＋b|≠|a|＋|b|； 当λ＞0 时，|a＋b|＝|a|＋|b|.故选 B.] 3．设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB→＋FC→＝( ) A.AD→ B. 1 2 AD→ C. 1 2 BC→ D.BC→ A [由题意得EB→＋FC→＝ 1 2 (AB→ ＋CB→)＋ 1 2 (AC→ ＋BC→)＝ 1 2 (AB→ ＋AC→ )＝AD→ .] 4．(多选)已知向量 a，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使 a，b 共线的 是( ) A．2a－3b＝4e 且 a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数 x，y 满足 x＋y＝0) D．已知梯形 ABCD，其中AB→ ＝a，CD→ ＝b AB [对于 A，因为向量 a，b 是两个非零向量，2a－3b＝4e 且 a＋2b＝－2e，所以 a ＝ 2 7 e，b＝－ 8 7 e，此时能使 a，b 共线，故 A 正确；对于 B，由平面向量共线定理知，存在相 异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则非零向量 a，b 是共线向量，故 B 正确；对于 C，xa＋yb＝ 0(其中实数 x，y 满足 x＋y＝0)，如果 x＝y＝0，则不能保证 a，b 共线，故 C 不正确；对于 D，已知梯形 ABCD 中，AB→ ＝a，CD→ ＝b，AB，CD 不一定是梯形的上、下底，故 D 错误．故 选 AB.] 5．在△ABC 中，AN→ ＝ 1 4 NC→ ，P 是直线 BN 上一点，若AP→ ＝mAB→ ＋ 2 5 AC→ ，则实数 m 的 值为( ) A．－4 B．－1 C．1 D．4 B [∵AN→ ＝ 1 4 NC→ ，∴AC→ ＝5AN→ . 又AP→ ＝mAB→ ＋ 2 5 AC→ ， ∴AP→ ＝mAB→ ＋2AN→ ， 由 B，P，N 三点共线可知，m＋2＝1，∴m＝－1.] 6．(2020·南昌模拟)如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上， 且 CD＝2DB，点 E 在 AD 边上，且 AD＝3AE，则用向量AB→ ，AC→ 表示 CE→为( ) A. 2 9 AB→ ＋ 8 9 AC→ B. 2 9 AB→ － 8 9 AC→ C. 2 9 AB→ ＋ 7 9 AC→ D. 2 9 AB→ － 7 9 AC→ B [由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE→＝AE→－AC→ ＝ 1 3 AD→ －AC→ ＝ 1 3 (AB→ ＋ 1 3 BC→ )－AC→ ＝ 1 3 AB→ ＋ 1 3 AC→ －AB→ －AC→ ＝ 2 9 AB→ － 8 9 AC→ .] 7．(多选)(2020·月考)设点 M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是 ( ) A．若AM→ ＝ 1 2 AB→ ＋ 1 2 AC→ ，则点 M 是边 BC 的中点 B．若AM→ ＝2AB→ －AC→ ，则点 M 在边 BC 的延长线上 C．若AM→ ＝－BM→ －CM→ ，则点 M 是△ABC 的重心 D．若AM→ ＝xAB→ ＋yAC→ ，且 x＋y＝ 1 2 ，则△MBC 的面积是△ABC 面积的 1 2 ACD [对于 A，因为AM→ ＝ 1 2 AB→ ＋ 1 2 AC→ ，所以 1 2 AM→ － 1 2 AB→ ＝ 1 2 AC→ － 1 2 AM→ ，即BM→ ＝MC→ ， 则点 M 是边 BC 的中点，所以 A 正确．对于 B，因为AM→ ＝2AB→ －AC→ ，所以AM→ －AB→ ＝AB→ － AC→ ，所以BM→ ＝CB→ ，则点 M 在边 CB 的延长线上，所以 B 错误．对于 C，设 BC 的中点为 F， 由AM→ ＝－BM→ －CM→ ，得AM→ ＝MB→ ＋MC→ ＝2MF→ ，由重心性质可知 C 正确．对于 D，因为AM→ ＝xAB→ ＋yAC→ ，且 x＋y＝ 1 2 ，所以 2AM→ ＝2xAB→ ＋2yAC→ ，2x＋2y＝1.设AD→ ＝2AM→ ，所以AD→ ＝ 2xAB→ ＋2yAC→ ，2x＋2y＝1，可知 B，C，D 三点共线，所以△MBC 的面积是△ABC 面积的 1 2 ， 所以 D 正确．故选 ACD.] 8.如图所示，平面内有三个向量OA→ ，OB→ ，OC→ ，其中OA→ 与OB→ 的夹角 为 120°，OA→ 与OC→ 的夹角为 30°，且|OA→ |＝|OB→ |＝1，|OC→ |＝ 3，若OC→ ＝λOA→ ＋μOB→ ，则λ＋μ＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 C [法一：∵OA→ 与OB→ 的夹角为 120°，OA→ 与OC→ 的夹角为 30°，且|OA→ |＝|OB→ |＝1，|OC→ | ＝ 3，∴由OC→ ＝λOA→ ＋μOB→ ，两边平方得 3＝λ2－λμ＋μ2，① 由OC→ ＝λOA→ ＋μOB→ ，两边同乘OA→ 得 3 2 ＝λ－ μ 2 ，两边平方得 9 4 ＝λ2－λμ＋ μ2 4 ，② ①－②得 3μ2 4 ＝ 3 4 .根据题图知μ＞0，∴μ＝1.代入 3 2 ＝λ－ μ 2 得λ＝2，∴λ＋μ＝3.故选 C. 法二：建系如图： 由题意可知 A(1,0)，C 3 2 ， 3 2 ，B － 1 2 ， 3 2 ， ∵ 3 2 ， 3 2 ＝λ(1,0)＋μ － 1 2 ， 3 2 ＝ λ－ 1 2 μ， 3 2 μ . ∴ λ－ 1 2 μ＝ 3 2 ， 3 2 μ＝ 3 2 ， ∴μ＝1，λ＝2.∴λ＋μ＝3.] 二、填空题 9．已知向量 a，b 不共线，且 c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 共线反向，则实 数λ的值为________． － 1 2 [由于 c 与 d 共线反向，则存在实数 k 使 c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]． 整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b. 由于 a，b 不共线，所以有 λ＝k， 2λk－k＝1， 整理得 2λ2－λ－1＝0， 解得λ＝1 或λ＝－ 1 2 . 又因为 k＜0， 所以λ＜0，故λ＝－ 1 2 .] 10．在等腰梯形 ABCD 中， AB→ ＝2DC→ ，点 E 是线段 BC 的中点，若AE→＝λAB→ ＋μAD→ ， 则λ＝________，μ＝________. 3 4 1 2 [取 AB 的中点 F，连接 CF(图略)，则由题可得 CF∥AD，且 CF＝AD. ∵AE→＝AB→ ＋BE→＝AB→ ＋ 1 2 BC→ ＝AB→ ＋ 1 2 (FC→－FB→)＝AB→ ＋ 1 2 AD→ － 1 2 AB→ ＝ 3 4 AB→ ＋ 1 2 AD→ ，∴λ＝ 3 4 ，μ＝ 1 2 .] 11．已知△ABC 和点 M 满足MA→ ＋MB→ ＋MC→ ＝0，若存在实数 m 使得AB→ ＋AC→ ＝m AM→ 成 立，则 m＝________. 3 [由已知条件得MB→ ＋MC→ ＝－MA→ ，M 为△ABC 的重心，∴AM→ ＝ 1 3 (AB→ ＋AC→ )， 即AB→ ＋AC→ ＝3AM→ ，则 m＝3.] 12．下列命题正确的是________．(填序号) ①向量 a，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使 b＝λa； ②在△ABC 中，AB→ ＋BC→＋CA→ ＝0； ③只有方向相同或相反的向量是平行向量； ④若向量 a，b 不共线，则向量 a＋b 与向量 a－b 必不共线． ④ [易知①②③错误． ∵向量 a 与 b 不共线，∴向量 a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量． 若 a＋b 与 a－b 共线，则存在实数λ使 a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴ λ－1＝0， 1＋λ＝0， 此时λ无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不共线．] 1．O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：OP→ ＝OA→ ＋λ AB→ |AB→ | ＋ AC→ |AC→ | ，λ∈[0，＋∞)，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 B [作∠BAC 的平分线 AD. 因为OP→ ＝OA→ ＋λ AB→ |AB→ | ＋ AC→ |AC→ | ， 所以AP→ ＝λ AB→ |AB→ | ＋ AC→ |AC→ | ＝λ′· AD→ |AD→ | (λ′∈[0，＋∞))， 所以AP→ ＝ λ′ |AD→ | ·AD→ ， 所以AP→ ∥AD→ ，所以 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心， 故选 B.] 2．(2020·株江模拟)如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB ＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点 P 在边 BC 上，且满足AP→ ＝mAB→ ＋ nAD→ (m，n 均为正实数)，则 1 m ＋ 1 n 的最小值为________． 7＋4 3 4 [AC→ ＝AD→ ＋DC→ ＝ 1 4 AB→ ＋AD→ ， BC→＝AC→ －AB→ ＝－ 3 4 AB→ ＋AD→ ， 设BP→＝λBC→ ＝－ 3λ 4 AB→ ＋λAD→ (0≤λ≤1)， 则AP→ ＝AB→ ＋BP→＝ 1－ 3λ 4 AB→ ＋λAD→ . 因为AP→ ＝mAB→ ＋nAD→ ， 所以 m＝1－ 3λ 4 ，n＝λ. 所以 1 m ＋ 1 n ＝ 4 4－3λ ＋ 1 λ ＝ λ＋4 －3λ2＋4λ ＝ 1 28－ 3 λ＋4 ＋ 64 λ＋4 ≥ 1 28－2 3×64 ＝ 7＋4 3 4 . 当且仅当 3(λ＋4)＝ 64 λ＋4 ， 即(λ＋4)2＝ 64 3 时取等号．]