2022版高考数学一轮复习课后限时集训63二项式定理含解析

课后限时集训(六十三) 二项式定理 建议用时：25 分钟 一、选择题 1．已知 C0 n＋2C1 n＋22C2 n＋23C3 n＋…＋2nCn n＝729，则 C1 n＋C2 n＋C3 n＋…＋C n n等于( ) A．63 B．64 C．31 D．32 A [运用二项式定理得 C0 n＋2C1 n＋22C2 n＋23C3 n＋…＋2nCn n＝(1＋2)n＝3n＝729，即 3n＝ 36，所以 n＝6，所以 C1 n＋C2 n＋C3 n＋…＋Cn n＝26－C0 n＝64－1＝63.] 2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中 x3 的系数为( ) A．12 B．16 C．20 D．24 A [展开式中含 x3 的项可以由“1 与 x3”和“2x2 与 x”的乘积组成，则 x3 的系数为 C3 4 ＋2C1 4＝4＋8＝12.] 3．(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 项的系数为( ) A．10 B．20 C．30 D．60 C [法一：利用二项展开式的通项公式求解． (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含 y2 的项为 T3＝C2 5(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C1 3x4·x＝C1 3x5. 所以 x5y2 项的系数为 C2 5C1 3＝30.故选 C. 法二：利用组合知识求解． (x2＋x＋y)5 为 5 个 x2＋x＋y 之积，其中有两个取 y，两个取 x2，一个取 x 即可，所以 x5y2 的系数为 C2 5C2 3C1 1＝30.故选 C.] 4．(多选)在(1＋2x)8 的展开式中，下列说法正确的是( ) A．二项式系数最大的项为 1 120x4 B．常数项为 2 C．第 6 项与第 7 项的系数相等 D．含 x3 的项的系数为 480 AC [因为 n＝8，所以二项式系数最大的项为 T5，T5＝C4 8(2x)4＝1 120x4，A 正确；(1 ＋2x)8 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr 8(2x)r＝2rCr 8xr，令 r＝0，得常数项为 1，B 错误；第 6 项为 T6＝25C5 8x5＝1 792x5，第 7 项为 T7＝26C6 8x6＝1 792x6，第 6 项与第 7 项的系数相等，C 正 确；含 x3 的项为 T3＝C3 8(2x)3＝448x3，其系数为 448，D 错误．故选 AC.] 5．在(x－2)6 展开式中，二项式系数的最大值为 a，含 x5 项的系数为 b，则 a b ＝( ) A． 5 3 B．－ 5 3 C． 3 5 D．－ 3 5 B [由条件知 a＝C3 6＝20，b＝C1 6(－2)1＝－12， ∴ a b ＝－ 5 3 ，故选 B.] 6．(多选)已知 3x2＋ 1 x 4 的展开式中各项系数之和为 A，第二项的二项式系数为 B，则 ( ) A．A＝256 B．A＋B＝260 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含 x2 项的系数为 54 ABD [令 x＝1，得 3x2＋ 1 x 4 的展开式中各项系数之和为 44＝256，所以 A＝256，选 项 A 正确； 3x2＋ 1 x 4 的展开式中第二项的二项式系数为 C1 4＝4，所以 B＝4，A＋B＝260， 选项 B 正确； 3x2＋ 1 x 4 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝ Cr 4(3x2)4－r 1 x r＝34－rCr 4x8－3r，令 8－3r＝0，则 r＝ 8 3 ，所以展开式中不存在常数项，选项 C 错 误；令 8－3r＝2，则 r＝2，所以展开式中含 x2 项的系数是 34－2C2 4＝54，选项 D 正确．] 7．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则 a2＋a4＋…＋a12＝( ) A．284 B．356 C．364 D．378 C [令 x＝0，则 a0＝1； 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36， ① 令 x＝－1，则 a0－a1＋a2－…＋a12＝1， ② ①②两式左右分别相加， 得 2(a0＋a2＋…＋a12)＝36＋1＝730， 所以 a0＋a2＋…＋a12＝365. 又 a0＝1，所以 a2＋a4＋…＋a12＝364.] 二、填空题 8．在 1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5 的展开式中，含 x2 项的系数是 ________． 20 [含 x2 项的系数为 C2 2＋C2 3＋C2 4＋C2 5＝20.] 9．在 x＋ 1 x －1 6 的展开式中，含 x5 项的系数为________________． －6 [由 x＋ 1 x －1 6＝C0 6 x＋ 1 x 6－C1 6 x＋ 1 x 5＋C2 6 x＋ 1 x 4－…－C5 6 x＋ 1 x ＋C6 6，可知只 有－C1 6 x＋ 1 x 5 的展开式中含有 x5，所以 x＋ 1 x －1 6 的展开式中含 x5 项的系数为－C0 5C1 6＝－ 6.] 10．(2020·山东德州期末) 2x2＋ 1 x 6 的展开式中，常数项为________，系数最大的项的系 数是________． 60 240 [ 2x2＋ 1 x 6 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr 6(2x2)6－r· 1 x r＝26－rCr 6x12－3r，令 12－3r ＝0，解得 r＝4，故常数项为 26－4C4 6＝60.当 r＝0 时，系数为 26×C0 6＝64；当 r＝1 时，系数 为 25×C1 6＝192；当 r＝2 时，系数为 24×C2 6＝240；当 r＝3 时，系数为 23×C3 6＝160；当 r ＝4 时，系数为 22×C4 6＝60；当 r＝5 时，系数为 21×C5 6＝12；当 r＝6 时，系数为 20C6 6＝1. 比较可得系数最大的项的系数是 240.] 1．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列 a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈ Z)是一个单调递增数列，则 k 的最大值是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 B [由二项式定理知 an＝Cn－1 10 (n＝1,2,3，…，11)．又(x＋1)10 展开式中二项式系数最大 项是第 6 项，∴a6＝C5 10，则 k 的最大值为 6.] 2．已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若 a0＋ a1 2 ＋ a2 22 ＋…＋ a7 27 ＝ －128，则下列等式不成立的是( ) A．m＝2 B．a3＝－280 C．a0＝－1 D．－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14 A [令 1－x＝ 1 2 ，即 x＝ 1 2 ，可得 2× 1 2 －m 7＝(1－m)7＝a0＋ a1 2 ＋ a2 22 ＋…＋ a7 27 ＝－128， 得 m＝3，则令 x＝1，得 a0＝(－1)7＝－1.(2x－3)7＝[－1－2(1－x)]7，所以 a3＝C3 7×(－1)7 －3×(－2)3＝－280.对(2x－3)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7 两边求导得 14(2x －3)6＝－a1－2a2(1－x)－…－7a7(1－x)6，令 x＝2，得－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7 ＝14.] 3．(1＋ax)2(1－x)5 的展开式中，所有 x 的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数 a 的 值为________，展开式中 x2 项的系数为________． 3 －11 [设(1＋ax)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，令 x＝1 得 0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7， ① 令 x＝－1 得(1－a)225＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7， ② ②－①得：(1－a)225＝－2(a1＋a3＋a5＋a7)，又 a1＋a3＋a5＋a7＝－64，所以(1－a)225 ＝128，解得 a＝3 或 a＝－1(舍)，则(1＋3x)2(1－x)5 的展开式中 x2 项的系数为 C0 232＋C1 2×3 ×C4 5(－1)＋C2 2×30×C2 5(－1)2＝－11.] 4．若 x10－x5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则 a5＝________. 251 [x10－x5＝[(x－1)＋1]10－[(x－1)＋1]5，则 a5＝C5 10－C0 5＝252－1＝251.] 1．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设 a，b，m(m>0) 为整数，若 a 和 b 被 m 除所得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余，记为 a≡b(mod m)．若 a＝C0 20＋C1 20·2＋C2 20·22＋…＋C20 20·220, a≡b(mod 10)，则 b 的值可以是( ) A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014 A [因为 a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C0 101010－C1 10109＋…－C9 1010＋1，所以 a 被 10 除所得的余数为 1.观察各选项，知 2 011 被 10 除得的余数是 1，故选 A.] 2．已知 ax2＋ 1 x n(a＞0)的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，且展开式的 各项系数之和为 1 024，则下列说法错误的是( ) A．展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B．展开式中第 6 项的系数最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含 x15 项的系数为 45 A [因为 ax2＋ 1 x n 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，所以 C4 n＝C6 n，得 n＝10.因为展开式中各项系数之和为 1 024，所以令 x＝1，得(a＋1)10＝1 024，得 a＝1.故 给定的二项式为 x2＋ 1 x 10，其展开式中奇数项的二项式系数和为 1 2 ×210＝512，故 A 不正 确．由 n＝10 可知二项式系数最大的项是展开式的第 6 项，而 x2＋ 1 x 10 展开式的系数与对 应的二项式系数相等，故 B 正确．展开式的通项公式为 Tk＋1＝Ck 10(x2)10－k· 1 x k＝Ck 10x20－ 5k 2 (k＝0,1,2，…，10)，令 20－ 5k 2 ＝0，解得 k＝8，即常数项为第 9 项，故 C 正确．令 20－ 5k 2 ＝15，得 k＝2.故展开式中含 x15 项的系数为 C2 10＝45.故 D 正确．]