2022版新教材高考数学一轮复习课时规范练36空间向量及其运算含解析新人教A版

优选 1 / 15 课时规范练 36 空间向量及其运算 基础巩固组 1.(2020 江西质检)已知向量 a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1).若 a⊥(b-c),则 x 的值为 () A.-2B.2C.3D.-3 2.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是() A. . B. . 1 5 1 3 1 2 C. . . . =0 D. . =0 3.(多选)给出下列命题,其中正确命题有() A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底 B.已知向量 a∥b,则 a,b 与任何向量都能构成空间的一个基底 C.A,B,M,N 是空间四点,若 ,. , 不能构成空间的一个基底,那么 A,B,M,N 共面 D.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,若 m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底 优选 2 / 15 4.下列向量与向量 a=(1,- 2 ,1)共线的单位向量为 () A. - 1 2 ,- 2 2 ,- 1 2 B. - 1 2 ,- 2 2 , 1 2 C. - 1 2 , 2 2 ,- 1 2 D. 1 2 , 2 2 , 1 2 5.空间中三点 A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是() A. 与 是共线向量 B. 的单位向量是 2 5 5 ,- 5 5 ,0 C. 与 夹角的余弦值是 55 11 D.平面 ABC 的一个法向量是(1,-2,5) 6. (2020 四川三台中学实验学校高三月考)如图,设 =a, =b, =c,若 ,. =2 . ,则 . =() A. 1 2 a+ 1 6 b- 2 3 c B.- 1 2 a- 1 6 b+ 2 3 c C. 1 2 a- 1 6 b- 1 3 c 优选 3 / 15 D.- 1 2 a+ 1 6 b+ 1 3 c 7.若 a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),则|a-2b|=() A.7 2 B.5 2 C.3 10 D.6 3 8.(多选)已知向量 a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论中正确的是() A.若|a|=2,则 m=± 2 B.若 a⊥b,则 m=-1 C.不存在实数λ,使得 a=λb D.若 a·b=-1,则 a+b=(-1,-2,-2) 9.已知 a=(3,2λ-1,1),b=(μ+1,0,2μ).若 a⊥b,则μ=;若 a∥b,则λ+μ=. 10.(2020 上海七宝中学期末)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,给出下面四个命题: ①( 1 11 11 )2=3( 1 )2;② 1 与 1 夹角为 120°;③ 1 · 1 =0;④正方体的体积是 | · · 1 |,则所有正确的命题的序号是. 11. 优选 4 / 15 (2020 山东曲阜实验中学单元测试)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,点 S 到点 A,B,C,D 的距离都等于 2.给出以下结论: ① =0;② =0;③ =0;④ · · ;⑤ · =0. 其中所有正确结论的序号是. 12.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为 AC 的中点. (1)化简: 1 1 2 1 2 ; (2)设 E 是棱 DD1 上的点,且 2 3 1 ,若 =x +y +z 1 ,试求实数 x,y,z 的值. 优选 5 / 15 综合提升组 13.已知向量{a,b,c}是空间向量的一个基底,向量{a+b,a-b,c}是空间向量的另外一个基底,若一向量 p 在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量 p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为() A. 1 2 , 3 2 ,3 B. 3 2 ,- 1 2 ,3 C. 3,- 1 2 , 3 2 D. - 1 2 , 3 2 ,3 14.已知空间直角坐标系 O-xyz 中, =(1,2,3), =(2,1,2), =(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,则 当 · 取得最小值时,点 Q 的坐标为() A. 1 2 , 3 4 , 1 3 B. 1 2 , 3 2 , 3 4 C. 4 3 , 4 3 , 8 3 D. 4 3 , 4 3 , 7 3 优选 6 / 15 15.(2020 山东烟台高三期末)如图所示的平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB=AA1=AD,∠ BAD=∠DAA1=60°,∠BAA1=30°,N 为 A1D1 上一点,且 A1N=λA1D1.若 BD⊥AN,则λ的值为;若 M 为 棱 DD1 的中点,BM∥平面 AB1N,则λ的值为. 创新应用组 16.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=2,AA1=3,P 为侧棱 CC1 上一点. (1)求证:侧棱 CC1 上不存在点 P 使 B1P⊥平面 ABB1A1; (2)CC1 上是否存在点 P 使得 B1P⊥A1B?若存在,确定 PC 的长;若不存在,说明理由. 优选 7 / 15 17.(2020 福建仙游枫亭中学高三期末)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G 分别为 A1B1,B1C1,C1D1 的中点. 优选 8 / 15 (1)求证:AG∥平面 BEF; (2)试在棱 BB1 上找一点 M,使 DM⊥平面 BEF,并证明你的结论. 参考答案 课时规范练 36 空间向量及其运算 优选 9 / 15 1.A∵b-c=(-2,3,1),∴a·(b-c)=4+3x+2=0,解得 x=-2.故选 A. 2.C M 与 A,B,C 一定共面的充要条件是 . =x +y +z ,x+y+z=1, 对于 A 选项,由于 1-1-1=-1≠1,所以不能得出 M,A,B,C 共面; 对于 B 选项,由于 1 5 1 3 1 2 ≠1,所以不能得出 M,A,B,C 共面; 对于 C 选项,由于 . =- . . ,则 . ,. ,. 为共面向量,所以 M,A,B,C 共面; 对于 D 选项,由 . =0,得 . =- ,而-1-1-1=-3≠1,所以不能得出 M,A,B,C 共面.故选 C. 3.ACD 选项 A,根据空间基底的概念,可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底,所以 A 正确; 选项 B,根据空间基底的概念,可得 B 不正确; 选项 C,由 ,. , 不能构成空间的一个基底,可得 ,. , 共面, 又由 ,. , 过相同点 B,可得 A,B,M,N 四点共面,所以 C 正确; 选项 D,由{a,b,c}是空间的一个基底,则基向量 a,b 与向量 m=a+c 一定不共面,所以可以构成空 间另一个基底,所以 D 正确.故选 ACD. 4.C 由|a|= 1 2 1 =2, ∴与向量 a 共线的单位向量为 1 2 ,- 2 2 , 1 2 或 - 1 2 , 2 2 ,- 1 2 故选 C. 优选 10 / 15 5.D 对于 A 项, =(2,1,0), =(-1,2,1),所以 ≠ ,则 与 不是共线向量,故 A 错误; 对于 B 项,因为 =(2,1,0),所以 的单位向量为 2 5 5 , 5 5 ,0 ,故 B 错误; 对于 C 项,向量 =(2,1,0), =(-3,1,1),所以 cos< , >= · | || | =- 55 11 ,故 C 错误; 对于 D 项,设平面 ABC 的法向量是 n=(x,y,z),因为 =(2,1,0), =(-1,2,1),所以 · 0, · 0, 则 2 0, - 2 0, 令 x=1,则平面 ABC 的一个法向量为 n=(1,-2,5),故 D 正确. 6.A 由题可知, . . 2 3 1 2 2 3 ( )- 1 2 ( )= 1 2 1 6 2 3 1 2 a+ 1 6 b- 2 3 c,故选 A. 7.C∵a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),∴a-2b=(8,-5,1),∴|a-2b|= 8 2 (-5) 2 1 2 =3 10 故选 C. 8.AC 对于 A,由|a|=2,可得 1 2 (-1) 2 2 =2,解得 m=± 2 ,故 A 正确; 对于 B,由 a⊥b,可得-2-m+1+2m=0,解得 m=1,故 B 错误; 对于 C,若存在实数λ,使得 a=λb,则 1 -2, -1 (-1), 2, 显然λ无解,即不存在实数λ,使得 a=λb,故 C 正 确; 对于 D,若 a·b=-1,则-2-m+1+2m=-1,解得 m=0,于是 a+b=(-1,-2,2),故 D 错误.故选 AC. 9.- 3 5 7 10 因为 a⊥b,则 a·b=3(μ+1)+0+2μ=0,解得μ=- 3 5 若 a∥b,则 a=mb,即(3,2λ-1,1)=m(μ+1,0,2μ),故 3 ( 1), 2-1 0, 1 2, 优选 11 / 15 解得 1 2 , 1 5 故λ+μ= 7 10 10.①②③ 设正方体的棱长为 1.建立空间直角坐标系,如图, 1 =(0,0,1), 11 =(1,0,0), 11 =(0,1,0),则 1 11 11 =(1,1,1),3 1 =(0,0,3),故 ( 1 11 11 )2=| 1 11 11 |2=3,3( 1 )2=3| 1 |2=3.故①正确; 设 1 与 1 夹角为θ, 1 =(1,0,-1), 1 =(0,1,1),所以 cosθ= 1 · 1 |1 ||1 | -1 2 × 2 =- 1 2 因为 0°≤θ≤180°,所以 AD1 与 A1B 夹角为 120°,故②正确; A1C =(1,1,1), C1D =(0,-1,1), A1C · C1D =0-1+1=0,故③正确; 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为| AB || A1A || AD |, 但是| AB · BC · CC1 |=0,故④错误. 11.③④对于①, =2 +2 ≠0,所以①不正确; 对于②, =2 ≠0,所以②不正确; 对于③, =0,所以③正确; 优选 12 / 15 对于④,因为底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,SA=SB=SC=SD=2,所以 · =2×2×cos∠ ASB, · =2×2×cos∠CSD,而∠ASB=∠CSD,于是 · · ,所以④正确; 对于⑤, · =2×2cos∠ASC,而∠ASC≠90°,故 · ≠0,所以⑤不正确. 12.解(1)∵ ,∴ 1 1 2 1 2 1 1 2 ( )= 1 1 2 1 1 (2)∵ 2 3 1 1 2 = 2 3 1 1 2 ( ) = 2 3 1 1 2 1 2 = 1 2 1 2 2 3 1 , ∴x= 1 2 ,y=- 1 2 ,z=- 2 3 13.B 设向量 p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z), 则 p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc, 所以 1, - 2, 3, 解得 3 2 , - 1 2 , 3, 故 p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为 3 2 ,- 1 2 ,3 故选 B. 14.C 设 Q(x,y,z),由点 Q 在直线 OP 上,可得存在实数λ使得 = , 优选 13 / 15 即(x,y,z)=λ(1,1,2),可得 Q(λ,λ,2λ),所以 =(1-λ,2-λ,3-2λ), =(2-λ,1-λ,2-2λ),则 · =(1- λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=2(3λ2-8λ+5),根据二次函数的性质,可得当λ= 4 3 时,取得最小值- 2 3 , 此时 Q 4 3 , 4 3 , 8 3 故选 C. 15 3 -1 2 3 (1)取空间中一个基底: =a, =b, 1 =c,设 AB=AD=AA1=1,因为 BD⊥AN,所以 · =0,因为 =b-a, 1 1 =c+λb, 所以(b-a)·(c+λb)=0,所以 1 2 +λ- 3 2 2 =0,所以λ= 3 -1. (2)在 AD 上取一点 M1 使得 A1N=AM1,连接 M1N,M1M,M1B, 因为 A1N∥AM1,且 A1N=AM1,所以四边形 AA1NM1 是平行四边形,所以 AA1∥NM1,AA1=NM1, 又 AA1∥BB1,AA1=BB1,所以 BB1∥NM1,BB1=NM1,所以四边形 BB1NM1 是平行四边形,所以 NB1∥ M1B,NB1=M1B, 又因为 M1B⊄ 平面 AB1N,NB1⊂平面 AB1N,所以 M1B∥平面 AB1N, 又因为 BM∥平面 AB1N,且 BM∩M1B=B,所以平面 M1MB∥平面 AB1N,所以 MM1∥平面 AB1N, 又因为平面 AA1D1D∩平面 AB1N=AN,且 MM1⊂平面 AA1D1D,所以 M1M∥AN,所以△AA1N∽ △MDM1, 所以 1 .1 1 . 11 (1-)11 =2,所以λ= 2 3 优选 14 / 15 16.(1)证明若 CC1 上存在点 P,使 B1P⊥平面 ABB1A1,又 B1P⊂平面 BCC1B1,则平面 BCC1B1⊥平面 ABB1A1. 又 BC⊥BB1,∴BC⊥平面 ABB1A1.∴BC⊥AB,与已知条件矛盾,故侧棱 CC1 上不存在点 P 使 B1P ⊥平面 ABB1A. (2)解 如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系. 设 P(0,2,z),A1(0,0,3),B( 3 ,1,0),B1( 3 ,1,3),故 1 =(- 3 ,1,z-3), 1 =( 3 ,1,-3),若 B1P⊥A1B,则 1 · 1 =0,故-3+1-3(z-3)=0,解得 z= 7 3 ,此时 P 0,2, 7 3 ,故 PC= 7 3 17.(1)证明以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 分别作为 x 轴,y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(1,0,0),B(1,1,0),E 1, 1 2 ,1 ,F 1 2 ,1,1 ,G 0, 1 2 ,1 , ∵ - 1 2 , 1 2 ,0 , - 1 2 ,0,1 ,而 -1, 1 2 ,1 , ∴ ,故 与 , 共面,∵AG 不在平面 BEF 内,∴AG∥平面 BEF. 优选 15 / 15 (2)解设 M(1,1,m),则 . =(1,1,m), ∵DM⊥平面 BEF, ∴ . · =0, . · =0, ∴- 1 2 +m=0,解得 m= 1 2 ,故当 M 为棱 BB1 的中点时,DM⊥平面 BEF.