2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价40空间向量及其运算含解析新人教A版

考试 - 1 - / 8 课时质量评价(四十) (建议用时：45 分钟) A 组 全考点巩固练 1．已知 a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝ 1 2 x－2a，则 x 等于( ) A．(0,3，－6)B．(0,6，－20) C．(0,6，－6)D．(6,6，－6) B 解析：由 b＝ 1 2 x－2a，得 x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)． 2．O 为空间任意一点，若OP→ ＝ 3 4 OA→ ＋ 1 8 OB→ ＋ 1 8 OC→ ，则 A，B，C，P 四点( ) A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 B 解析：因为OP→ ＝ 3 4 OA→ ＋ 1 8 OB→ ＋ 1 8 OC→ ，且 3 4 ＋ 1 8 ＋ 1 8 ＝1，所以 P，A，B，C 四点共面． 3．如图，在大小为 45°的二面角 A-EF-D 中，四边形 ABFE，CDEF 都是边长为 1 的正 方形，则 B，D 两点间的距离是( ) A． 3B． 2 C．1 D． 3－ 2 D 解析：因为BD→ ＝BF→＋FE→＋ED→ ，所以|BD→ |2＝|BF→|2＋|FE→|2＋|ED→ |2＋2BF→·FE→＋2FE→·ED→ ＋ 2BF→·ED→ ＝1＋1＋1－ 2＝3－ 2，故|BD→ |＝ 3－ 2. 4．若非零向量 a，b 满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则 a 与 b 的夹角为( ) A．30°B．60° C．120°D．150° C 解析：因为(2a＋b)·b＝0，所以 2a·b＋b2＝0，所以 2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.又因为|a| 考试 - 2 - / 8 ＝|b|≠0，所以 cos θ＝－ 1 2 ，所以θ＝120°. 5．已知 A，B，C，D 是空间不共面的四点，且满足AB→ ·AC→ ＝0，AC→ ·AD→ ＝0，AB→ ·AD→ ＝0， M 为 BC 中点，则△AMD 是() A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 C 解析：因为 M 为 BC 中点，所以AM→ ＝ 1 2 (AB→ ＋AC→ )， 所以AM→ ·AD→ ＝ 1 2 (AB→ ＋AC→ )·AD→ ＝ 1 2 AB→ ·AD→ ＋ 1 2 AC→ ·AD→ ＝0. 所以 AM⊥AD，△AMD 为直角三角形． 6．在空间直角坐标系中，已知点 A(1,0,2)，B(1，－3，1)，点 M 在 y 轴上，且 M 到 A 与到 B 的距离相等，则点 M 的坐标是________． (0，－1，0)解析：设 M(0，y,0)，则MA→ ＝(1，－y，2)，MB→ ＝(1，－3－y,1)，由题意 知|MA→ |＝|MB→ |，所以 12＋y2＋22＝12＋(－3－y)2＋12，解得 y＝－1，故 M(0，－1,0)． 7．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点，则 sin〈CM→ ，D1N→ 〉 的值为________． 4 5 9 解析：建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，设正方体棱长为 2，则易得CM→ ＝(2， －2,1)，D1N→ ＝(2,2，－1)， 考试 - 3 - / 8 所以 cos〈CM→ ，D1N→ 〉＝ CM→ ·D1N→ |CM→ ||D1N→ | ＝－ 1 9 ， 所以 sin〈CM→ ，D1N→ 〉＝ 1－ － 1 9 2 ＝ 4 5 9 . 8．已知空间中三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设 a＝AB→ ，b＝AC→ . (1)若|c|＝3，且 c∥BC→ ，求向量 c； (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值． 解：(1)因为 c∥BC→，BC→＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)， 所以 c＝mBC→＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)， 所以|c|＝ －2m 2＋ －m 2＋ 2m 2＝3|m|＝3， 所以 m＝±1.所以 c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)． (2)因为 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， 所以 a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1. 又因为|a|＝ 12＋12＋02＝ 2， |b|＝ －1 2＋02＋22＝ 5， 所以 cos〈a，b〉＝ a·b |a||b| ＝ －1 10 ＝－ 10 10 ， 故向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为－ 10 10 . 9．如图，在棱长为 a 的正方体 OABC-O1A1B1C1 中，E，F 分别是棱 AB，BC 上的动点， 且 AE＝BF＝x，其中 0≤x≤a，以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. 考试 - 4 - / 8 (1)写出点 E，F 的坐标； (2)求证：A1F⊥C1E； (3)若 A1，E，F，C1 四点共面，求证：A1F→ ＝ 1 2 A1C1 → ＋A1E→ . (1)解：E(a，x,0)，F(a－x，a,0)． (2)证明：因为 A1(a,0，a)，C1(0，a，a)， 所以A1F→ ＝(－x，a，－a)，C1E→ ＝(a，x－a，－a)， 所以A1F→ ·C1E→ ＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0， 所以A1F→ ⊥C1E→ ， 所以 A1F⊥C1E. (3)证明：因为 A1，E，F，C1 四点共面， 所以A1E→ ，A1C1 → ，A1F→ 共面． 选A1E→ 与A1C1 → 为平面 A1C1E 上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)， 使A1F→ ＝λ1A1C1 → ＋λ2A1E→ ， 即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a) ＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， 所以 －x＝－aλ1， a＝aλ1＋xλ2， －a＝－aλ2， 解得λ1＝ 1 2 ，λ2＝1. 于是A1F→ ＝ 1 2 A1C1 → ＋A1E→ . B 组 新高考培优练 考试 - 5 - / 8 10．(多选题)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列判断正确的是( ) A．(A1A→ ＋A1D1 → ＋A1B1 → )2＝3A1B1 → 2 B.A1C→ ·(A1B1 → －A1A→ )＝0 C．向量AD1 → 与向量A1B→ 的夹角是 60° D．正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为|AB→ ·AA1 → ·AD→ | AB 解析：选项 A 中，(A1A→ ＋A1D1 → ＋A1B1 → )2＝A1A→ 2＋A1D1 → 2＋A1B1 → 2＝3A1B1 → 2，故选项 A 正确；选项 B 中，A1B1 → －A1A→ ＝AB1 → ，因为 AB1⊥A1C，所以A1C→ ·(A1B1 → －A1A→ )＝0，故选项 B 正确；选项 C 中，两异面直线 A1B 与 AD1 所成的角为 60°，但AD1 → 与A1B→ 的夹角为 120°，故 选项 C 不正确；选项 D 中，|AB·AA1 → ·AD→ |＝0，故选项 D 不正确． 11．(2021·某某重点高中联考)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面 ABC 为等腰直角三角 形，且斜边 BC＝2，D 是 BC 的中点．若 AA1＝ 2，则异面直线 A1C 与 AD 所成角的大小为 ( ) A．30°B．45° C．60°D．90° C 解析：(方法一)如图，取 B1C1 的中点 D1，连接 A1D1，则 AD∥A1D1，所以异面直线 A1C 与 AD 所成的角就是 A1C 与 A1D1 所成的角，即∠CA1D1(或其补角)就是异面直线 A1C 与 AD 所成的角． 连接 D1C，因为 A1B1＝A1C1，所以 A1D1⊥B1C1. 又 A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1， 所以 A1D1⊥平面 BCC1B1.因为 D1C⊂平面 BCC1B1，所以 A1D1⊥D1C，所以△A1D1C 为 考试 - 6 - / 8 直角三角形．在 Rt△A1CD1 中，A1C＝2，CD1＝ 3，所以∠CA1D1＝60°.故选 C． (方法二)以 A 为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，则 A1(0,0， 2)，A(0,0,0)． 因为△ABC 为等腰直角三角形，且斜边 BC＝2，所以 AB＝AC＝ 2， 所以 B( 2，0,0)，C(0， 2，0)． 又 D 为 BC 的中点， 所以 D 2 2 ， 2 2 ，0 ， 所以AD→ ＝ 2 2 ， 2 2 ，0 ，易知A1C→ ＝(0， 2，－ 2)． 设异面直线 AD 与 A1C 所成角的大小为θ， 则 cos θ＝|cos〈AD→ ，A1C→ 〉|＝ |AD→ ·A1C→ | |AD→ ||A1C→ | ＝ 2 2 × 2 1×2 ＝ 1 2 . 又 0°