高考
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课时规 X 练 46 双曲线
基础巩固组
1.已知双曲线
2
2
2
2
=1(a>0,b>0)的左焦点为 F,离心率为
2
,若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于
双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )
A.
2
4
2
4
=1 B.
2
8
2
8
=1
C.
2
4
2
8
=1 D.
2
8
2
4
=1
2.(2020 某某某某三模)过双曲线
2
2
2
2
=1(a>0,b>0)的右焦点 F(
5
,0)且斜率为 k(k0,b>0)的左焦点(-
5
,0)作圆(x-
5
)2+y2=4 的切线,
切点在双曲线 E 上,则双曲线 E 的离心率为( )
A.2
5
B.
5
C.
5
3
D.
5
2
4.(多选)已知双曲线 C 过点(3,
2
)且渐近线为 y=±
3
3
x,则下列结论正确的是( )
A.双曲线 C 的方程为
2
3
-y2=1
B.双曲线 C 的离心率为
3
C.曲线 y=ex-2-1 经过双曲线 C 的一个焦点
D.直线 x-
2
y-1=0 与双曲线 C 有两个公共点
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5.(多选)已知点 P 为双曲线 E:
2
16
2
9
=1 的右支上一点,F1,F2 为双曲线 E 的左、右焦点,△PF1F2 的面积
为 20,则下列说法正确的是( )
A.点 P 的横坐标为
20
3
B.△PF1F2 的周长为
80
3
C.∠F1PF20)的右焦点,过双曲线 E 的右顶点作 x 轴的垂
线与双曲线 E 的渐近线相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,四边形 OAFB 为菱形,圆
x2+y2=c2(c2=a2+b2)与双曲线 E 在第一象限的交点为 P,且|PF|=
7
-1,则双曲线 E 的方程为( )
A.
2
6
2
2
=1 B.
2
2
2
6
=1
C.
2
3
-y2=1 D.x2-
2
3
=1
7.(2020 某某,7)设双曲线 C 的方程为
2
2
2
2
=1(a>0,b>0),过抛物线 y2=4x 的焦点和点(0,b)的直线
为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与 l 垂直,则双曲线 C 的方程为( )
A.
2
4
2
4
=1 B.x2-
2
4
=1
C.
2
4
-y2=1 D.x2-y2=1
8.(2019 某某,7)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 x2-
2
2
=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近
线方程是 .
9.(2020 全国 1,理 15)已知 F 为双曲线 C:
2
2
2
2
=1(a>0,b>0)的右焦点,A 为 C 的右顶点,B 为 C 上
的点,且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3,则 C 的离心率为 .
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综合提升组
10.(2020 某某某某模拟)设 F1(-c,0),F2(c,0)为双曲线 C:
2
2
2
2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲
线 C 右支上异于顶点的任意一点,PQ 为∠F1PF2 的平分线,过点 F1 作 PQ 的垂线,垂足为 Q,O 为坐标
原点,则|OQ|( )
A.为定值 a
B.为定值 b
C.为定值 c
D.不确定,随点 P 位置变化而变化
11.(2019 全国 1,理 16)已知双曲线 C:
2
2
2
2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线与
C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点.若
1 ,1
·
2
=0,则 C 的离心率为 .
创新应用组
12.已知直线 l1,l2 是双曲线 C:
2
4
-y2=1 的两条渐近线,P 是双曲线 C 上一点,若点 P 到渐近线 l1 的距离
的取值 X 围是
1
2 ,1
,则点 P 到渐近线 l2 的距离的取值 X 围是( )
A.
4
5 ,
8
5
B.
4
3 ,
8
3
C.
4
3 ,
8
5
D.
4
5 ,
8
3
13.已知双曲线 C:
2
4
-y2=1,直线 l:y=kx+m 与双曲线 C 相交于 A,B 两点(A,B 均异于左、右顶点),且
以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D,则直线 l 所过定点为 .
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参考答案
课时规 X 练 46 双曲线
1.B 经过 F(-c,0)和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,即
4
离心率为 e=
2
,解得 a=b=2
2
,则双曲线的方程为
2
8
2
8
=1.故选 B.
2.B 由题意得双曲线过第一象限的渐近线的方程为 y=-
1
x,过第二象限的渐近线的方程为 y=
1
x,直
线 FB 的方程为 y=k(x-
5
),由
(- 5),
1
,
得 xB=
5
2
2
-1
,所以 yB=
5
2
-1
又 k0,n>0,由△PF1F2 的面积为 20,可得
1
2
|F1F2|n==5n=20,即 n=4.由
2
16
16
9
=1,解得 m=
20
3
,故 A 正确.因为点 P
20
3
,4 ,F1(-5,0),F2(5,0),所以
|PF1|=
37
3
,|PF2|=
13
3
,|F1F2|=10,所以|PF1|+|PF2|+|F1F2|=
80
3
,cos∠F1PF2=
|1|
2
+|2|
2
-|12|
2
2|1||2|
319
481
1
2
,所以
∠F1PF20)过点(3,4),∴32-
4
2
2
=1,解得 b2=2,即 b=
2
或 b=-
2
(舍去).
∵a=1,且双曲线的焦点在 x 轴上,
∴双曲线的渐近线方程为 y=±
2
x.
9.2 由题意可得 A(a,0),F(c,0),其中 c=
2
+
2
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由 BF 垂直于 x 轴可得点 B 的横坐标为 c,代入双曲线方程可得点 B 的坐标为 B
,
±
2
∵AB 的斜率为 3,∴B
,
2
∵kAB= 2
-
2
(-)
2
-
2
(-)
+
=e+1=3,
∴e=2.
10.A 如图,延长 F1Q,PF2 交于点 M,因为 PQ 为∠F1PF2 的平分线,F1Q⊥PQ,所以三角形 PF1M 为等
腰三角形,所以 Q 为 F1M 的中点,|PF1|=|PM|.由双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=|PM|-
|PF2|=|F2M|=2a,因为 Q 为 F1M 的中点,O 为 F1F2 的中点,所以|OQ|=
1
2
|F2M|=a.故选 A.
11.2 如图,由
1
,得|F1A|=|AB|.
又|OF1|=|OF2|,得 BF2∥OA,且|BF2|=2|OA|.
由
1
·
2
=0,得 F1B⊥F2B.
则 OA⊥F1A,|OB|=|OF1|=|OF2|.
故∠BOF2=∠AOF1=2∠OF1B,得∠BOF2=60°.
则
=tan60°=
3
所以 e=
1 +
2
1 + 3
=2.
12.A 设点 P(x0,y0),由题意,不妨设渐近线 l1:x-2y=0,l2:x+2y=0,则点 P 到直线 l1 的距离 d1=
|0-20|
5
,
点 P 到直线 l2 的距离 d2=
|0+20|
5
,所以 d1d2=
|0-20|
5
·
|0+20|
5
|0
2
-40
2
|
5
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又
0
2
4 0
2
=1,即
0
2
-4
0
2
=4,
所以 d1d2=
4
5
,所以 d2=
4
51
又 d1∈
1
2 ,1
,
所以 d2∈
4
5 ,
8
5
故选 A.
13. -
10
3
,0 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),
由
+ ,
2
4 -
2
1,得(1-4k2)x2-8kmx-4(m2+1)=0,
所以Δ=64k2m2+16(1-4k2)(m2+1)>0,x1+x2=
8
1-4
2
,x1x2=
-4(
2
+1)
1-4
2
,所以
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
2
-4
2
1-4
2
因为以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D(-2,0),所以 kAD·kBD=-1,
即
1
1+2
·
2
2+2
=-1,
所以 y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0,
即
2
-4
2
1-4
2
+
-4(
2
+1)
1-4
2
+
16
1-4
2
+4=0,所以 3m2-16km+20k2=0,解得 m=2k 或 m=
10
3
当 m=2k 时,直线 l 的方程为 y=k(x+2),此时直线 l 过定点(-2,0),与已知矛盾;
当 m=
10
3
时,直线 l 的方程为 y=k x+
10
3
,此时直线 l 过定点 -
10
3
,0 ,经检验符合题意.
故直线 l 过定点 -
10
3
,0 .
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