高考
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课时规 X 练 41 圆及其方程
基础巩固组
1.圆心在 x+y=0 上,且与 x 轴交于点 A(-3,0),B(1,0)的圆的方程为( )
A.(x+1)2+(y-1)2=5 B.(x-1)2+(y+1)2=
5
C.(x-1)2+(y+1)2=5 D.(x+1)2+(y-1)2=
5
2.(2020,5)已知半径为 1 的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y+16=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四
边形 ABCD 的面积为( )
A.12
2
B.3
2
C.6
2
D.4
2
4.已知 P 为圆 C:(x-1)2+(y-2)2=4 上的一点,点 A(0,-6),B(4,0),则|
|的最大值为( )
A.
26
+2 B.
26
+4
C.2
26
+4 D.2
26
+2
5.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A(8,0),以 OA 为直径的圆与直线 y=2x 在第一象限的交点为
B,则直线 AB 的方程为( )
A.x+2y-8=0 B.x-2y-8=0
C.2x+y-16=0 D.2x-y-16=0
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6.(多选)已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0),且被 x 轴分成两段,弧长比为 1∶2,则圆 C 的方程可能
为( )
A.x2+
3
3
2
4
3
B.x2+
-
3
3
2
4
3
C.(x-
3
)2+y2=
4
3
D.(x+
3
)2+y2=
4
3
7.(多选)已知点 A(-1,0),B(0,2),P 是圆(x-1)2+y2=1 上任意一点,若△PAB 面积的最大值为 a,最小值为
b,则 ( )
A.a=2 B.a=2+
5
2
C.b=2-
5
2
D.b=
5
2
-1
8.在平面直角坐标系 xOy 内,若曲线 C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0 上所有的点均在第四象限内,则实
数 a 的取值 X 围为 .
9.(2020 某某某某一模)在△ABC 中,AB=4,AC=2,A=π
3
,动点 P 在以点 A 为圆心,半径为 1 的圆上,则
·
的最小值为 .
综合提升组
10.(2020 某某某某双十中学高三月考)阿波罗尼斯(约公元前 262—公元前 190 年)证明过这样一个
命题:平面内到两定点距离之比为常数 k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平
面内两定点 A,B 间的距离为 2,动点 P 满足
||
|| 2
,当 P,A,B 不共线时,三角形 PAB 面积的最大值是
( )
A.2
2
B.
2
C.
2 2
3
D.
2
3
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11.设点 P 是函数 y=-
4-(-1)
2
的图像上的任意一点,点 Q(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为( )
A.
8 5
5
-2 B.
5
C.
5
-2 D.
7 5
5
-2
12.点 M(x,y)在曲线 C:x2-4x+y2-21=0 上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且 t 的最大值为 b,若 a,b
均为正实数,则
1
1
1
的最小值为 .
13.有一种大型商品,A,B 两地都有出售,且价格相同,现 P 地的居民从 A,B 两地之一购得商品后回运
的运费是:A 地每公里的运费是 B 地运费的 3 倍,已知 A,B 两地相距 10 km,居民选择 A 或 B 地购买
这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.
(1)求 P 地的居民选择 A 地或 B 地购物总费用相等时,点 P 所在曲线的形状;
(2)指出上述曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.
创新应用组
14.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与 x 轴交于不同的两点 A,B,曲线Γ与 y 轴
交于点 C.
(1)是否存在以 AB 为直径且过点 C 的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
(2)求证:过 A,B,C 三点的圆过定点.
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参考答案
课时规 X 练 41 圆及其方程
1.A 由题意可知圆心在直线 x=-1 上.又圆心在直线 x+y=0 上,所以圆心的坐标为(-1,1).所以半径
r=
(-1 3)
2
(1-0)
2
5
所以圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选 A.
2.A 设圆心 C(x,y),则
(-3)
2
(-4)
2
=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,
所以圆心 C 的轨迹是以 M(3,4)为圆心,1 为半径的圆,
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所以|OC|+1≥|OM|=
3
2
4
2
=5,所以|OC|≥5-1=4,当且仅当 C 在线段 OM 上时,等号成立.
3.A 圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=9,故该圆的圆心坐标为(3,4),半径为 3,圆心到点(3,5)的距离为
1.根据题意,知最长弦 AC 为圆的直径,最短弦 BD 与最长弦 AC 垂直,故|BD|=2
3
2
-1
2
=4
2
,|AC|=6,
所以四边形 ABCD 的面积为
1
2
|AC|·|BD|=
1
2
×6×4
2
=12
2
故选 A.
4.C 取 AB 的中点 D(2,-3),则
=2
,所以|
|=2|
|.
由已知得 C(1,2),半径 r=2,所以|CD|=
(1-2)
2
(2 3)
2
26
又 P 为圆 C 上的点,所以|PD|max=|CD|+r=
26
+2,所以|
|max=2
26
+4.故选 C.
5.A
如图,由题意知 OB⊥AB,因为直线 OB 的方程为 y=2x,所以直线 AB 的斜率为-
1
2
,所以直线 AB 的方程
为 y-0=-
1
2
(x-8),即 x+2y-8=0.故选 A.
6.AB 由已知得圆 C 的圆心在 y 轴上,且被 x 轴所分得的劣弧所对的圆心角为
2
π
3
,设圆心的坐标为
(0,a),半径为 r,则 rsinπ
3
=1,rcosπ
3
=|a|,解得 r=
2 3
3
,即 r2=
4
3
,|a|=
3
3
,即 a=±
3
3
故圆 C 的方程为 x2+
3
3
2
4
3
或 x2+
-
3
3
2
4
3
7.BC 由题意知|AB|=
(-1)
2
(-2)
2
5
,直线 lAB 的方程为 2x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径为 1,
所以圆心到直线 lAB 的距离 d=
|2-02|
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4 5
5
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因为 P 是圆(x-1)2+y2=1 上任意一点,所以点 P 到直线 lAB 的距离的最大值为
4 5
5
+1,最小值为
4 5
5
-1.所以△PAB 面积的最大值为
1
2
×
5
×
4 5
5 1
=2+
5
2
,最小值为
1
2
×
5
×
4 5
5 -1
=2-
5
2
故
a=2+
5
2
,b=2-
5
2
8.(-∞,-2) 由 x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0,得(x+a)2+(y-2a)2=4,所以曲线 C 为圆,圆心坐标为(-a,2a),
半径 r=2.由题意知
< 0,
|-| > 2,
|2| > 2,
解得 a
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