2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价43直线方程含解析新人教A版

考试 - 1 - / 7 课时质量评价(四十三) (建议用时：45 分钟) A 组 全考点巩固练 1．直线 xcos α＋ 3y－2＝0 的倾斜角的 X 围是( ) A． － π 6 ， π 6 B． 0， π 6 C． 0， π 6 ∪ 5π 6 ，π D． π 6 ， 5π 6 C 解析：xcos α＋ 3y－2＝0，设直线的倾斜角为θ， 故 tan θ＝－ cos α 3 ＝－ 3 3 cos α∈ － 3 3 ， 3 3 ，即θ∈ 0， π 6 ∪ 5π 6 ，π . 2．(多选题)已知直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是( ) A．1B．－1 C．－2D．2 AC 解析：由直线的方程 ax＋y－2－a＝0，得此直线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a＋2 a 和 2＋a.由 a＋2 a ＝2＋a 得 a＝1 或 a＝－2.故选 AC． 3．(多选题)过点(－2,0)且在两坐标轴上的截距之差为 3 的直线方程是( ) A． x －2 ＋y＝1B． x －2 ＋ y －5 ＝1 C． x －2 ＋ y －1 ＝1 D． x 2 ＋y＝1 AB 解析：由题可知，直线过点(－2,0)，所以直线在 x 轴上的截距为－2， 又直线在两坐标轴上的截距之差为 3，所以直线在 y 轴上的截距为 1 或－5， 则所求直线方程为 x －2 ＋y＝1 或 x －2 ＋ y －5 ＝1. 考试 - 2 - / 7 4．(2020·某某思南中学高三期中)设点 A(2，－3)，B(－3，－2)，直线 l 过点 P(1,1)且 与线段 AB 相交，则 l 的斜率 k 的取值 X 围是( ) A．(－∞，－4]∪ 3 4 ，＋∞ B． －4， 3 4 C． － 3 4 ，4 D．以上都不对 A 解析：根据题意，设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－1)，即 kx－y＋1－k＝0， 直线 l 过 P(1,1)且与线段 AB 相交，则 A，B 在 l 的两侧或在直线上， 则有(2k＋3＋1－k)(－3k＋2＋1－k)≤0， 即(k＋4)(4k－3)≥0， 解得 k≥ 3 4 或 k≤－4.故选 A． 5．直线 l1：y＝ax＋b 与直线 l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图 象只可能是( ) D 解析：对于 A 选项，由 l1 得 a>0，b0，b>0，矛盾；对于 B 选项， 由 l1 得 a0，而由 l2 得 a>0，b>0，矛盾；对于 C 选项，由 l1 得 a>0，b0，b>0，而由 l2 得 a>0，b>0.故选 D． 6．过点 P(2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是________． 3x－2y＝0 或 x－y＋1＝0 解析：当直线过原点时，由于斜率为 3－0 2－0 ＝ 3 2 ，故直线方程为 考试 - 3 - / 7 y＝ 3 2 x，即 3x－2y＝0. 当直线不过原点时，设方程为 x a ＋ y －a ＝1，把点 P(2，3)的坐标代入可得 a＝－1， 故直线方程为 x－y＋1＝0. 综上所述，直线方程为 3x－2y＝0 或 x－y＋1＝0. 7．过点(3，－2)且与直线 x－y＋4＝0 相交成 45°角的直线方程是______________． x＝3 或 y＝－2 解析：直线 x－y＋4＝0 的倾斜角α＝45°，所以过点(3，－2)且与直线 x －y＋4＝0 相交成 45°角的直线方程的倾斜角为 0°或 90°，则直线方程为 x＝3 或 y＝－2. 8．k 取任意实数时，直线 2(k－1)x＋(k－6)y－k－4＝0 恒经过定点 P，则点 P 的坐标 为________． (1，－1)解析：直线方程可整理为(2x＋y－1)k－(2x＋6y＋4)＝0. 令 2x＋y－1＝0， 2x＋6y＋4＝0， 解得 x＝1， y＝－1， 即定点 P 的坐标为(1，－1)． 9．(1)求过点 A(1,3)，斜率是直线 y＝－4x 的斜率的 1 3 的直线方程； (2)求经过点 A(－5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程． 解：(1)设所求直线的斜率为 k， 依题意 k＝－4× 1 3 ＝－ 4 3 . 又直线经过点 A(1,3)， 因此所求直线方程为 y－3＝－ 4 3 (x－1)， 即 4x＋3y－13＝0. (2)当直线不过原点时，设所求直线方程为 x 2a ＋ y a ＝1.将(－5,2)代入方程，解得 a＝－ 1 2 ， 所以直线方程为 x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为 y＝kx，则－5k＝2，解得 k 考试 - 4 - / 7 ＝－ 2 5 ，所以直线方程为 y＝－ 2 5 x，即 2x＋5y＝0.故所求直线方程为 2x＋5y＝0 或 x＋2y＋1 ＝0. B 组 新高考培优练 10．(2020·某某期中高三检测)数学家欧拉于 1765 年在他的著作《三角形的几何学》中 首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重 心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点为 A(0,0)， B(4,0)，C(3， 3)，则该三角形的欧拉线方程为( ) A． 3x－y－2 3＝0 B．x－ 3y－2 3＝0 C． 3x－y－2＝0 D．x－ 3y－2＝0 A 解析：△ABC 的顶点为 A(0,0)，B(4，0)，C(3， 3)，所以重心 G 7 3 ， 3 3 .设△ABC 的外心为 W(2，a)，则|AW|＝|WC|，即 22＋a2＝ 3－2 2＋ 3－a 2，解得 a＝0， 所以 W(2,0)．所以该三角形的欧拉线即直线 GW，方程为 y－0＝ 3 3 －0 7 3 －2 (x－2)，化简得 3x －y－2 3＝0.故选 A． 11．已知数列{an}的通项公式为 an＝ 1 n n＋1 (n∈N*)，其前 n 项和 Sn＝ 9 10 ，则直线 x n＋1 ＋ y n ＝1 与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A．36B．45 C．50D．55 B 解析：由 an＝ 1 n n＋1 可知 an＝ 1 n － 1 n＋1 ， 考试 - 5 - / 7 所以 Sn＝ 1－ 1 2 ＋ 1 2 － 1 3 ＋ 1 3 － 1 4 ＋…＋ 1 n － 1 n＋1 ＝1－ 1 n＋1 . 又知 Sn＝ 9 10 ，所以 1－ 1 n＋1 ＝ 9 10 ，解得 n＝9. 所以直线方程为 x 10 ＋ y 9 ＝1，与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，所以直线与坐标轴所围成 的三角形的面积为 1 2 ×10×9＝45. 12．设点 A(－1,0)，B(1,0)，直线 2x＋y－b＝0 与线段 AB 相交，则 b 的取值 X 围是 ________． [－2,2]解析：b 为直线 y＝－2x＋b 在 y 轴上的截距．如图， 当直线 y＝－2x＋b 过点 A(－1,0)和点 B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值，所以 b 的取值 X 围是[－2，2]． 13．经过点 P(2，－2)，并且在 y 轴上的截距比在 x 轴上的截距大 1 的直线 l 的方程为 ________． x＋2y＋2＝0 或 2x＋y－2＝0 解析：显然直线不过原点，截距不为 0，设直线 l 的方程为 x a ＋ y a＋1 ＝1. 因为直线 l 过点 P(2，－2)，所以 2 a ＋ －2 a＋1 ＝1，解得 a＝－2 或 1，所以直线 l 的方程为 x －2 ＋ y －1 ＝1 或 x 1 ＋ y 2 ＝1，即 x＋2y＋2＝0 或 2x＋y－2＝0. 14．已知直线 l 经过点(0，－2)，其倾斜角为 30°. (1)求直线 l 的方程； 考试 - 6 - / 7 (2)求直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积． 解：(1)根据题意，直线 l 的倾斜角为 30°，则其斜率 k＝tan 30°＝ 3 3 . 又直线经过点(0，－2)， 则其方程为 y＋2＝ 3 3 (x－0)，即 y＝ 3 3 x－2. (2)由(1)知，直线 l 的方程坐标为 y＝ 3 3 x－2， 与 y 轴交点坐标为(0，－2)，与 x 轴的交点为(2 3，0)， 则直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积 S＝ 1 2 ×2×2 3＝2 3. 15．已知直线 l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线 l 过定点； (2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值 X 围； (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，△AOB 的面积为 S(O 为坐标原 点)，求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程． (1)证明：直线 l 的方程可化为 k(x＋2)＋(1－y)＝0. 令 x＋2＝0， 1－y＝0， 解得 x＝－2， y＝1. 所以无论 k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)解：由方程知，当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为－ 1＋2k k ，在 y 轴上的截距为 1＋2k， 要使直线不经过第四象限，则必须有 － 1＋2k k ≤－2， 1＋2k≥1， 解得 k>0； 当 k＝0 时，直线为 y＝1，符合题意．故 k 的取值 X 围是[0，＋∞)． (3)解：由题意可知 k≠0，再由 l 的方程，得 A － 1＋2k k ，0 ，B(0,1＋2k)且 k>0. 考试 - 7 - / 7 因为 S＝ 1 2 ·|OA|·|OB|＝ 1 2 ·|1＋2k k |·|1＋2k|＝ 1 2 · 1＋2k 2 k ＝ 1 2 4k＋ 1 k ＋4 ≥ 1 2 ×(2×2＋ 4)＝4， 等号成立的条件是 k>0 且 4k＝ 1 k ，即 k＝ 1 2 ， 所以 Smin＝4，此时直线 l 的方程为 x－2y＋4＝0.