2022高考数学一轮复习单元质检卷九解析几何文含解析北师大版

单元质检卷九 解析几何 (时间:120 分钟满分:140 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.点 P(2,3)到直线 l:ax+y-2a=0 的距离为 d,则 d 的最大值为() A.3B.4C.5D.7 2.(2020 某某潍坊二模,4)以抛物线 E:x2=4y 的焦点为圆心,且与 E 的准线相切的圆的方程为() A.(x-1)2+y2=4B.x2+(y+1)2=4 C.(x+1)2+y2=4D.x2+(y-1)2=4 3.(2020 某某某某三模,文 11)圆 x2+y2+2x-2y-2=0 上到直线 l:x+y+ 2 =0 距离为 3 的点共有() A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.(2020 某某某某三模,文 10)过双曲线 2 4 2 8 =1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A,B 两点,则满足 |AB|=8 的直线 l 有() A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 5.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,且直线 l 与圆 x2-px+y2- 3 4 p2=0 交于 C,D 两点.若|AB|=2|CD|,则直线 l 的斜率为() A.± 2 2 B.± 3 2 C.±1D.± 2 6.(2020 某某某某三模,6)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互 相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆 C: 2 +1 + 2 =1(a>0)的离心率为 1 2 ,则椭圆 C 的蒙日圆方程为() A.x2+y2=9B.x2+y2=7 C.x2+y2=5D.x2+y2=4 7.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,P 为 C 上一点,PQ 垂直 l 于点 Q,M,N 分别为 PQ,PF 的 中点,直线 MN 与 x 轴相交于点 R,若∠NRF=60°,则|FR|等于 () A. 1 2 B.1C.2D.4 8. 如图,点 F 是抛物线 C:x2=4y 的焦点,点 A,B 分别在抛物线 C 和圆 x2+(y-1)2=4 的实线部分上运动, 且 AB 总是平行于 y 轴,则△AFB 周长的取值 X 围是() A.(3,6)B.(4,6) C.(4,8)D.(6,8) 9.已知椭圆 E: 2 2 + 2 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 作垂直 x 轴的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,点 A 在 x 轴上方.若|AB|=3,△ABF2 的内切圆的面积为 9 π 16 ,则直线 AF2 的方程是() A.3x+2y-3=0B.2x+3y-2=0 C.4x+3y-4=0D.3x+4y-3=0 10.(2020 某某某某三模,文 10)已知 F1,F2 是双曲线 2 2 2 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线右 支上任意一点,M 是线段 PF1 的中点,则以 PF1 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 11.(2020 某某某某一模,理 11)设 F1,F2 分别为双曲线 C: 2 2 2 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 为双曲 线的左顶点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M,N 两点,且满足∠MAN=120°,则该双曲线 的离心率为 () A. 21 3 B. 19 3 C. 2 3 D. 7 3 3 12.在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 =λ +μ , 则λ+μ的最大值为() A.3B.2 2 C. 5 D.2 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.(2020 某某某某二模,理 14)已知双曲线 2 2 2 2 =1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为 A,B,点 P 是双 曲线上一点,若△PAB 为等腰三角形,∠PAB=120°,则双曲线的离心率为. 14.已知直线 l:kx-y-k+2=0 与圆 C:x2+y2-2y-7=0 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为. 15. (2020 某某某某一模,理 15)如图,抛物线 C1:y2=4x 和圆 C2:(x-1)2+y2=1,直线 l 经过 C1 的焦点 F,交 C1 于 A,D 两点,交 C2 于 B,C 两点,则 · 的值是. 16.(2020 某某某某模拟,15)已知双曲线 C: 2 2 2 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点和点 P(2a,b)为某个等 腰三角形的三个顶点,则双曲线 C 的离心率为. 三、解答题:本题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12 分)(2020 全国 2,文 19)已知椭圆 C1: 2 2 + 2 2 =1(a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重 合,C1 的中心与 C2 的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A,B 两点,交 C2 于 C,D 两点,且 |CD|= 4 3 |AB|. (1)求 C1 的离心率; (2)若 C1 的四个顶点到 C2 的准线距离之和为 12,求 C1 与 C2 的标准方程. 18.(12 分)(2020 某某某某三模,文 20)椭圆 E: 2 2 + 2 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,椭圆 E 上两动点 P,Q 使得四边形 PF1QF2 为平行四边形,且平行四边形 PF1QF2 的周长和最大面积分别为 8 和 2 3 . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)设直线 PF2 与椭圆 E 的另一交点为 M,当点 F1 在以线段 PM 为直径的圆上时,求直线 PF2 的方程. 19. (12 分)(2020 某某某某一模,20)如图,已知抛物线 x2=y,点 A - 1 2 , 1 4 ,B 3 2 , 9 4 ,抛物线上的点 P(x,y) - 1 2 b>0)的离心率为 3 2 ,点 - 3, 1 2 在椭圆上,A,B 分别为椭圆 C 的上、 下顶点,点 M(t,2)(t≠0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 MA,MB 与椭圆 C 的另一交点分别为 P,Q,证明:直线 PQ 过定点. 21.(12 分)(2020 某某日照一模,20)已知椭圆 C: 2 2 + 2 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,以 F2 为圆心过椭圆左顶点 M 的圆与直线 3x-4y+12=0 相切于 N,且满足 1 1 2 12 . (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)过椭圆 C 右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,问△F1AB 的内切圆面积是否有最大值? 若有,求出最大值;若没有,说明理由. 参考答案 单元质检卷九 解析几何 1.A 直线方程即 y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点 M(2,0), 当直线 l⊥PM 时,d 有最大值,结合两点之间距离公式可得 d 的最大值为 (2-2) 2 + (3-0) 2 =3.故 选 A. 2.D 由题意抛物线的焦点为(0,1),准线为 y=-1,则焦点到准线的距离为 2, 所以圆的方程为 x2+(y-1)2=4. 3.A 化圆 x2+y2+2x-2y-2=0 为(x+1)2+(y-1)2=4, 得圆心坐标为(-1,1),半径为 2. ∵圆心(-1,1)到直线 l:x+y+ 2 =0 的距离 d= |-1+1+ 2| 2 =1, ∴圆 x2+y2+2x-2y-2=0 上到直线 l:x+y+ 2 =0 距离为 3 的点共有 1 个. 4.C①若 A,B 都在右支,当 AB 垂直于 x 轴时,a2=4,b2=8,c2=12,所以右焦点 F(2 3 ,0),则 AB:x=2 3 , 代入双曲线 2 4 2 8 =1,求得 y=±4,所以|AB|=8,所以满足|AB|=8 的直线 l 有一条,即垂直于 x 轴; ②若 A,B 分别在两支,a=2,所以两顶点之间的距离为 2+2=40)得 y2-2pty-p2=0,所以 y1+y2=2pt,y1y2=-p2,则 AB= (1 + 2 )(4 2 2 + 4 2 ) =2p(1+t2)=4p,即 1+t2=2,解得 t=±1.故选 C. 6.B 因为椭圆 C: 2 +1 + 2 =1(a>0)的离心率为 1 2 ,所以 1 +1 1 2 ,解得 a=3,所以椭圆 C 的方程为 2 4 + 2 3 =1, 所以椭圆的上顶点 A(0, 3 ),右顶点 B(2,0),所以经过 A,B 两点的切线方程分别为 y= 3 ,x=2, 所以两条切线的交点坐标为(2, 3 ),又过 A,B 的切线互相垂直,由题意知交点必在一个与椭圆 C 同心的圆上,可得圆的半径 r= 2 2 + ( 3) 2 7 ,所以椭圆 C 的蒙日圆方程为 x2+y2=7.故选 B. 7.C∵M,N 分别是 PQ,PF 的中点, ∴MN∥FQ,且 PQ∥x 轴, ∵∠NRF=60°,∴∠FQP=60°,由抛物线定义知,|PQ|=|PF|,∴△FQP 为正三角形,则 FM⊥PQ⇒ QM=p=2,正三角形边长为 4,PQ=4,FN= 1 2 PF=2,又可得△FRN 为正三角形,∴FR=2,故选 C. 8.B 抛物线 x2=4y 的焦点为(0,1),准线方程为 y=-1,圆(y-1)2+x2=4 的圆心为(0,1),与抛物线的焦点 重合,且半径 r=2,∴|FB|=2,|AF|=yA+1,|AB|=yB-yA,∴三角形 ABF 的周长=2+yA+1+yB-yA=yB+3,∵ 1=x1x2=1.当直线 l 与 x 轴垂直时,可得 | |=| |=1,则 · =1. 16. 10+2 2 由题设双曲线的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0), 因为左、右焦点和点 P(2a,b)为某个等腰三角形的三个顶点,当 F1F2=PF2 时,2c= (2-) 2 + 2 , 由 b2=c2-a2 可得 2c2+4ac-3a2=0,等式两边同除以 a2,可得 2e2+4e-3=0,解得 e=± 10-2 2 1,解得 b= 3 ,c=1.所以椭圆 E 的标准方程为 2 4 + 2 3 =1. (2)因为直线 PF2 的斜率不为 0,且过定点 F2(1,0). 所以设直线 PF2 的方程为 x=my+1,P(x1,y1),M(x2,y2), 联立 + 1, 3 2 + 4 2 12, 消 x 得(3m2+4)y2+6my-9=0, 所以 1 + 2 - 6 3 2 +4 , 12 - 9 3 2 +4 . 因为 1 =(my1+2,y1), 1 =(my2+2,y2), 所以 1 · 1 =(my1+2)(my2+2)+y1y2=(m2+1)y1y2+2m(y1+y2)+4=- 9( 2 +1) 3 2 +4 12 2 3 2 +4 +4= 7-9 2 3 2 +4 . 因为点 F1 在以线段 PM 为直径的圆上,所以 1 · 1 =0,即 m=± 7 3 , 所以直线 PF2 的方程为 3x+ 7 y-3=0 或 3x- 7 y-3=0. 19.解(1)设直线 AP 的斜率为 k,k= 2 - 1 4 + 1 2 =x- 1 2 . 因为- 1 2 0, f(t)=t+ 1 3 单调递增,所以 f(t)≥f(1)= 4 3 . 所以 △ 1 ≤3,即当 t=1,m=0,直线 l 的方程为 x=1 时, △ 1 的最大值为 3,此时内切圆半径 r 最大为 3 4 , △F1AB 内切圆的面积有最大值 9 16 π.