2022高考数学一轮复习高考大题专项四立体几何课件文北师大版

高考大题专项(四)　立体几何 2022 【考情分析】 从近五年的高考试题来看,立体几何解答题是高考的重点内容之一,每年必 考,一般处在试卷第18题或者第19题上,主要考查空间线线、线面、面面的 平行与垂直及空间几何体的体积或侧面积,试题以中档难度为主.着重考查 推理论证能力和空间想象能力以及转化与化归思想,几何体以四棱柱、四 棱锥、三棱柱、三棱锥等为主. 【必备知识】 1.证明线线平行和线线垂直的常用方法 (1)证明线线平行常用的方法:①利用平行公理,即证两直线同时和第三条 直线平行;②利用平行四边形进行平行转换;③利用三角形的中位线定理 证线线平行;④利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换. (2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边上的中线即高线的 性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:即要证两线垂直,只需证明一线垂 直于另一线所在的平面即可,即l⊥α,a⫋ α⇒l⊥a. 2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. (4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直. 3.求几何体的表面积或体积 (1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.对于某些三棱锥,有时可采用等 体积转换法求解. (2)对于不规则几何体,可采用割补法求解. (3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截 面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用. 4.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变性,即两 条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等的不变性. 突破1　空间中的平行与几何体的体积 题型一　证线面平行及求几何体的体积 【例1】 (2020江苏常州模拟)如图,在四棱锥S-ABCD中, 四边形ABCD为矩形,E为SA的中点, SA=SB=2,AB=2 ,BC=3. (1)证明:SC∥平面BDE; (2)若BC⊥SB,求三棱锥C-BDE的体积. (1)证明连接AC,设AC∩BD=O,连接OE,∵四边形ABCD为矩形,∴O为AC的 中点.在△ASC中,E为AS的中点, ∴SC∥OE,又OE⫋平面BDE,SC⊈平面BDE,∴SC∥平面BDE. (2)解过点E作EH⊥AB,垂足为H, ∵BC⊥AB,且BC⊥SB,AB∩SB=B, ∴BC⊥平面SAB, ∵EH⫋平面ABS, ∴EH⊥BC, 又EH⊥AB,AB∩BC=B, ∴EH⊥平面ABCD, 解题心得1.证线面平行,一般利用线面平行的判定定理,难点是找直线在平 面的平行线: (1)利用三角形的中位线找平行线证线面平行; (2)构造平行四边形,找平行线; (3)将证线面平行问题转化为面面平行,即过所证直线作辅助面,证该平面 与已知平面平行; (4)利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行. 2.求几何体的体积,一般思路是围绕已知条件和要求的几何体的底和高,通 过几何体的几何性质,建立已知和未知的关系,依据题意可借助方程的思想 求出未知数,从而求出体积. 对点训练1(2020河南实验中学4月模拟,文19)如图, 矩形CDEF和梯形ABCD所在的平面互相垂 直,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD= CD,BE⊥DF. (1)若M为EA的中点,求证:AC∥平面MDF; (2)若AB=2,求四棱锥E-ABCD的体积. (1)证明设EC与DF交于点N,连接MN, 在矩形CDEF中,点N为EC中点, ∵M为EA的中点,∴MN∥AC. ∵AC⊈平面MDF,MN⫋平面MDF, ∴AC∥平面MDF. (2)解取CD中点为G,连接BG,EG, 平面CDEF⊥平面ABCD,平面CDEF∩平面ABCD=CD,AD⫋平面 ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥平面CDEF,同理ED⊥平面ABCD,∴ED的长即为四 棱锥E-ABCD的高,在梯形ABCD中,AB= CD=DG,AB∥DG, ∴四边形ABGD是平行四边形,BG∥AD,∴BG⊥平面CDEF. 又∵DF⫋平面CDEF,∴BG⊥DF,又BE⊥DF,BE∩BG=B, ∴DF⊥平面BEG,DF⊥EG. 由图知,Rt△DEG∽Rt△EFD, 题型二　证面面平行及求几何体的体积 【例2】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方 形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E、F、G分别是PA、PB、 BC的中点. (1)证明:平面EFG∥平面PCD; (2)若平面EFG截四棱锥P-ABCD 所得截面的面积为 ,求四棱锥P- ABCD的体积. (1)证明 ∵E,F分别为PA,PB的中点,∴EF∥AB.又AB∥CD,∴EF∥CD. ∵F,G分别为PB,BC的中点,∴FG∥PC,又∵PC∩CD=C,EF∩FG=F, ∴平面EFG∥平面PCD. (2)解 设H为AD的中点,则GH∥EF,则平面EFG截四棱锥P-ABCD的截面 为梯形EFGH,∵PA⊥平面ABCD,又DC⫋平面ABCD, ∴PA⊥DC,又∵DC⊥AD, ∴DC⊥平面PAD,又EH⫋平面PAD,∴CD⊥EH, 又∵GH∥CD,∴GH⊥EH,∴梯形EFGH为直角梯形. 解题心得1.证明面面平行的方法有: (1)利用定义证明; (2)利用判定定理:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这 两个平面平行; (3)垂直于同一直线的两个平面平行; (4)平行于同一个平面的两个平面平行. 2.求几何体的体积首要考虑的是几何体的底面面积和几何体的高,如果都 易求,直接代入体积公式即可. 对点训练2如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD, ∠ACB=∠ACD=90°,AC=BC= CD=2, E,F,G分别为AB,AD,AC的中点. (1)证明:平面EFG∥平面BCD; (2)求三棱锥E-ACD的体积. (1)证明 ∵E,F分别为AB,AD的中点,∴EF∥DB. 又EF⊈平面BCD,BD⫋平面BCD, ∴EF∥平面BCD, 同理,EG∥平面BCD, ∵EF∩EG=E,EF⫋平面EFG,EG⫋平面EFG,∴平面EFG∥平面BCD. (2)解 ∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC, ∵平面ABC⊥平面ACD,平面ABC∩平面ACD=AC,AC⊥BC,BC⫋平面 ABC,∴BC⊥平面ACD. ∵BC=2,E为AB中点, 题型三　证平行关系及求点到面的距离(多方法) 类型一　定义法求点到面的距离 【例3】 (2019全国1,文19)如图,直四棱柱ABCD- A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°, E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE; (2)求点C到平面C1DE的距离. 由题设知A1B1 DC,可得B1C A1D,故ME ND, 因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.又MN⊈平 面C1DE,所以MN∥平面C1DE. (2)解 过C作C1E的垂线,垂足为H. 由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,所以DE⊥平面C1CE,故DE⊥CH. 从而CH⊥平面C1DE,故CH的长即为C到平面C1DE的距离. 解题心得在空间中,求点A到平面α的距离,可利用点到面的距离的定义来 求,一般在过点A且与平面α垂直的平面内作两平面交线的垂线,由面面垂 直的性质定理可知,该垂线垂直平面α,点A与垂足的距离即为点到平面α的 距离. 对点训练3如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩 形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. (1)证明:PB∥平面AEC; (2)设AP=1,AD= ,三棱锥P-ABD的体积V= ,求A 到平面PBC的距离. (1)证明 设BD与AC的交点为O,连接EO. 因为底面ABCD为矩形,所以O为BD的中点. 又E为PD的中点,所以EO∥PB. EO⫋平面AEC,PB⊈平面AEC, 所以PB∥平面AEC. 类型二　体积法求点到面的距离 【例4】 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C⊥底面 ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,M,N分别为AB,CC1的 中点. (1)求证:CM∥平面AB1N; (2)若AB1与平面B1C1CB所成的角为30°,求点M到平面AB1N的距离. (1)证明 取AB1的中点O,连接OM,ON,在△ABB1中,O,M分别是AB1,AB的中 点,则OM∥BB1,且OM= BB1, 又N为CC1的中点,CC1∥BB1,所以NC∥BB1,NC= BB1, 从而有OM∥NC且OM=NC,所以四边形OMCN为平行四边形,所以 CM∥NO.又因为CM⊈平面AB1N,NO⫋平面AB1N,所以CM∥平面AB1N. 解题心得体积法求点到面的距离就是在点到面的距离不容易作出的情况 下,转化为求三棱锥的高. 由于三棱锥哪一个侧面都可当作底面,对应的三棱锥的高是该侧面与相对 应顶点的距离.所以同一个三棱锥,其体积可用不同的底与对应的高表示出, 从而构成一个方程,解方程得点到面的距离. 对点训练4(2020湖南郴州二模,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是直角梯形,∠BAD=∠ABC=90°,AB=BC= AD=1,△PAD为等边三角形, 且平面PAD⊥平面ABCD,设E为PD的中点. (1)求证:CE∥平面PAB; (2)求点D到平面ACE的距离. (1)证明设F为PA的中点,连接EF,BF, ∴EF∥BC,且EF=BC, ∴四边形BCEF是平行四边形, ∴CE∥BF. 又∵CE⊈平面PAB,BE⫋平面PAB, ∴CE∥平面PAB. (2)解由(1)得CE=BF, ∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD, ∴AB⊥平面PAD,又PA⫋平面PAD,∴AB⊥PA,在Rt△PAB 突破2　空间中的垂直与几何体的体积 题型一　证线线垂直及求几何体的体积 【例1】 (2020广东汕头一模,文18)在四棱锥 P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且有AB∥DC, AC=CD=DA= AB. (1)证明:BC⊥PA; (2)若PA=PC= AC= ,Q在线段PB上,满足PQ=2QB,求三棱锥P-ACQ的 体积. 解题心得证明线线垂直的方法 (1)通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直; (2)利用面面垂直寻求线面垂直,从而得到线线垂直; (3)应用等腰(等边)三角形三线合一性质,即三角形底边的中线同时是高和 角分线,得到线线垂直; (4)应用两条平行线的性质,有一条与一个面中的直线垂直,则另一条也与 平面中的直线垂直. 对点训练1(2020广东化州二模,文18)如图,在三棱锥D-ABC中,O为线段AC 上一点,平面ADC⊥平面ABC,且△ADO,△ABO为等腰直角三角形,斜边 AO=4 . (1)求证:AC⊥BD; (2)将△BDO绕DO旋转一周,求所得旋转体的体积. 则DE⊥AC,BE⊥AC,且DE∩BE=E, ∴AC⊥平面BDE, 又BD⫋平面BDE,∴AC⊥BD. 题型二　证线面垂直及求几何体体积 【例2】 (2019全国2,文17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的 底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1. (1)证明:BE⊥平面EB1C1; (2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积. (1)证明 由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⫋平面ABB1A1, 故B1C1⊥BE. 又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1. (2)解 由(1)知∠BEB1=90°. 由题设知Rt△ABE≌ Rt△A1B1E,所以∠AEB=∠A1EB1 =45°,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EF⊥BB1,垂足为F, 则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3. 所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V= ×3×6×3=18. 解题心得证明线面垂直常用方法是线面垂直的判定定理,即证直线和平面 内的两条相交直线垂直. 对点训练2(2020广东湛江一模,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面 AA1C1C⊥底面ABC,E为CC1的中点,AF=2FB. (1)求证:BC1∥平面A1EF; (2)若AC=AA1=2,AB=BC= ,∠A1AC=60°,求四棱锥C1-BFA1B1的体积. (1)证明连接AC1,与A1E交于点M,连接MF, ∵E为CC1的中点,∴C1E∥AA1,且C1E= AA1. ∴AM∶ MC1=2∶ 1. 又AF=2FB,∴在△ABC1中,MF∥BC1. ∵MF⫋平面A1EF,BC1⊈平面A1EF,∴BC1∥平面A1EF. 题型三　证面面垂直及求几何体体积 【例3】 (2020湖南常德一模,文19)在三棱锥P-ABC 中,底面ABC与侧面PAB均为正三角 形,AB=2,PC= ,M为AB的中点. (1)证明:平面PCM⊥平面PAB; (2)N为线段PA上一点,且S△CMN= ,求三棱锥P-CMN 的体积. (1)证明因为△ABC是边长为2的正三角形,M为AB的中点,所以 CM⊥AB,CM= ,同理,PM= ,又PC= , 因为CM2+PM2=PC2,所以CM⊥PM. 又AB∩PM=M,所以CM⊥平面PAB, 又CM⫋平面PCM, 所以平面PCM⊥平面PAB. 解题心得证明面面垂直的常用方法是面面垂直的判定定理,即一个平面过 另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.为此就要先证线面垂直,而要证线 面垂直又转化成证线线垂直.又要先从已知的线面垂直和勾股定理中得到 线线垂直.这是一个相互转化的过程. 对点训练3(2020全国1,文19)如图,D为圆锥的顶点,O是 圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P为 DO上一点,∠APC=90°. (1)证明:平面PAB⊥平面PAC; (2)设DO= ,圆锥的侧面积为 π, 求三棱锥P-ABC的体积. (1)证明由题设可知,PA=PB=PC.由于△ABC是正三角形, 故可得△PAC≌ △PAB,△PAC≌ △PBC. 又∠APC=90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°. 从而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC, 所以平面PAB⊥平面PAC. 题型四　证垂直关系及求点到面的距离 【例4】 (2020福建泉州一模,文19)如图1,四边形ABCD是边长为2的菱 形,∠BAD=60°,E为CD的中点,以BE为折痕将△BCE折起到△PBE的位置, 使得平面PBE⊥平面ABCD,如图2. (1)证明:平面PAB⊥平面PBE; (2)求点D到平面PAB的距离. (1)证明依题意知,因为CE⊥BE,所以PE⊥BE.又平面PBE⊥平面ABCD,平面 PBE∩平面ABCD=BE,PE⫋平面PBE, 所以PE⊥平面ABCD. 又AB⫋平面ABCD,所以PE⊥AB. 由已知,△BCD是等边三角形,且E为CD的中点,所以BE⊥CD. 因为AB∥CD,所以AB⊥BE. 又PE∩BE=E,所以AB⊥平面PBE. 又AB⫋平面PAB,所以平面PAB⊥平面PBE. 解题心得平面图形翻折后成为空间图形,翻折后还在一个平面上的线线和 线面的关系不发生变化,不在同一个平面上的可能发生变化.解决这类问题 就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各 类几何量的度量值. 题型五　证垂直关系及求空间角 【例5】 如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面 PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值; (2)求证:PD⊥平面PBC; (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. (3)解 过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF, 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角. 因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影, 所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角. 由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC, 故BC⊥DC, 解题心得求异面直线所成的角、线与面所成的角的方法是一作,二证,三求. 异面直线所成的角一般利用平行线转化为同一平面内的两条直线所成的 角;线与面所成的角一般找到直线在平面内的射影,转化为直线与直线在平 面内的射影所成的角. 对点训练4(2020江西临川二中月考,文19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD的边长是2的正方形,PA=PD,PA⊥PD,F为PB上的点,且AF⊥平面PBD. (1)求证:平面PAD⊥平面ABCD; (2)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值. (1)证明∵AF⊥平面PBD,PD⫋平面 PBD,∴PD⊥AF.∵PA⊥PD,PA∩AF=A,∴PD⊥平面PAB. ∵AB⫋平面PAB,∴PD⊥AB. ∵四边形ABCD是正方形,∴AB⊥AD. ∵PD⊥AB,AD∩PD=D, ∴AB⊥平面PAD. ∵AB⫋平面ABCD, ∴平面PAD⊥平面ABCD. (2)解取AD的中点H,连接PH,BH.∵PA=PD, ∴PH⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD,PH⫋平面PAD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PH⊥平面ABCD, ∴BH是PB在平面ABCD内的射影.∴∠PBH就是PB与平面ABCD所成的角, 在等腰直角三角形PAD中,∵AD=2,H是AD的中点,∴PH=1. 在Rt△BAH中,∵AH=1,AB=2, 您好，谢谢观看！ 本 课 结 束