2022高考数学一轮复习高考大题专项练四立体几何文含解析北师大版

高考大题专项(四) 立体几何 突破 1 空间中的平行与几何体的体积 1.(2020 某某某某二模,文 18)如图 1,在矩形 ABCD 中,E,F 在边 CD 上,BC=CE=EF=FD=1.沿 BE,AF 将△CBE 和△DAF 折起,使平面 CBE 和平面 DAF 都与平面 ABEF 垂直,连接 DC,如图 2. (1)证明:CD∥AB; (2)求三棱锥 D-BCE 的体积. 2. (2020 某某某某模拟)如图,在多面体 ABCA1B1C1 中,四边形 ABB1A1 是正方形,△A1CB 是等边三 角形,AC=AB=1,B1C1∥BC,BC=2B1C1. (1)求证:AB1∥平面 A1C1C; (2)求多面体 ABCA1B1C1 的体积. 3.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是 PC,PD 的中 点,AD=AB=1. (1)若点 G 为线段 BC 的中点,证明:平面 EFG∥平面 PAB; (2)在(1)的条件下,求以△EFG 为底面的三棱锥 C-EFG 的高. 4. (2020 某某某某二模,文 19)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD=1,过棱 PC 的中点 E,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明:PA∥平面 EDB; (2)求三棱锥 B-DEF 的体积. 5.如图,平面 ABCD⊥平面 CDEF,且四边形 ABCD 是梯形,四边形 CDEF 是矩形,∠BAD=∠ CDA=90°,AB=AD=DE= 1 2 CD,M 是线段 DE 上的动点. (1)试确定点 M 的位置,使 BE∥平面 MAC,并说明理由; (2)在(1)的条件下,四面体 E-MAC 的体积为 3,求线段 AB 的长. 6. (2020 全国 2,文 20)如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是正三角形,侧面 BB1C1C 是矩 形,M,N 分别为 BC,B1C1 的中点,P 为 AM 上一点.过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E,交 AC 于 F. (1)证明:AA1∥MN,且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F; (2)设 O 为△A1B1C1 的中心.若 AO=AB=6,AO∥平面 EB1C1F,且∠MPN=π 3 ,求四棱锥 B-EB1C1F 的体积. 7.如图,多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是菱形,∠BCD=60°,四边形 BDEF 是正方形且 DE⊥平 面 ABCD. (1)求证:CF∥平面 ADE; (2)若 AE= 2 ,求多面体 ABCDEF 的体积 V. 8. (2020 某某棠湖中学月考)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ BAD=120°,PA=2,PB=PC=PD,E 是 PB 的中点. (1)证明:PD∥平面 AEC; (2)设 F 是线段 DC 上的动点,当点 E 到平面 PAF 距离最大时,求三棱锥 P-AFE 的体积. 突破 2 空间中的垂直与几何体的体积 1. (2020 某某某某一模,文 18)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, 且 PA=AD=2,AB=3,点 E 为线段 PD 的中点. (1)求证:AE⊥PC; (2)求三棱锥 P-ACE 的体积. 2. (2020 全国 3,文 19)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F 分别在棱 DD1,BB1 上,且 2DE=ED1,BF=2FB1.证明: (1)当 AB=BC 时,EF⊥AC; (2)点 C1 在平面 AEF 内. 3. (2020 某某某某一模,文 19)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是菱形,AB=AC=2,PA=2 3 ,PB=PD. (1)证明:平面 PAC⊥平面 ABCD; (2)若 PA⊥AC,M 为 PC 的中点,求三棱锥 B-CDM 的体积. 4. (2020 某某某某二模,文 18)已知四棱锥 S-ABCD 中,四边形 ABCD 为梯形,∠BCD=∠ADC=∠ SAD=90°,平面 SAD⊥平面 ABCD,E 为线段 AD 的中点,AD=2BC=2CD. (1)证明:BD⊥平面 SAB; (2)若 SA=AD=2,求点 E 到平面 SBD 的距离. 5. (2020 某某某某一模,文 19)如图,三棱锥 P-ABC 中,PA=PC,AB=BC,∠APC=120°,∠ ABC=90°,AC= 3 PB=2. (1)求证:AC⊥PB; (2)求点 C 到平面 PAB 的距离. 6. (2020 某某某某二模,文 19)如图,△ABC 为边长为 2 的正三角形,AE∥CD,且 AE⊥平面 ABC,2AE=CD=2. (1)求证:平面 BDE⊥平面 BCD; (2)求三棱锥 D-BCE 的高. 7.如图,四面体 ABCD 中,O,E 分别是 BD,BC 的中点,AB=AD= 2 ,CA=CB=CD=BD=2. (1)求证:AO⊥平面 BCD; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 E 到平面 ACD 的距离. 参考答案 高考大题专项(四) 立体几何 突破 1 空间中的平行与 几何体的体积 1.(1)证明分别取 AF,BE 的中点 M,N,连接 DM,,MN. 由图可得,△ADF 与△BCE 都是等腰直角三角形,且△ADF 与△BCE 全等, ∴DM⊥AF,⊥BE,DM=. ∵平面 ADF⊥平面 ABEF,交线为 AF,DM ⫋ 平面 ADF,DM⊥AF, ∴DM⊥平面 ABEF. 同理,⊥平面 ABEF, ∴DM∥. 又∵DM=, ∴四边形 CDMN 为平行四边形, ∴CD∥MN. ∵M,N 分别是 AF,BE 的中点, ∴MN∥AB,∴CD∥AB. (2)解由图可知,V 三棱锥 D-BCE=V 三棱锥 B-DCE, ∵EF=1,AB=3,∴CD=MN=2, ∴V 三棱锥 B-DCE=2V 三棱锥 B-EFC=2V 三棱锥 C-EFB. 由(1)知,⊥平面 BEF. ∵= 2 2 ,S△BEF= 1 2 , ∴V 三棱锥 C-EFB= 2 12 , ∴V 三棱锥 D-BCE= 2 6 . 2.(1)证明如图,取 BC 的中点 D,连接 AD,B1D,C1D,∵B1C1∥BC,BC=2B1C1, ∴BD∥B1C1,BD=B1C1,CD∥B1C1,CD=B1C1, ∴四边形 BDC1B1,CDB1C1 是平行四边形, ∴C1D∥B1B,C1D=B1B,CC1∥B1D, 又 B1D⊈ 平面 A1C1C,C1C ⫋ 平面 A1C1C,∴B1D∥平面 A1C1C. 在正方形 ABB1A1 中,BB1∥AA1,BB1=AA1,∴C1D∥AA1,C1D=AA1, ∴四边形 ADC1A1 为平行四边形, ∴AD∥A1C1. 又 AD⊈ 平面 A1C1C,A1C1 ⫋ 平面 A1C1C,∴AD∥平面 A1C1C, ∵B1D∩AD=D, ∴平面 ADB1∥平面 A1C1C, 又 AB1 ⫋ 平面 ADB1, ∴AB1∥平面 A1C1C. (2)在正方形 ABB1A1 中,A1B= 2 , ∵△A1BC 是等边三角形, ∴A1C=BC= 2 , ∴AC2+A 1 2 =A1C2,AB2+AC2=BC2,∴AA1⊥AC,AC⊥AB. 又 AA1⊥AB,∴AA1⊥平面 ABC, ∴AA1⊥CD, 易得 CD⊥AD,AD∩AA1=A, ∴CD⊥平面 ADC1A1. 易知多面体 ABCA1B1C1 是由直三棱柱 ABD-A1B1C1 和四棱锥 C-ADC1A1 组成的, 直三棱柱 ABD-A1B1C1 的体积为 1 2 × 1 2 × 1 × 1 ×1= 1 4 ,四棱锥 C-ADC1A1 的体积为 1 3 × 2 2 ×1× 2 2 1 6 ,∴多面体 ABCA1B1C1 的体积为 1 4 1 6 5 12 . 3.(1)证明∵E,F 分别是 PC,PD 的中点, ∴EF∥CD. ∵底面 ABCD 是矩形, ∴CD∥AB,∴EF∥AB. 又 AB ⫋ 平面 PAB,EF⊈ 平面 PAB, ∴EF∥平面 PAB. 同理 EG∥平面 PAB. ∵EF∩EG=E, ∴平面 EFG∥平面 PAB. (2)解∵PA⊥底面 ABCD,BC ⫋ 底面 ABCD, ∴PA⊥BC, ∵BC⊥AB,PA∩AB=A, ∴BC⊥平面 PAB, ∴C 到平面 PAB 的距离为 BC=1, ∴以△EFG 为底面的三棱锥 C-EFG 的高为 1 2 . 4.(1)证明连接 AC 交 BD 于点 G,则 G 是 AC 的中点,连接 EG, 则 EG 是△PAC 的中位线,所以 PA∥EG,因为 PA⊈ 平面 EDB,EG ⫋ 平面 EDB,所以 PA∥平面 EDB. (2)解因为 PD⊥平面 ABCD,BC ⫋ 平面 ABCD,所以 PD⊥BC, 又 BC⊥CD,CD∩PD=D, 所以 BC⊥平面 PCD, 又 DE ⫋ 平面 PCD,所以 DE⊥BC. 因为 PD=CD,E 是 PC 的中点, 所以 DE⊥PC,BC∩PC=C, 所以 DE⊥平面 PBC, 所以 DE 是三棱锥 D-BEF 的高. DE= 2 2 ,BC=1,PC=2PE= 2 ,PB= 3 ,Rt△BCP∽Rt△EFP,所以 ,得 PF= · 3 3 ,EF= · 6 6 ,BF= 2 3 3 ,VB-DEF=VD-BEF= 1 3 S△BEF·DE= 1 3 × 1 2 ×BF·EF·DE= 1 18 . 5. 解(1)当 EM= 1 3 DE 时,BE∥平面 MAC. 证明如下: 连接 BD,交 AC 于 N,连接 MN. 由于 AB= 1 2 CD,所以 =2. 当 EM= 1 3 DE 时, =2, 所以 MN∥BE. 由于 MN ⫋ 平面 MAC,又 BE⊈ 平面 MAC,所以 BE∥平面 MAC. (2)∵CD⊥DA,CD⊥DE,DA∩DE=D,∴CD⊥平面 ADE. 又∵平面 ABCD⊥平面 CDEF,AD⊥DC,∴AD⊥平面 CDEF,∴AD⊥DE. 设 AB=a,则 VE-MAC=VC-MAE= 1 3 ×CD×S△MAE= 1 9 a3. 所以 1 9 a3=3,解得 a=3.因此 AB=3. 6.(1)证明因为 M,N 分别为 BC,B1C1 的中点,所以 MN∥CC1. 又由已知得 AA1∥CC1,故 AA1∥MN. 因为△A1B1C1 是正三角形, 所以 B1C1⊥A1N. 又 B1C1⊥MN,故 B1C1⊥平面 A1AMN. 所以平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F. (2)解 AO∥平面 EB1C1F,AO ⫋ 平面 A1AMN,平面 A1AMN∩平面 EB1C1F=PN,故 AO∥PN.又 AP ∥ON,故四边形 APNO 是平行四边形,所以 PN=AO=6,AP=ON= 1 3 AM= 3 ,PM= 2 3 AM=2 3 ,EF= 1 3 BC=2. 因为 BC∥平面 EB1C1F,所以四棱锥 B-EB1C1F 的顶点 B 到底面 EB1C1F 的距离等于点 M 到底面 EB1C1F 的距离. 作 MT⊥PN,垂足为 T,则由(1)知,MT⊥平面 EB1C1F, 故 MT=PMsin∠MPN=3. 底面 EB1C1F 的面积为 1 2 ×(B1C1+EF)×PN= 1 2 ×(6+2)×6=24.所以四棱锥 B-EB1C1F 的体积 为 1 3 ×24×3=24. 7.(1)证明∵ABCD 是菱形,∴BC∥AD. 又 BC⊈ 平面 ADE,AD ⫋ 平面 ADE, ∴BC∥平面 ADE. 又 BDEF 是正方形,∴BF∥DE. ∵BF⊈ 平面 ADE,DE ⫋ 平面 ADE, ∴BF∥平面 ADE. ∵BC ⫋ 平面 BCF,BF ⫋ 平面 BCF, BC∩BF=B,∴平面 BCF∥平面 AED,∴CF∥平面 AED. (2)解连接 AC,记 AC∩BD=O, ∵ABCD 是菱形,AC⊥BD,且 AO=CO. 由 DE⊥平面 ABCD,AC ⫋ 平面 ABCD,DE⊥AC. ∵DE ⫋ 平面 BDEF,BD ⫋ 平面 BDEF,DE∩BD=D, ∴AC⊥平面 BDEF 于 O,即 AO 为四棱锥 A-BDEF 的高. 由 ABCD 是菱形,∠BCD=60°, 则△ABD 为等边三角形,由 AE= 2 ,则 AD=DE=1,AO= 3 2 ,S 正方形 BDEF=1,VA-BDEF= 1 3 S 正方形 BDEF·AO= 3 6 ,V=2VA-BDEF= 3 3 . 8.(1)证明连接 DB 与 AC 交于点 O,连接 OE,因为 ABCD 是菱形,所以 O 为 DB 的中点,又因为 E 为 PB 的中点,所以 PD∥OE,因为 PD⊈ 平面 AEC,OE ⫋ 平面 AEC, 所以 PD∥平面 AEC. (2)解取 BC 中点 M,连接 AM,PM, 因为四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=120°,且 PC=PB,所以 BC⊥AM,BC⊥PM,又 AM∩ PM=M, 所以 BC⊥平面 APM,又 AP ⫋ 平面 APM,所以 BC⊥PA. 同理可得,DC⊥PA,又 BC∩DC=C, 所以 PA⊥平面 ABCD, 所以平面 PAF⊥平面 ABCD, 又平面 PAF∩平面 ABCD=AF,所以点 B 到直线 AF 的距离即为点 B 到平面 PAF 的距离, 过点 B 作直线 AF 的垂线段,在所有垂线段中长度最大为 AB=2, 因为 E 为 PB 的中点,故点 E 到平面 PAF 的最大距离为 1,此时,F 为 DC 的中点,即 AF= 3 , 所以 S△PAF= 1 2 PA·AF= 1 2 ×2× 3 3 ,所以 VP-AFE=VE-PAF= 1 3 × 3 ×1= 3 3 . 突破 2 空间中的垂直与 几何体的体积 1.(1)证明∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD, 又在矩形 ABCD 中,CD⊥AD, ∴CD⊥平面 PAD, ∵AE ⫋ 平面 PAD,∴CD⊥AE, 又∵PA=AD,E 为 PD 中点, ∴AE⊥PD, 又 CD∩PD=D,∴AE⊥平面 PCD. ∵PC ⫋ 平面 PCD,∴AE⊥PC. (2)解∵点 E 为线段 PD 的中点, ∴VP-ACE=VE-PAC= 1 2 VP-ACD= 1 2 × 1 3 ×2× 1 2 ×2×3=1. 2.证明(1)如图,连接 BD,B1D1. 因为 AB=BC,所以四边形 ABCD 为正方形,故 AC⊥BD. 又因为 BB1⊥平面 ABCD,于是 AC⊥BB1.所以 AC⊥平面 BB1D1D.由于 EF ⫋ 平面 BB1D1D, 所以 EF⊥AC. (2)如图,在棱 AA1 上取点 G,使得 AG=2GA1,连接 GD1,FC1,FG. 因为 D1E= 2 3 DD1,AG= 2 3 AA1,DD1AA1,所以 ED1AG,于是四边形 ED1GA 为平行四边形,故 AE∥GD1. 因为 B1F= 1 3 BB1,A1G= 1 3 AA1,BB1AA1,所以 FGA1B1,FGC1D1,四边形 FGD1C1 为平行四边形, 故 GD1∥FC1.于是 AE∥FC1.所以 A,E,F,C1 四点共面,即点 C1 在平面 AEF 内. 3.(1)证明设 BD 交 AC 于点 O,连接 PO,在菱形 ABCD 中,AC⊥BD,又 PB=PD,O 是 BD 的中点, ∴PO⊥BD, ∵AC∩PO=O,AC ⫋ 平面 PAC,PO ⫋ 平面 PAC,∴BD⊥平面 PAC, 又 BD ⫋ 平面 ABCD,故平面 PAC⊥平面 ABCD. (2)解连接 OM,∵M 为 PC 的中点,且 O 为 AC 的中点,∴OM∥PA, 由(1)知,BD⊥PA,又 PA⊥AC,则 BD⊥OM,OM⊥AC, 又 AC∩BD=O,∴OM⊥平面 ABCD. 由题得 OC=1,BD=2 3 ,则 S△BCD= 1 2 BD·OC= 1 2 ×2 3 ×1= 3 ,OM= 1 2 PA= 3 ,∴ VB-CDM=VM-BCD= 1 3 S△BCD·OM= 1 3 × 3 × 3 =1. ∴三棱锥 B-CDM 的体积为 1. 4.(1)证明由题意知∠BCD=∠ADC=90°,BC∥ED,且 BC=CD= 1 2 AD=DE, 所以四边形 BCDE 是正方形, 所以 BD⊥CE, 又因为 BC∥AE,BC=AE,所以四边形 ABCE 是平行四边形, 所以 CE∥AB,则 BD⊥AB. 因为平面 SAD⊥平面 ABCD,∠SAD=90°,平面 SAD∩平面 ABCD=AD,故 SA⊥平面 ABCD. 所以 SA∩AB=A,所以 SA⊥BD, 又因为 SA∩AB=A,则 BD⊥平面 SAB. (2)解因为 SA=AD=2,BE=DE=1, 所以△BDE 的面积为 1 2 , 又由(1)知 SA⊥平面 ABCD,则 VS-BDE= 1 3 × 1 2 ×2= 1 3 , 又在 Rt△SAB 中,SA=2,AB=DB= 2 ,则 SB= 6 , 由(1)知 BD⊥SB,所以△SBD 的面积为 1 2 × 2 × 6 3 , 设点 E 到平面 SBD 的距离为 h, 则 1 3 S△BDS·h= 1 3 ,即 h= 3 3 . 5.(1)证明取 AC 的中点为 O,连接 BO,PO. 在△PAC 中,∵PA=PC,O 为 AC 的中点,∴PO⊥AC, 在△BAC 中,∵BA=BC,O 为 AC 的中点,∴BO⊥AC, ∵OP∩OB=O,OP ⫋ 平面 OPB,OB ⫋ 平面 OPB,∴AC⊥平面 OPB, ∵PB ⫋ 平面 POB,∴AC⊥BP. (2)解在直角三角形 ABC 中,由 AC=2,O 为 AC 的中点,得 BO=1,在等腰三角形 APC 中,由∠ APC=120°,得 PO= 3 3 , 又 PB= 2 3 3 ,∴PO2+BO2=PB2,即 PO⊥BO,又 PO⊥AC,AC∩OB=O, ∴PO⊥平面 ABC, 由题可得 PA= 2 3 3 ,又 AB= 2 ,得 S△PAB= 1 2 × 2 × 2 3 3 2 - 2 2 2 15 6 .设点 C 到平面 PAB 的距离为 h, 由 VP-ABC=VC-PAB,得 1 3 × 1 2 × 2 × 2 × 3 2 1 3 × 15 6 h,解得 h= 3 5 5 , 故点 C 到平面 PAB 的距离为 3 5 5 . 6.(1)证明如图所示,取 BD 的中点 F,BC 的中点为 G,连接 AG,FG,EF, 由题意可知,FG 是△BCD 的中位线, 所以 FG∥AE,且 FG=AE,即四边形 AEFG 为平行四边形,所以 AG∥EF, 又 AE⊥平面 ABC,所以 FG⊥平面 ABC,所以 AG⊥FG, 又 AG⊥BC,BC∩FG=G,所以 AG⊥平面 BCD, 所以 EF⊥平面 BCD,又 EF ⫋ 平面 BDE,故平面 BDE⊥平面 BCD. (2)解过 B 作 BK⊥AC,垂足为 K,因为 AE⊥平面 ABC,所以 BK⊥平面 ACDE,且 BK=2× 3 2 3 , 所以 V 四棱锥 B-ACDE= 1 3 × 1 2 ×(1+2)×2× 3 3 , V 三棱锥 E-ABC= 1 3 × 1 2 ×2× 3 ×1= 3 3 ,所以 V 三棱锥 D-BCE=V 四棱锥 B-ACDE-V 三棱锥 E-ABC= 3 3 3 2 3 3 , 因为 AB=AC=2,AE=1,所以 BE=CE= 5 ,又 BC=2,所以 S△ECB= 1 2 ×2× 5-1 =2,设所求的高 为 h,则由等体积法得 1 3 ×2×h= 2 3 3 ,所以 h= 3 . 7.(1)证明连接 AO,OC,∵AB=AD,D 是 BD 中点,∴AO⊥BD,∵BC=CD,D 是 BD 的中点,∴CO⊥ BD. 在△AOC 中,由题设知 AO=1,CO= 3 ,AC=2,∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC. ∵AO⊥BD,BD∩OC=O,∴AO⊥平面 BCD. (2)解取 AC 的中点 M,连接 OM,ME,OE,由 E 为 BC 的中点,知 ME∥AB,OE∥DC, ∴直线 OE 与 EM 所成的角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角. 在△OME 中,EM= 1 2 AB= 2 2 ,OE= 1 2 DC=1, ∵OM 是直角△AOC 斜边 AC 上的中线,∴OM= 1 2 AC=1, ∴cos∠OEM= 1 1 2-1 2 × 1 × 2 2 2 4 , ∴异面直线 AB 与 CD 所成角大小的余弦值为 2 4 . (3)解设点 E 到平面 ACD 的距离为 h. ∵VE-ACD=VA-CDE,∴ 1 3 S△ACD·h= 1 3 S△CDE·AO, 在△ACD 中,AD= 2 ,CA=CD=2. ∴S△ACD= 1 2 × 2 × 4- 2 2 2 7 2 ,∵AO=1,S△CDE= 1 2 × 3 4 ×22= 3 2 ,∴h= △ · △ 3 2 × 1 7 2 21 7 , ∴点 E 到平面 ACD 的距离为 21 7 .