2022高考数学一轮复习高考大题专项三数列学案文含解析新人教A版

高考 1 / 18 数列 高考大题专项 (三)数列 考情分析 从近五年高考试题分析来看,高考数列解答题主要题型有:等差、等比数列的综合问题; 证明一个数列为等差或等比数列;求数列的通项公式及非等差、等比数列的前 n 项和;证明数 列型不等式.命题规律是解答题每两年出现一次,命题特点是试题题型规 X、方法可循、难度 稳定在中档. 典例剖析 题型一等差、等比数列的综合问题 【例 1】(2020 某某某某 5 月模拟,18)已知数列{an}为等差数列,且 a2=3,a4+a5+a6=0. (1)求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn. (2)请你在数列{an}的前 4 项中选出三项,组成公比的绝对值小于 1 的等比数列{bn}的前 3 项,并记数列{bn}的前 n 项和为 Tn.若对任意正整数 k,m,n,不等式 Sm0,且 b1+b2=6b3,求 q 的值及数列{an}的通项公式; (2)若{bn}为等差数列,公差 d>0,证明:c1+c2+…+1,∴3n+1-3n>0,3n+1-1>0,3n-1>0,∴bn+1-bn0,得 bn+1>0,因此 c1+c2+c3+…+0),{bn}的公差为 d, 则 q= 5 1 1 4 =2,d= 31-1 30 =1,所以 an=2n,bn=n+1. (2)= +1-1 (+1-+1) · (+2-+2) = 2 +1 -1 [2 +1 -(+2)][2 +2 -(+3)] = 1 2 +1 -(+2) 1 2 +2 -(+3) , 高考 16 / 18 所以 Tn= 1 2 2 -3 1 2 3 -4 + 1 2 3 -4 1 2 4 -5 +…+ 1 2 +1 -(+2) 1 2 +2 -(+3) = 1 2 2 -3 1 2 +2 -(+3) =1- 1 2 +2 --3 . 例 5 解(1)∵数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= 2 + 2 (n∈N*).∴a1=S1= 1+1 2 =1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 2 + 2 (-1)2 +(-1) 2 =n, 当 n=1 时,上式成立,∴数列{an}的通项公式 an=n. (2)∵an=n,bn=an· 3 (n∈N*), ∴bn=n·3n,∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n, ① 3Tn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1, ② ①-②得-2Tn=3+32+33+34+…+3n-n×3n+1= 3(1-3 ) 1-3 -n×3n+1= 1 2 -n ×3n+1- 3 2 ,∴ Tn= 2 - 1 4 ×3n+1+ 3 4 . 对点训练 5(1)证明因为 2Sn+n+1= +1 2 ,所以 2Sn-1+n= 2 (n≥2), 两式相减,得 2an+1= +1 2 2 (n≥2),所以 2 +2an+1= +1 2 ,即(an+1)2= +1 2 (n≥2). 因为数列{an}的各项均为正数, 所以当 n≥2 时,an+1=an+1. (2)解由(1)得 a4=a2+2,a8=a2+6, 因为 a4 是 a2 与 a8 的等比中项, 所以 4 2 =a2·a8,即(a2+2)2=a2·(a2+6),解得 a2=2, 高考 17 / 18 又 2a1+2= 2 2 ,所以 a1=1, 所以 a2-a1=1,从而 an+1-an=1 对 n∈N*恒成立, 所以数列{an}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,所以 an=n. 所以 2n·an=n·2n. 所以 Tn=1×2+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n, 2Tn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1 两式相减,得-Tn=2+22+…+2n-n×2n+1= 2 × (1-2 ) 1-2 -n×2n+1=(1-n)·2n+1-2, 所以 Tn=(n-1)·2n+1+2. 例 6 解(1)①当λ=1 时,anSn+1-an+1Sn=an+1-an,则 anSn+1+an=an+1Sn+an+1, 即(Sn+1+1)an=(Sn+1)an+1.∵数列{an}的各项均为正数,∴ +1 = +1+1 +1 . ∴ 2 1 · 3 2 ·…· +1 = 2+1 1+1 · 3+1 2+1 ·…· +1+1 +1 ,化简,得 Sn+1+1=2an+1, ① ∴当 n≥2 时,Sn+1=2an, ② ②-①,得 an+1=2an, ∵当 n=1 时,a2=2,∴当 n=1 时,上式也成立, ∴数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,即 an=2n-1. (2)存在.由题意,令 n=1,得 a2=λ+1;令 n=2,得 a3=(λ+1)2. 要使数列{an}是等差数列,必须有 2a2=a1+a3,解得λ=0. 高考 18 / 18 当λ=0 时,Sn+1an=(Sn+1)an+1,且 a2=a1=1. 当 n≥2 时,Sn+1(Sn-Sn-1)=(Sn+1)(Sn+1-Sn), 整理,得 2 +Sn=Sn+1Sn-1+Sn+1,即 +1 -1+1 = +1 , 从而 2+1 1+1 · 3+1 2+1 ·…· +1 -1+1 = 3 2 · 4 3 ·…· +1 ,化简,得 Sn+1=Sn+1,即 an+1=1. 综上所述,可得 an=1,n∈N*.∴当λ=0 时,数列{an}是等差数列. 对点训练 6 解(1)∵a1a2a3= 2 3 ,a1a2= 2 2 ,b3-b2=3,∴a3= 2 3 2 2 = 2 3-2 =8, 又 a1=2,∴8=2q2,∴q2=4,解得 q=2 或 q=-2, ∵a1a2a3…an= 2 >0(n∈N*),故舍去 q=-2,∴an=2n, ∴a1a2a3…an=2(1+2+3+…+n)= 2 (+1) 2 ,∴bn= (+1) 2 . (2)存在.由(1)得,= +1 =1+ 1 , 假设存在正整数 m,n(m≠n),使 c2,cm,成等差数列, 则 2cm=c2+,即 2 1+ 1 = 3 2 +1+ 1 ,∴ 2 = 1 2 + 1 ,故 n= 2 4- , ∵n>0,m>0,∴0