2022届高考数学统考一轮复习阶段质量检测3理含解析新人教版 (1)

阶段质量检测(三) 建议用时：40 分钟 一、选择题 1．(2020·银川三模)若向量 a＝(x＋1,2)与 b＝(1，－1)平行，则|2a＋b|＝( ) A． 2 B． 3 2 2 C．3 2 D． 2 2 C [∵a∥b，∴－(x＋1)－2＝0，解得 x＝－3， ∴a＝(－2,2)，2a＋b＝(－3,3)， ∴|2a＋b|＝3 2.故选 C．] 2．(2020·成都模拟)复数 z＝ 2－3i 3＋2i ，则 z· z ＝( ) A．i B．－i C．1 D．－1 C [∵z＝ 2－3i 3＋2i ，∴|z|＝|2－3i 3＋2i|＝ |2－3i| |3＋2i| ＝ 13 13 ＝1. ∴z· z ＝|z|2＝1 .故选 C．] 3．(2020·钦州模拟)设向量 a＝(－1,2)，b＝(2，－4)，则( ) A．a⊥b B．a 与 b 同向 C．a 与 b 反向 D． 1 5 (a＋b)是单位向量 C [∵a＝(－1,2)，b＝(2，－4)， ∴b＝－2a， ∴a 与 b 反向， 1 5 (a＋b)＝ 1 5 ，－ 2 5 ， ∴ 1 5 |a＋b|≠1，即 1 5 (a＋b)不是单位向量．故选 C．] 4．(2020·宜宾模拟)在△ABC 中，点 D 为 BC 延长线上一点，且 S△ABC S△ABD ＝ 2 3 ，则( ) A．AD→ ＝ 4 3 AB→ － 1 3 AC→ B．AD→ ＝ 3 2 AB→ － 1 2 AC→ C．AD→ ＝－ 1 2 AB→ ＋ 3 2 AC→ D．AD→ ＝－ 1 3 AB→ ＋ 4 3 AC→ C [由题意可知， S△ABC S△ABD ＝ 2 3 ＝ BC BD ， ∴BD→ ＝ 3 2 BC→，∴AD→ ＝AB→ ＋BD→ ＝AB→ ＋ 3 2 BC→＝AB→ ＋ 3 2 (AC→ －AB→ )＝－ 1 2 AB→ ＋ 3 2 AC→ .故选 C．] 5．已知非零向量 a，b 满足|a|＝ 3 4 |b|，cos〈a，b〉＝ 1 3 ，若(ma＋4b)⊥b，则实数 m 的值为( ) A．9 B．10 C．11 D．－16 D [∵非零向量 a，b 满足|a|＝ 3 4 |b|，cos〈a，b〉＝ 1 3 ，(ma＋4b)⊥b， ∴(ma＋4b)·b＝ma·b＋4b2＝m· 3 4 |b|·|b|· 1 3 ＋4|b|2＝0，求得 m＝－16，故选 D．] 6．(2020·武汉模拟)设有下面两个命题： p1：复数 z∈R 的充要条件是 z＝ z ； p2：若复数 z 所对应的点在第一象限，则复数 z i 所对应的点在第四象限． 则下列选项中，为真命题的是( ) A．p1∧p2 B．( p1)∧p2 C．p1∧( p2) D．( p1)∧( p2) A [设 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则 z∈R⇔b＝0⇔z＝ z ，则 p1 为真命题； 若复数 z 所对应的点在第一象限，则 a＞0，b＞0， 而 z i ＝ a＋bi i ＝b－ai，故复数 z i 所对应的点(b，－a)在第四象限，p2 为真命题．∴p1∧p2 为真命题．故选 A．] 7．(2020·沙市模拟)菱形 ABCD 中，AC＝2，BD＝2 3，E 点为线段 CD 的中点，则AE→·BC→ 为( ) A． 3 B．3 C． 3 2 D． 3 2 B [建立如图所示坐标系，A(0,1)，B(－ 3，0)，C(0，－1)，D( 3，0)，所以 E 3 2 ，－ 1 2 ， 则AE→＝ 3 2 ，－ 3 2 ，BC→＝( 3，－1)， 所以AE→·BC→＝3.故选 B．] 8．在△ABC 中，AB→ ·AC→ ＝7，|AB→ －AC→ |＝6，则△ABC 面积的最大值为( ) A．24 B．16 C．12 D．8 C [设 A，B，C 所对边分别为 a，b，c， 由AB→ ·AC→ ＝7，|AB→ －AC→ |＝6， 得 bccos A＝7，a＝6①， S△ABC＝ 1 2 bcsin A＝ 1 2 bc 1－cos2A ＝ 1 2 bc 1－ 49 b2c2 ＝ 1 2 b2c2－49， 由余弦定理可得 b2＋c2－2bccos A＝36②， 由①②消掉 cos A 得 b2＋c2＝50，所以 b2＋c2≥2bc， 所以 bc≤25，当且仅当 b＝c＝5 时取等号， 所以 S△ABC＝ 1 2 b2c2－49≤12， 故△ABC 的面积的最大值为 12，故选 C．] 二、填空题 9．(2020·天津一模)若复数 z 满足：z(1＋i)＝|1＋ 3i|，则复数 z 的虚部是 ． －1 [由 z(1＋i)＝|1＋ 3i|＝ 12＋ 3 2＝2， 得 z＝ 2 1＋i ＝ 2 1－i 1＋i 1－i ＝1－i， ∴复数 z 的虚部是－1.] 10．(2020·北京高考)已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足AP→ ＝ 1 2 (AB→ ＋AC→ )，则|PD→ | ＝ ；PB→·PD→ ＝ . 5 －1 [由AP→ ＝ 1 2 (AB→ ＋AC→ )，可得 P 为 BC 的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝ 22＋12＝ 5， ∴PB→·PD→ ＝PB→·(PC→＋CD→ ) ＝－PC→·(PC→＋CD→ )＝－PC→ 2－PC→·CD→ ＝－1.] 11．已知向量 a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数 f (x)＝a·b 在区间(－1,1)上是增函 数，则实数 t 的取值范围是 ． [5，＋∞) [依题意得 f (x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t， 则 f ′(x)＝－3x2＋2x＋t.若 f (x)在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上 f ′(x)≥0 恒成立． ∴f ′(x)≥0⇔t≥3x2－2x 在区间(－1,1)上恒成立， 令 g(x)＝3x2－2x，则 g(x)是对称轴为 x＝ 1 3 ，开口向上的抛物线，故要使 t≥3x2－2x 在 区间(－1,1)上恒成立⇔t≥g(－1)，即 t≥5，故 t 的取值范围是[5，＋∞)．] 12．(2020·乐山模拟)如图，已知函数 f (x)＝ 3 2 |sin πx|，A1，A2，A3 是图象的顶点， O，B，C，D 为 f (x)与 x 轴的交点，线段 A3D 上有五个不同的点 Q1，Q2，…，Q5，记 ni＝OA2 → ·OQi → (i ＝1,2，…，5)，则 n1＋n2＋…＋n5 的值为 ． 45 2 [由题意得，函数 f (x)的周期 T＝1，即 B，C，D 的横坐标分别为 1,2,3，故 A2 3 2 ， 3 2 ， A3 5 2 ， 3 2 ， 则 kOA2＝ 3 3 ，kDA3＝ 3 2 －0 5 2 －3 ＝－ 3， 因为 kOA2·kDA3＝－1 ，故OA2 → ⊥DA3 → ， 故 n1＋n2＋…＋n5 ＝OA2 → ·(OQ1 → ＋OQ2 → ＋OQ3 → ＋OQ4 → ＋OQ5 → ) ＝OA2 → (5OD→ ＋DQ1 → ＋DQ2 → ＋DQ3 → ＋DQ4 → ＋DQ5 → ) ＝5OA2 → ·OD→ ＝5× 3 2 ×3＋0 ＝ 45 2 .] 三、解答题 13．(2020·天津模拟)已知|a|＝ 2，|b|＝1，a 与 b 的夹角为 45°. (1)求 a 在 b 方向上的投影； (2)求|a＋2b|的值； (3)若向量(2a－λb)与(λa－3b)的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． [解] (1)a 在 b 方向上的投影为|a|cos 45°＝ 2× 2 2 ＝1. (2)a·b＝ 2×1× 2 2 ＝1， |a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝2＋4＋4＝10， 则|a＋2b|＝ 10. (3)向量(2a－λb)与(λa－3b)的夹角是锐角， 可得(2a－λb)·(λa－3b)＞0，且(2a－λb)与(λa－3b)不共线， 由 2λa2＋3λb2－(6＋λ2)a·b＞0， 即有 7λ－(6＋λ2)＞0，解得 1＜λ＜6， 又由(2a－λb)与(λa－3b)共线， 可得 2·(－3)＝－λ·λ， 解得λ＝± 6， 则实数λ的取值范围为(1， 6)∪( 6，6)． 14．已知 A，B，C 分别为△ABC 的三边 a，b，c 所对的角，向量 m＝(sin A，sin B)， n＝(cos B，cos A)，且 m·n＝sin 2C． (1)求角 C 的大小； (2)若 a，c，b 成等差数列，且CA→ ·(AB→ －AC→ )＝18，求边 c 的长． [解] (1)由已知得 m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)， 又∵在△ABC 中，A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C， ∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，又∵m·n＝sin 2C， ∴sin C＝sin 2C＝2sin Ccos C， ∴cos C＝ 1 2 ，又 0＜C＜π，∴C＝ π 3 . (2)由 a，c，b 成等差数列，则 2c＝a＋b， 由CA→ ·(AB→ －AC→ )＝18，∴ CA→ ·CB→＝18，即 abcos C＝18， 由(1)知 cos C＝ 1 2 ，所以 ab＝36， 由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab， ∴c2＝4c2－3×36， ∴c＝6. 15．已知向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，且|ka＋b|＝ 3|a－kb|(k＞0)，令 f (x)＝a·b. (1)求 f (k)＝a·b(用 k 表示)； (2)当 k＞0 时，f (k)≥x2－2tx－ 1 2 对任意的 t∈[－1,1]恒成立，求实数 x 的取值范围． [解] (1)∵|a|＝|b|＝1，|ka＋b|＝ 3|a－kb|， ∴k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2－2ka·b＋k2b2)， 整理得 a·b＝ k2＋1 4k ， ∴f (k)＝ k2＋1 4k (k＞0)． (2)当 k＞0 时，f (k)＝ 1 4 k＋ 1 k ≥ 1 4 ·2 k· 1 k ＝ 1 2 (当且仅当 k＝1 时等号成立)， ∴当 k＞0 时，f (k)≥x2－2tx－ 1 2 对任意的 t∈[－1,1]恒成立，即 1 2 ≥x2－2tx－ 1 2 ，亦即 x2 －2tx－1≤0 对任意的 t∈[－1,1]恒成立， 令 g(t)＝x2－2tx－1＝－2xt＋x2－1， ∴g(t)＝－2xt＋x2－1＜0 对任意的 t∈[－1,1]恒成立， 由一次函数的性质可得 g －1 ＝2x＋x2－1≤0⇒－1－ 2≤x≤－1＋ 2 g 1 ＝－2x＋x2－1≤0⇒1－ 2≤x≤1＋ 2 ， ∴1－ 2≤x≤ 2－1， ∴实数 x 的取值范围为[1－ 2， 2－1]． 16．已知向量 m＝(sin x,1)，n＝ 3Acos x， A 2 cos 2x (A＞0)，函数 f (x)＝m·n 的最 大值为 6. (1)求 A； (2)将函数 f (x)的图象向左平移 π 12 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象．求 g(x)在 0， 5π 24 上的值域． [解] (1)f (x)＝m·n＝ 3Asin xcos x＋ A 2 cos 2x ＝A 3 2 sin 2x＋ 1 2 cos 2x ＝Asin 2x＋ π 6 ， ∵函数 f (x)＝m·n 的最大值为 6， ∴A＝6.