第一节 绝对值不等式
【知识重温】
一、必记2个知识点
1．含有绝对值的不等式定理
(1)定理：对任意实数a和b，有____________________，其中等号成
立的条件为ab≥0.
(2)定理中的b以－b代替，则有|a－b|≤|a|＋|b|.其中等号成立的条件为
____________．
(3)对任意实数a和b，有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
|a＋b|≤|a|＋|b|
ab≤0
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：
{x|－a＜x＜a} ∅ ∅
{x|x＞a或x＜－a} {x|x∈R且x≠0} R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
(ⅰ)|ax＋b|≤c
⇔
－c≤ax＋b≤c；
(ⅱ)|ax＋b|≥c
⇔
ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解
法．
(ⅰ)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
(ⅱ)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．
(ⅲ)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思
想．
二、必明2个易误点
1．利用均值不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使
其符合几个重要不等式的特征．
2．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等
号同时成立．
悟·技法
对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点
(1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最
大(小)值时．
(2)该定理可推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a|－
|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推论．
(3)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|；当b(a
＋b)≤0时，|a|－|b|＝|a＋b|；当b(a－b)≥0时，|a|－|b|＝|a－b|.
考点二 绝对值不等式的解法[自主练透型]
1．不等式|2x－1|>3的解集为________．
解析：由|2x－1|>3，得2x－13，即x2.
答案：{x|x2}
2．[2020·江苏卷]设x∈R，解不等式2|x＋1|＋|x|f(x＋1)的解集．
悟·技法
解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普
通不等式．
(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不
含绝对值符号的普通不等式．
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
考点三 与绝对值不等式有关的参数范围问题
[互动讲练型]
[例2] [2020·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；
(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．
[变式练]——(着眼于举一反三)
2．[2021·惠州市高三调研考试]已知f(x)＝|x＋1|＋|ax－a＋1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若x≥1时，不等式f(x)≥x＋2恒成立，求a的取值范围．
解析：
(2)解法一 当x≥1时，不等式f(x)≥x＋2，即|ax－a＋1|≥1.
令g(x)＝a(x－1)＋1，则g(x)的图象为过定点(1，1)且斜率为a的一族直线，
数形结合可知，当a≥0时，|ax－a＋1|≥1在[1，＋∞)上恒成立．
所以，所求a的取值范围为[0，＋∞)．
解法二 当x≥1时，不等式f(x)≥x＋2，即|ax－a＋1|≥1.
所以ax－a＋1≤－1或ax－a＋1≥1，
即a(x－1)≤－2或a(x－1)≥0.
当x≥1时，
∀
a∈R，不等式a(x－1)≤－2不恒成立，
当x≥1时，为使不等式a(x－1)≥0恒成立，则a≥0.
所以，所求a的取值范围为[0，＋∞)．
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