2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.5指数函数学案理新人教版

优选 - 1 - / 15 第五节 指数函数 1．根式 (1)根式的概念： ①若 xn＝a，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n＞1 且 n∈N*.式子 n a叫做根式，这里 n 叫 做根指数，a 叫做被开方数． ②a 的 n 次方根的表示： xn＝a⇒x＝ n a（当 n 为奇数且 n∈N*时）， ± n a（当 n 为偶数且 n∈N*时）. (2)根式的性质： ①( n a)n＝a(n∈N*). ② n an＝ a，n 为奇数， |a|＝ a，a≥0， －a，a＜0， n 为偶数． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：a m n ＝ n am(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)； ②负分数指数幂：a－ m n ＝ 1 a m n ＝ 1 n am (a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)； ③0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质： 优选 - 2 - / 15 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q). 3．指数函数的图象及性质 函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1) 图象 0＜a＜1 a＞1 图象特征 在 x 轴上方，过定点(0，1) 当 x 逐渐增大时，图 象逐渐下降 当 x 逐渐增大时，图象逐 渐上升 性 质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 单调性 减 增 函数值 变化规 律 当 x＝0 时，y＝1 当 x＜0 时，y＞1； 当 x＞0 时，0＜y＜1 当 x＜0 时，0＜y＜1； 当 x＞0 时，y＞1 1．一个关注点 n a开方化简，要看 n 的奇偶性． 2．指数函数图象和性质的注意点 (1)指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1) 的图象和性质与 a 的取值有关，应分 a＞1 与 0＜a＜ 1 来研究． 优选 - 3 - / 15 (2)画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， －1， 1 a . 3．指数函数的图象与底数大小的比较 下图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c＞d＞1＞a＞b. 规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 4．指数函数图象的对称规律 函数 y＝ax 的图象与 y＝a－x 的图象关于 y 轴对称，y＝ax 的图象与 y＝－ax 的图象关于 x 轴对称，y＝ax 的图象与 y＝－a－x 的图象关于坐标原点对称． 1．(基本能力：有理数指数幂运算)化简[(－2)6] 1 2－(－1)0 的结果为( ) A．－9 B．7 C．－10 D．9 答案：B 2．(基本方法：作指数函数图象)函数 f(x)＝1－ex 的图象大致是( ) 答案：A 3．(基本能力：研究函数性质)函数 y＝(ax＋1)ex 过定点________． 答案：(0，1) 优选 - 4 - / 15 4．(基本应用：比较大小)设 a＝2 4 3，b＝4 2 5，c＝8 1 3，则 a，b，c 的大小关系为________． 答案：A＞c＞b 5．(基本应用：求值域)函数 f(x)＝ 2x＋1的值域为________． 答案：(1，＋∞) 题型一 指数幂的化简与求值 1．化简 4 16x8y4(x＜0，y＜0)的结果为( ) A．2x2yB．2xy C．4x2yD．－2x2y 解析： 4 16x8y4＝(16x8y4) 1 4＝[24(－x)8·(－y)4] 1 4＝24· 1 4 ·(－x)8· 1 4 ·(－y)4· 1 4 ＝2(－x)2(－y)＝－ 2x2y. 答案：D 2．若 x＋ 1 x ＝3，则 x2＋x－2＝________． 解析：x 1 2＋x－ 1 2 ＝3，∴(x 1 2＋x－ 1 2 )2＝9， ∴x＋x－1＝7，∴(x＋x－1)2＝49， ∴x2＋x－2＝47. 答案：47 3. 2 3 5 0 ＋2－2· 2 1 4 － 1 2－(0.01)0.5＝________． 解析：原式＝1＋ 1 4 × 4 9 1 2－ 1 100 1 2＝1＋ 1 4 × 2 3 － 1 10 ＝1＋ 1 6 － 1 10 ＝ 16 15 . 答案： 16 15 优选 - 5 - / 15 方法总结 1．这种循环根式型的化简，一般由里向外，将根式化为分数指数幂进行运算． 2．指数幂运算的一般原则： (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分 数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式来表示，运用指数幂的运算性质来 解答． 题型二 指数函数的图象及应用 [典例剖析] [典例] (1)(2021·某某武邑中学调研)函数 y＝e－|x－1|的大致图象是( ) 解析：当 x＝1 时，y＝1，排除选项 CD. 当 x＞1 时，y＝e－(x－1)为减函数，排除选项 A. 答案：B (2)函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A．a＞1，b1，b>0 C．0