第三章函数专练 14—函数与方程
一．单选题
1．函数 ( ) 2 3xf x lnx 的零点所在的区间为 ( )
A． 1(0, )2 B． 1( ,1)2 C． 3(1, )2 D． 3( ,2)2
2．已知函数 2 1( ) ( 2 )f x a x x x
有且仅有两个零点，则实数 (a )
A． 32
27 B． 32
27
C． 27
32 D． 27
32
3．已知函数 ( ) x lnx x kf x e x
只有一个零点，则实数 (k )
A． 1e B．1 C．0 D． e
4．已知函数 | | , 0( )
, 0x
lnx xf x
e x
，则 2 ( ) ( ) 2f x f x 实数根的个数为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知函数
2
1 , 0( )
2 , 0
xxe xf x e
x x x
，若函数 ( ( ) )y f f x a 有四个零点，则实数 a 的取值范
围为 ( )
A． 1(0, )e B． 1(1,1 )e
C． (2, )e D． ( 1, )e
6．已知函数 2( ) | 3 1|f x x x ．若关于 x 的方程 ( ) | | 0f x a x 恰有两个不同的实根，则 a
的取值范围是 ( )
A． (1,5) B．[1， 5] C． (1,5) {0} D．[1， 5] {0}
7．已知函数 ( ) | | xf x x e ，若函数 2( ) ( ) ( 3) ( ) 3g x f x m f x m 恰有四个不同的零点，则 m
的取值范
围为 ( )
A． (2, ) B． 1(e
， ) C． 1(e
，1) D． 1(0, )e
8．已知函数
21 3 1, 0( ) 3
2 , 0
ax x xf x x
lnx x x
，若关于 x 的方程 ( ) ( ) 0f x f x 有 4 个不同的
实数根，则实数 a 的取值范围为 ( )
A． ( 1,0) B． 2( 3
， 0) C． 1(0, )2 D． 2(0, )3
二．多选题
9．设函数 ( ) | | 1||f x ln x ，则 ( )
A． ( )f x 的图象关于直线 1x 对称
B． ( )f x 在 (0,1) 上单调递减
C．若 1a b 且 f （a） f （b）时， 1 1 1a b
D．关于 x 的方程 ( ) ( 0)f x t t
恒有 4 个不同的实根
10．定义域和值域均为 [ a ， ]a 的函数 ( )y f x 和 ( )y g x 的图象如图所示，其中
0a c b ，下列四个结论中正确有 ( )
A．方程 [ ( )] 0f g x 有且仅有三个解
B．方程 [ ( )] 0g f x 有且仅有三个解
C．方程 [ ( )] 0f f x 有且仅有八个解
D．方程 [ ( )] 0g g x 有且仅有一个解
11．函数 ( )f x 满足以下条件：① ( )f x 的定义域是 R ，且其图象是一条连续不断的曲线；②
( )f x 是偶函数；③ ( )f x 在 (0, ) 上不是单调函数；④ ( )f x 恰有 2 个零点．则函数 ( )f x 的
解析式可以是 ( )
A． 2( ) 2| |f x x x B． ( ) | | 1f x ln x C． 2( ) | | 1f x x x D． | |( ) | 2|xf x e
12．若函数 ( ) | 1| | 1| 2cosf x x x x ， ( ) ( )g x f x a ，则 ( )
A．当 5a 时， ( )g x 有两个零点 B．当 4a 时， ( )g x 有三个零点
C．当 2a 时， ( )g x 有一个零点 D．当 3a 时， ( )g x 有四个零点
三．填空题
13．函数 ( ) 2 6f x lnx x 零点的一个近似值为 ．（误差不大于 0.25)
备注：自然对数的底数 2.72e ．
14．已知函数 2| log |,0 2( ) 3, 2
x xf x x x
，若存在三个互不相同的实数 a ，b ，c ，满足 f （a）
f （b） f （c），则 abc 的取值范围是 ．
15．已知函数 2 2( ) 2 ( 1)x xf x axe a e x ， ( 1,1)x ，若 ( )f x 有两个不同的零点，则实数
a 的取值范围是 ．
16．已知定义在 R 上的奇函数，满足 (2 ) ( ) 0f x f x ，当 (0x ，1]时， 2( ) logf x x ，
若函数 ( ) ( ) sinF x f x x ，在区间[ 2 ， ]m 上有 2021 个零点，则 m 的取值范围是 ．
四．解答题
17．已知函数 ( ) xf x e ax ， f （1） 1 2e
e
，其中 e 为自然对数的底数．
（1）求 a 的值；
（2）若 ( ) ( )F x f x lnx 的零点为 0x ，求 0 0x lnx 的值．
18．已知函数 2
( 1) , 0,
( ) 1 , 02
xa x e x
f r
x ax x
（1）若 2a ，求 ( )f x 的最小值；
（2）若 ( )f x 恰好有三个零点，求实数 a 的取值范围．
19．设 0a 且 1a ， t R ，已知函数 ( ) log ( 1)af x x ， ( ) 2log (2 )ag x x t ．
（1）当 1t 时，求不等式 ( ) ( )f x g x 的解；
（2）若函数 ( ) 2( ) 2 1f xF x a tx t 在区间 ( 1 ， 2]上有零点，求 t 的取值范围．
20．已知函数 ( ) 2 2 sin( )cos 14f x x x ．
（1）当 [ , ]8 8x 时，求 ( )f x 的值域；
（2）是否同时存在实数 a 和正整数 n ，使得函数 ( ) ( )g x f x a 在 [0x ， ]n 上恰有 2021
个零点？若存在，请求出所有符合条件的 a 和 n 的值；若不存在，请说明理由．
第三章函数专练 14—函数与方程答案
1．解：函数 ( ) 2 3xf x lnx 在其定义域上单调递增，
3
23 3( ) 2 3 02 2f ln ， f （1） 2 3 1 0 ，
3( )2f f （1） 0 ．
根据函数零点的判定定理可得函数 ( )f x 的零点所在的区间是 (1,2) ，
故选： C ．
2．解：当 0a 时， 1( )f x x
无零点，不合题意， 0a ，
令 ( ) 0f x ，则 2 1( 2 ) 0a x x x
， 3 2 12x x a
，
即 3 22y x x 的图象与直线 1y a
有两个不同的交点，
23 4 (3 4)y x x x x ，
当 0x 或 4
3x 时， 0y ，函数单调递增，
当 40 3x 时， 0y ，函数单调递减，
当 0x 时，函数有极大值为 0y ，
当 4
3x 时，函数有极小值为 64 32 32
27 9 27y ，
则函数 3 22y x x 的图象大致如下，
3 22y x x 的图象与直线 1y a
有两个不同的交点，
1 32
27a
或 1 0a
（舍去）， 27
32a ．
故选： C ．
3．解：由题意可知 0x ，函数 ( )f x 只有一个零点，等价于 xk xe lnx x 只有一个根，
令 ( ) xg x xe lnx x ，
1( ) ( 1)( )xg x x e x
，
令 1( ) xh x e x
，则 ( )h x 在 (0, ) 上单调递增，
又因 1( ) 2 02h e ， h （1） 1 0e ，
故存在 0
1(2x ，1) 使得 0( ) 0h x ，即 0
0
1xe x
，
即 0(0, )x x 时， ( ) 0g x ，
0(x x ， ) 时， ( ) 0g x ，
( )g x 在 0(0, )x 上单调递减，在 0(x ， ) 上单调递增，
且当 x 趋近于 0 时，函数值趋近正无穷大，当 x 趋近正无穷大时，函数值也趋向正无穷大．
故 0 0
0 0 0 0 0 0
0
1( ) ( ) 1x x
ming x g x x e lnx x x lne xx
，
故选： B ．
4．解：解 2 ( ) ( ) 2f x f x 得 ( ) 1f x 或 ( ) 2f x ，
而 ( ) 1f x 的解为 0x 或 x e 或 1x e
三个解， ( ) 2f x 无解，
故 2 ( ) ( ) 2f x f x 共有 3 个实数根．
故选： B ．
5．解：函数
2
1 , 0( )
2 , 0
xxe xf x e
x x x
，函数性质分段讨论如下：
①当 0x 时， 2 2( ) 2 ( 1) 1f x x x x ，最小值为 1 ，
②当 0x 时，令 ( ) ( 1) 0xf x x e ，解得 1x ，
所以， ( , 1)x 函数递减， ( 1,0) 函数递增，
且 1(0)f e
， x 时， 1( )f x e
，
综合以上分析，作出函数图象，如右图．
由图可知，函数 ( )y f x 有两个零点， 1x 和 2x ， (*)
再考察函数 [ ( ) ]y f f x a 的零点，
由 (*) 可知， ( ) 1f x a 或 ( ) 2f x a ，
即 ( ) 1f x a 或 ( ) 2f x a ，根据题意，这两个方程共有四个根，
结合函数图象， 11 (0, )a e
，
解得， 1(1,1 )a e
，
故选： B ．
6．解：当 0x 时， (0) 1 0f ，故 0x 不是方程 ( ) | | 0f x a x 的根，
当 0x 时，由 ( ) | | 0f x a x 得， 1| 3|a x x
，
方程 ( ) | | 0f x a x 恰有两个不同的实根等价于直线 y a 与函数 1| 3|y x x
的图象有两
个不同的交点，
作出函数 ( )y f x 的大致图象如图所示，由图可知， 0a 或1 5a ．
故选： C ．
7．解：函数 , 0( ) | |
, 0
x
x
x
x e xf x x e
x e x
，
0x
， ( ) xf x xe ， ( ) ( 1) 0xf x x e ，因此 0x
时，函数 ( )f x 单调递增．
0x ， ( ) xf x xe ， ( ) ( 1) xf x x e ，可得函数 ( )f x 在 ( , 1) 单调递增；可得函数 ( )f x
在 ( 1,0) 单调递减．
可得： ( )f x 在 1x 时，函数 ( )f x 取得极大值， 1( 1)f e
．
画出图象：可知： ( ) 0f x
．
函数 2( ) ( ) ( 3) ( ) 3g x f x m f x m 恰有四个不同的零点，
( ) 3f x 和 ( )f x m 共有四个根，
因为 ( ) 3f x 有 1 个根，故 ( )f x m 有 3 个根，
由图可得： 10 m e
，
故选： D ．
8．解：设 ( ) ( ) ( )g x f x f x ，则 ( )g x 的定义域为{ | 0}x x ，且 ( ) ( )g x g x ，即 ( )g x 是
偶函数，
故关于 x 的方程 ( ) 0g x 有 4 个不同的实数根等价于 ( )g x 在 (0, ) 上有 2 个零点，
当 0x 时， 21( ) 2 2 13
ag x lnx x x x
，则 ( ) 0g x 等价于 3 212 23a xlnx x x x ，
令 3 21( ) 2 23h x xlnx x x x ，则 2( ) 2 4 3h x lnx x x ，令 2( ) 2 4 3m x lnx x x ，则
2( ) 4 2 2 4 4 0m x xx
，
( )m x 在区间 (0, ) 上单调递增，又 m （1） 0 ，
( )h x 在区间 (0,1) 上单调递减，在区间 (1, ) 上单调递增，
即 ( )h x 在 1x 处取得极小值 h（1） 2
3
，当 0x 时， ( ) 0h x ，当 x 时， ( )h x ，
( )h x 的大致图象如下，
当 2 03 a 时，关于 x 的方程 ( )h x a 在区间 (0, ) 上有两个不同的实数根，
即关于 x 的方程 ( ) ( ) 0f x f x 有 4 个不同的实数根．
故选： B ．
9．解：作出函数 ( )f x 的大致图象如下，
由图象观察可知， ( )f x 的图象关于直线 1x 对称，在 (0,1) 上单调递增，当 0t 时， ( )f x t
有两个不同的实根，
选项 A 正确，选项 BD 错误；
若 1a b 且 f （a） f （b），则 | | 1|| | | 1||ln a ln b ，即 | 1| | 1|ln a ln b ，亦即
1( 1) 1ln a ln b
，
11 1a b
，即 ab a b ，亦即 1 1 1a b
，
选项 C 正确，．
故选： AC ．
10．解：根据题意，依次分析选项：
对于 A ，设 ( )t g x ，则由 [ ( )] 0f g x ，即 ( ) 0f t ，当 0t 时，则 ( )t g x 有三个不同值，
由于 ( )y g x 是减函数，所有三个解， A 正确；
对于 B ，设 ( )t f x ，若 [ ( )] 0g f x ，即 ( ) 0g t ，则 t b ，所以 ( )f x b ，因为 0c b ，
所以对应 ( )f x b 的解有 3 个， B 正确；
对于 C ，设 ( )t f x ，若 [ ( )] 0f f x ，即 ( ) 0f t ，t b 或 0t 或 t b ，则 ( )f x b ，或
( ) 0f x ，或 ( )f x b ，
因为 0a c b ，所以每个方程对应着三个解，所以共 9 个解， C 错误；
对于 D ，设 ( )t g x ，若 [ ( )] 0g g x ，即 ( ) 0g t ，所以 t b ，则 ( )g x b ，因为 ( )y g x 是
减函数，所以方程 ( )g x b 只有 1 解， D 正确；
故选： ABD ．
11．解：显然四个函数均为偶函数，但 ( ) | | 1f x ln x 的定义域为：{ | 0}x x ，故 B 错误，
2( ) 2| | 0 0f x x x x ，2， 2 ，即 3 个零点，即 A 错误，
2( ) | | 1f x x x 定义域为 R ，当 (0, )x 时， 2( ) 1f x x x 的对称轴为 1
2x ，开口
向下，故 ( )f x 在 1( , )2
， 1(0, )2
上单调递增，在 1( 2
，0) ， 1(2
， ) 单调递减，故 ( )f x
恰有 2 个零点， C 正确，
| |( ) | 2|xf x e 定义域为 R ， ( )f x 在 ( , 2)ln ，(0, 2)ln 上单调递减，在 ( 2,0)ln ，( 2, )ln
单调递增，且 ( 2) ( 2) 0f ln f ln ，故 ( )f x 恰有 2 个零点， D 正确，
故选： CD ．
12．解：
2 2cos , 1
( ) | 1| | 1| 2cos 2 2cos , 1 1
2 2cos , 1
x x x
f x x x x x x
x x x
，
当 1x 时， ( ) 2 2sin 0f x x 恒成立， ( )f x 在 ( , 1) 上单调递减，
( ) ( 1) 2 2cos( 1) 2 2cos1 (3f x f ， 4) ，
当 1 1x 时， ( ) 2 2cosf x x 为偶函数，在[ 1 ， 0) 上单调递增，在 (0 ，1]上单调，
( ) [f x f （1）， (0)]f ，即 ( ) [2 2cos1f x ， 4] (3 ， 4]，
当 1x 时， ( ) 2 2sin 0f x x
恒成立， ( )f x 在 (1, ) 上单调递增，
( )f x f （1） 2 2cos1 (3,4) ，
由此作出函数 ( )f x 的草图如下所示，
由图可知，当 5a 时，函数 ( )y f x 与 y a 有两个交点，即 ( )g x 有两个零点，即选项 A 正
确；
当 4a 时，函数 ( )y f x 与 y a 有三个交点，即 ( )g x 有三个零点，即选项 B 正确；
当 2a 或 3a 时，函数 ( )y f x 与 y a 没有交点，即 ( )g x 没有零点，即选项 C 和 D 均错
误，
故选： AB ．
13．解：根据题意，函数 ( ) 2 6f x lnx x ，其定义域为 (0, ) ，
有 f （2） 2 2 0ln ， f （3） 3 0ln ，则 ( )f x 的零点在 (2,3) 上，
5(2.5) 1 02f ln ，则函数的零点在 (2.5,3) 上，
(2.75) 5.5 0.5 0f ln ，则函数的零点在 (2.5,2.75) 上，
此时 2.75 2.5 0.25 ．满足误差不大于 0.25 的要求，
则函数零点的近似值为 2.5，
故答案为：2.5．
14．解：作出函数 ( )f x 的图象如图，不妨设 a b c ，则 2 2log log 3 (0,1)a b c ，
1ab ， 0 3 1c ，
(2,3)abc c ．
故答案为： (2,3) ．
15．解： ( )f x 定义域为 R ，令 ( ) 0f x ，两边同除以 2xe 可得 22 ( 1) ( ) 0x x
x xa ae e
，
令 x
xt e
，则 2 2 ( 1) 0t at a ，设 2( ) 2 ( 1)h t t at a ，
构造函数 1( ) , ( )x x
x xg x g xe e
，易知当 ( 1,1)x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 单调递增，则
1( 1) ( ) (1)e g g x g e
，
由于函数 ( )y f x 有两个不同的零点，则关于 t 的二次方程 2 2 ( 1) 0t at a 两根 1t ， 2t 均
满足 1 2
1 1,e t e te e
，
则有
2
2
2
1
4 4( 1) 0
( ) 2 ( 1) 0
1 1 1( ) 2 ( 1) 0
e a e
a a
h e e ae a
h a ae e e
，解得
25 1 1
2 2 1
ea e
．
故答案为：
25 1 1( , )2 2 1
e
e
．
16．解：由题意，函数 ( )f x 为 R 上奇函数，所以 (0) 0f ，且 ( ) ( )f x f x ，
又 (2 ) ( ) 0f x f x ，可得 (2 ) ( )f x f x ，可得函数 ( )f x 的图像关于点 (1,0) 对称，
联立可得 (2 ) ( )f x f x ，所以 ( )f x 是以 2 为周期的周期函数，
又由函数 siny x 的周期为 2，且关于点 (k ， 0)( )k Z 对称，
因为当 (0x ，1]时， 2( ) logf x x ，由图像可知，
函数 2( ) logf x x 和 siny x 的图像在[ 1 ，1) 上存在 1 2 3 4
1 11, , 0,2 2x x x x 四个零
点，即一个周期内有 4 个零点，
要使得函数 ( ) ( ) sinF x f x x ，在区间[ 2 ， ]m 上有 2021 个零点，
其中 1 2 3 4
3 12, , 1,2 2x x x x 都是函数的零点，
即函数 ( ) ( ) sinF x f x x 在[0 ， ]m 上有 2017 个零点，
如果 m 是第 2017 个零点，则 2017 1 2 10084m ，
如果 m 是第 2018 个零点，则 1 20171008 2 2m ，
即 [1008m ， 2017)2
．
故答案为：[1008， 2017)2
．
17．解：（1）根据题意， ( ) xf x e ax ，则 ( ) xf x e a ，
若 f （1） 1 2e
e
，即 1 1 2ee a e
，
解可得： 2a ；
（2）根据题意，由（1）的结论， 2a ，则 ( ) 2xf x e x ，
则 ( ) 2xF x e x lnx ，
若 ( ) ( )F x f x lnx 的零点为 0x ，则 0
0 02 0xe x lnx ，
变形可得： 0
0 0 0
xe x lnx x ，
设 0xt e ，则 0x lnt ，
则有 0 0t lnt lnx x ，
而函数 y lnx x 是 (0, ) 上的增函数，必有 0t x ，即 0
0
xe x ，
则有 0
0 0 0 0 0 0xx lnx x lne x x ．
18．解：（1） 2a 时， 2
2( 1) , 0
( ) 12 , 02
xx e x
f x
x x x
，
当 0x 时， 2 1( ) ( 1) 2f x x ，则 ( )minf x f （1） 1
2
，
当 0x 时， ( ) 2( )x xf x xe e ，则 ( ) 2( 2) xf x x e ，
令 ( ) 0f x ，解得： 2x ，
当 2x 时， ( ) 0f x ， ( )f x 递减，当 2 0x 时， ( ) 0f x ， ( )f x 递增，
此时 2 1( ) ( 2) 2 2minf x f e ，
故 ( )f x 的最小值是 1
2
；
（2） 0x 时， ( ) ( 1) xf x a x e ， ( ) ( 2) xf x a x e ，
① 0a 时， ( )f x 在 2x 时取最大值， ( 2) 0xf ae 且 (0) 0f ，
[ 2x ， 0]时，函数有唯一零点， 2x 时， ( ) 0f x 且不断趋近于 0，无零点，
0x 时， 2 1( ) 2f x x ax ，对称轴是 02
ax ，
0x 时至多 1 个零点，不合题意，
0a 不合题意，舍；
② 0a 时，同① ( )f x 在 ( ， 0] 上有 1 个零点，
只需 ( )f x 在 (0, ) 上有 2 个零点，
0x 时， 2 1( ) 2f x x ax ，△ 2 2 0a ，
解得： 2a 或 2a （舍 ) ，
综上： a 的取值范围是 ( 2 ， ) ．
19．解：（1）当 1t 时，不等式 ( ) ( )f x g x 可化为 log ( 1) 2log (2 1)a ax x ，
当 0 1a 时，则有
21 (2 1)
2 1 0
x x
x
，解得 1 5
2 4x ，
所以不等式 ( ) ( )f x g x 的解集为 1 5( , ]2 4
；
当 1a 时，则有
20 1 (2 1)
2 1 0
x x
x
，解得 5
4x
，
所以所以不等式 ( ) ( )f x g x 的解集为 5[ , )4
．
综上所述，当 0 1a 时，不等式 ( ) ( )f x g x 的解集为 1 5( , ]2 4
；
当 1a 时，所以不等式 ( ) ( )f x g x 的解集为 5[ , )4
．
（2）函数 ( ) 2 2 2( ) 2 1 1 2 1 2 2f xF x a tx t x tx t tx x t ，
令 2 2 2 0tx x t ，即 2( 2) ( 2)t x x ，
因为 ( 1x ， 2]，所以 2 (1x ， 4]，
所以 0t ， 2 2 0x ，
故
21 2 2[( 2) ] 42 2
x xt x x
，
设 2 (1m x ， 4]，则有 1 2( ) 4mt m
，
故 1 1 02 t
或 10 4 2 2t
，
解得 2t 或 2 2
4t
，
故t 的取值范围为 2t 或 2 2
4t
．
20．解：（1） ( ) 2 2 sin( )cos 1 2(sin cos ) cos 14f x x x x x x
22sin cos 2cos 1 sin 2 cos2 2 sin(2 )4x x x x x x ，
当 [ , ]8 8x 时， 2 [0, ]4 2x ，
sin(2 ) [0,1]4x ，则 ( ) [0, 2]f x ．
（2）假设同时存在实数 a 和正整数 n 满足条件，
函数 ( ) ( )g x f x a 在 [0x ， ]n 上恰有 2021 个零点，
即函数 ( )y f x 与直线 y a 在[0 ， ]n 上恰有 2021 个交点．
当 [0x ， ] 时， 92 [ , ]4 4 4x ，作出函数 ( )f x 在区间[0 ， ] 上的图象如下图所示：
①当 2a 或 2a 时，函数 ( )y f x 与直线 y a 在[0 ， ]n 上无交点，
②当 2a 或 2a 时，函数 ( )y f x 与直线 y a 在[0 ， ] 上有一个交点，
此时要使函数 ( )y f x 与直线 y a 在[0 ， ]n 上恰有 2021 个交点，则 2021n ；
③当 2 1a 或1 2a 时，函数 ( )y f x 与直线 y a 在[0 ， ] 上有两个交点，
此时函数 ( )y f x 与直线 y a 在[0 ， ]n 上有偶数个交点，不符合题意；
④当 1a 时，函数 ( )y f x 与直线 y a 在[0 ， ] 上有三个交点，
此时要使函数 ( )y f x 与直线 y a 在[0 ， ]n 上恰有 2021 个交点，则 1010n ；
综上所述，存在实数 a 和 n 满足题设条件： 2a 时， 2021n ； 2a 时， 2021n ； 1a
时， 1010n ．
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