第三章 函数专练 16—章节综合练习（2）
一．单选题
1．函数 1( ) (2 1)f x lg x
的定义域为 ( )
A． 1| 2x x B． 1{ | 2x x
且 1}x C． 1{ | 2x x 且 1}x D． 1| 2x x
2．下列各组函数中，表示同一函数的是 ( )
A． ( ) lnxf x e ， ( )g x x
B．
2 4( ) , ( ) 22
xf x g x xx
C． 0( )f x x ， ( ) 1g x
D． ( ) | |f x x ， { 1x ，0，1} ， 2( )g x x ， { 1x ，0，1}
3．用二分法求方程 2log 2x x 的近似解时，可以取的一个区间是 ( )
A． (0,1) B． (1,2) C． (2,3) D． (3,4)
4．已知函数 2
2( ) log ( )f x x x ，则 2( )f x 的定义域为 ( )
A． ( ， 1) (1 ， ) B． ( ， 0) (1 ， )
C． ( 1,1) D． (0,1)
5．已知函数 2
3 1, 1( ) 1, 1
x xf x x x
，若 n m ，且 ( ) ( )f n f m ，设 t n m ，则 ( )
A．t 没有最小值 B．t 的最小值为 5 1
C． t 的最小值为 4
3 D． t 的最小值为 17
12
6．已知函数 ( )f x 对任意 x R ，都有 1( ) ( 2)2f x f x ，当 [0x ，2]时， 2( ) 2f x x x ，
则函数 ( )f x 在[ 2 ， 6]上的值域为 ( )
A．[0 ，1] B． 1[ 2
， 0] C．[ 2 ， 0] D．[ 2 ， 4]
7．已知函数 ( )f x 的定义域为 R ，当 [2x ，4]时，
2
2
4 ,2 3
( ) 2 ,3 4
x x x
f x x xx
， ( ) 1g x ax ，
若对 1 [2x ， 4]， 2 [ 2x ，1]，使得 2 1( ) ( )g x f x
，则正实数 a 的取值范围为 ( )
A． (0 ， 2] B． (0 ， 7]2 C．[2 ， ) D． 7[2
， )
8．已知函数 , 0( ) 2
( 1), 0
x
x
te tx xf x
e x x
， (e 为自然对数的底数），若 ( ) ( ) 0f x f x
恒成立，
则实数t 的取值范围是 ( )
A．[e ， ) B．[0 ， ) C．[0 ， ]e D．[0 ， 2 ]e
二．多选题
9．已知 e 是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是 ( )
A． 22ln e
B． 33ln e
C．ln e
D． 3 3ln
ln
10．已知函数 2( ) ( 4 5)f x lg ax x a ，若对任意的 m R ，均存在 0x 使得 0( )f x m ，则 a
的可能取值为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．4
11．已知函数 ( ) log log ( )( 0a af x x a x a ，且 1)a ，则 ( )
A． ( )f x 定义域为 (0, )a
B． ( )f x 的最大值为 2 2log 2a
C．若 ( )f x 在 (0,2) 上单调递增，则1 4a
D． ( )f x 图象关于直线
2
ax 对称
12 ． 已 知 函 数
( 1), 0
( ) (
, 02
x
x
e x x
f x eae ax x
为 自 然 对 数 的 底 数 ） ， 若 关 于 x 的 方 程
( ) ( ) 0f x f x 有且仅有四个不同的解，则实数 a 的值可能为 ( )
A． e B． 2e C．3e D． 4e
三．填空题
13．函数 2( ) 2 6 10f x x x x 的值域为 ．
14．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级 ( )M
是用据震中 100 千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级
的计算公式为 0M lgA lgA ，其中 A 是被测地震的最大振幅， 0A 是“标准地震”的振幅（使
用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5
级地震的最大振幅是 6 级地震的最大振幅的 倍（精确到1) ．
15．已知函数 2( ) 2cos ( ) 12 4f x x ， 3( )g x x ，设函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x ，则 ( )F x 所
有的零点之和为 ．
16．记函数 ( ) [ ]f x x x ，其中[ ]x 表示不大于 x 的最大整数，
, 0
( ) 2 , 0
kx x
g x
xx
，若方程
( ) ( )f x g x 在区间[ 5 ， 6] 上有 7 个不同的实数根，则实数 k 的取值范围为 ．
四．解答题
17．已知幂函数 2 1( ) ( 4 4) mf x m m x 在区间 (0, ) 上单调递增．
（1）求 ( )f x 的解析式；
（2）用定义法证明函数 4( 3)( ) ( ) mg x f x x
在区间 (0,2) 上单调递减．
18．已知函数 4( ) 1 ( 0, 1)2 xf x a aa a
且 (0) 0f ．
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）若函数 ( ) (2 1) ( )xg x f x k 有零点，求实数 k 的取值范围．
（Ⅲ）当 (0,1)x 时， ( ) 2 2xf x m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
19．已知函数 ( )y g x 与 ( ) 3xf x 的图象关于 y x 对称．
（1）若函数 2( 2 1)g kx x 的值域为 R ，求实数 k 的取值范围；
（2）若 1 20 x x 且 1 2| ( ) | | ( ) |g x g x ，求 1 24x x 的最小值．
20．已知函数 2
( 1) , 0,
( ) 1 , 02
xa x e x
f r
x ax x
（1）若 2a ，求 ( )f x 的最小值；
（2）若 ( )f x 恰好有三个零点，求实数 a 的取值范围．
第三章 函数专练 16—章节综合练习（2）答案
1．解：要使函数有意义，则 2 1 0
(2 1) 0
x
lg x
，
得
1
2
1
x
x
，
得 1
2x 且 1x ，
即函数的定义域为 1{ | 2x x 且 1}x ，
故选： C ．
2．解： A ． ( )f x 的定义域是 (0, ) ， ( )g x 的定义域是 R ，两个函数的定义域不相同，不
是同一函数，
B ． ( ) 2f x x ， ( 2)x ， ( )g x 的定义域是 R ，两个函数的定义域不相同，不是同一函
数，
C ． ( )f x 的定义域为{ | 0}x x ， ( )g x 的定义域是 R ，两个函数的定义域不相同，不是同一
函数，
D ． ( )f x 对应点的坐标为{( 1,1) ，(0,0) ，(1,1)} ， ( )g x 对应点的坐标为{( 1,1) ，(0,0) ，(1,1)} ，
两个函数对应坐标相同，是同一函数，
故选： D ．
3．解：令 2( ) log 2f x x x ，
则 f （1） 2log 1 1 2 1 0 ， f （2） 2log 2 2 2 1 0 ，
故 f （1） f （2） 0 ，
由零点的存在性定理可得，函数的零点在区间 (1,2) 内，
故方程 2log 2x x 的近似解可以取的一个区间是 (1,2) ．
故选： B ．
4．解：由 2 0x x ，得 1x 或 0x ，即 ( )f x 的定义域为 ( ， 0) (1 ， ) ，
由 2 1x 或 2 0x ，得 1x 或 1x ，则 2( )f x 的定义域为 ( ， 1) (1 ， ) ，
故选： A ．
5．解：函数 2
3 1, 1( ) 1, 1
x xf x x x
，若 n m ，且 ( ) ( )f n f m ，
即有 1m ， 5 1n
，
可得 23 1 1m n ，可得 21 ( 2)3m n ，
则 2 21 1 2( 2)3 3 3t n m n n n n ，1 5n ，
对称轴为 3
2n ，
当 5n 时， t 取最小值 5 1 ， 3
2t 时， t 取最大值 17
12
．
故选： B ．
6．解：当 [0x ， 2]时， 2( ) (2 ) 1 ( 1) [0f x x x x ，1]，
则当 [ 2x ， 0]时，即 2 [0x ， 2]，所以 1 1( ) ( 2) [ ,0]2 2f x f x ；
当 [2x ， 4]时，即 2 [0x ， 2]，
由 1( ) ( 2)2f x f x ，得 ( 2) 2 ( )f x f x ，从而 ( ) 2 ( 2) [ 2f x f x ， 0] ；
当 [4x ， 6] 时，即 2 [2x ， 4]，则 ( ) 2 ( 2) [0f x f x ， 4]．
综上得函数 ( )f x 在[ 2 ， 6]上的值域为[ 2 ， 4]．
故选： D ．
7．解：对 1 [2x ， 4]， 2 [ 2x ，1]，使得 2 1( ) ( )g x f x
， 2 1( ) ( )max maxg x f x
，
①当 [2x ， 3] 时， 2 2( ) 4 (( 2) 4f x x x x ， ( ) 4maxf x ，
②当 (3x ， 4] 时，
2 2 2( ) xf x xx x
， 2
2( ) 1 0f x x
， ( )f x 在 (3 ， 4] 上单调递
增，
( )maxf x f （4） 9
2
，由①②得 9( ) 2maxf x ，
又 0a ， ( ) 1g x ax 在 [ 2x ，1]上为增函数， ( ) 1maxg x a ， 91 2a
， 7
2a
，
a 的取值范围为 7[2
， ) ．
故选： D ．
8．解：函数 ( ) ( ) ( ) 0g x f x f x
，
由 ( ) ( )g x g x ，
可得 ( )g x 是偶函数，
当 0x
时， 1 1( ) (1 ) 02 2
x x xg x e tx t e x xe tx t
，
即 1( )2
xt x xe ①
当 1
2x 时，①式恒成立，此时 t R ．
当 10 2x 时，由①式可得 2
2 1
xxet x
，令 2( ) 2 1
xxeh x x
，
可得
2 2
2
2 2
4 2 2 2( ) (2 1) 0(2 1) (2 1)
x xx xe e eh x x xx x
，
那么 ( )h x 在 1(0, )2
单调递减， (0) 0h ，
0t
；
当 1
2x 时，由①式可得 2
2 1
xxet x ，同理解得 2
2
2( ) (2 1)(2 1)
xeh x x xx
，
令 2( ) 2 1g x x x ，
那么 ( ) 4 1g x x ，可得 ( )g x 在 1(2
， ) 单调递增．
1( ) ( ) 12g x g ．当 1x 时， g （1） 0 ，
( )h x 在 1(2
，1) 单调递减．在 (1, ) 单调递增；
t h （1） 2e ．
综合可得实数 t 的取值范围为[0 ， 2 ]e ．
故选： D ．
9．解：令 ( ) ( 0)xf x Inx xe
，则 1 1( ) e xf x x e xe
．
当 ( , )x e 时， 0e x ， ( ) 0f x ， ( )f x 单调递减；
当 (0, )x e 时， 0e x ， ( ) 0f x ， ( )f x 单调递增；
当 x e 时， ( )f x 取最大值， ( )maxf x f （e） 1 1 0eIne e
．
( )f x 的值域为 ( ， 0] ，
( ) 0 0x xf x Inx Inxe e
，当且仅当 x e 时，等号成立．
2 2: 2 0 2A In Ine e
，故 A 错；
3 3: 3 0 3B In Ine e
，故 B 对；
: 0C In Ine e
，故 C 错；
D ：令 ( ) ( 0)Inxg x xx
， 2
1( ) Inxg x x
，
当 ( , )x e 时， ( ) 0g x ， ( )g x 单调递减；
当 (0, )x e 时， ( ) 0g x ， ( )g x 单调递增．
3e ，
g （3） ( )g ，即 3
3
In In
，
0In ，3 0 ，
3 3In
In ，故 D 错．
故选： ACD ．
10．解：由题意可知，函数 2( ) ( 4 5)f x lg ax x a 的值域为 R ，
当 0a 时显然成立；
当 0a 时，要满足题意，只需 0
16 4 ( 5) 0
a
a a
，解得 4a
或 0 1a ，
综上，满足题意的实数 a 的取值范围为[0 ，1] [4 ， ) ．
故选： ABD ．
11．解：函数 ( ) log log ( )( 0a af x x a x a ，且 1)a ，
对于选项 A ，令 0x 且 0a x ，解得 0 x a ，
故函数 ( )f x 的定义域为 (0, )a ，
故选项 A 正确；
对于选项 B ， 2( ) log log ( ) log [( ) ] log ( )a a a af x x a x a x x x ax ，
因为 2y x ax 图象开口向下，故 y 有最大值，
但若 0 1a 时，函数 logay x 单调递减，此时 ( )f x 无最大值，
故选项 B 错误；
对于选项 C ，若 ( )f x 在 (0,2) 上单调递增，
①当 0 1a 时，则 2y x ax 在 (0,2) 上单调递减，
故 02
a
，解得 0a ，
故不符合题意；
②当 1a 时，则 2y x ax 在 (0,2) 上单调递增，
故 22
a
，解得 4a
，
故选项 C 错误；
对于选项 D ， ( ) log log ( )a af x x a x ，
则 ( ) log ( ) log ( )a af a x a x x f x ，
所以 ( )f x 图象关于直线
2
ax 对称，
故选项 D 正确．
故选： AD ．
12．解：设 ( ) ( ) ( )F x f x f x ，可得 ( ) ( )F x F x ，即有 ( )F x 为偶函数，
由题意考虑 0x 时， ( )F x 有两个零点，
当 0x 时， 0x ， ( ) 2
x af x e ax ，
即有 0x 时， ( ) 2 2
x x x xa aF x xe e e ax xe ax ，
由 ( ) 0F x ，可得 02
x axe ax ，
由 xy xe ， 1( )2y a x 相切，设切点为 ( , )tt te ，
xy xe 的导数为 ( 1) xy x e ，可得切线的斜率为 ( 1) tt e ，
可得切线的方程为 ( 1) ( )t ty te t e x t ，
由切线经过点 ( 1
2
， 0) ，可得 ( 1) (t tte t e 1 )2 t ，
解得 1t 或 1
2
（舍去），
即有切线的斜率为 2e ，
由图象可得 2a e 时，直线与曲线有两个交点，
综上可得 a 的范围是 (2 , )e ．
故选： CD ．
13．解：函数 2( ) 2 6 10f x x x x ， 2
2 0
6 10 0
x
x x
，求得 2x ，故函数的定
义域为 ( ， 2]．
且 2y x 和 2 6 10y x x 在定义域内都是减函数，故 ( )f x 在其定义域内是减函数，
故当 2x 时，函数 ( )f x 取得最小值为 2 ，当 x 趋于 时，函数 ( )f x 趋于无穷大，
故 ( )f x 的值域为[ 2, ) ，
故答案为：[ 2, ) ．
14．解：由题意可得 0
0
AM lgA lgA lg A
，
即
0
10MA
A
，所以 0 10MA A ，
当 7.5M 时，地震的最大振幅为 7.5
1 0 10A A ；
当 6M 时，地震的最大振幅为 6
2 0 10A A ，
所以
37.5
7.5 6 1.5 31 2
6
2
10 10 10 10 10 3210
A
A
，
故答案为：32．
15 ． 解 ： 3 3( ) ( ) ( ) cos( ) sin2F x f x g x x x x x ， 则
3 3( ) sin( ) ( ) sin ( )F x x x x x F x ，
( )F x 为奇函数，
( )F x 所有的零点之和为 0．
故答案为：0．
16．解：在同一坐标系内作出函数 ( )f x ， ( )g x 的图象，如图所示：
则方程 ( ) ( )f x g x 在区间[ 5 ， 0) 上有 2 个实根，
所以在区间[0 ， 6] 上有 5 个不同实根．
当直线 y kx 经过点 (5,1) 时， 1
5k ，
经过点 (6,1) 时， 1
6k ．
若在区间[0 ， 6]上有 5 个根，则 k 的取值范围是 1[6
， 1)5
．
故答案为： 1[6
， 1)5
．
17．（1）解：由题可知： 2 4 4 1m m ，解得 1m 或 5m ．
若 1m ，则 2( )f x x 在区间 (0, ) 上单调递增，符合条件；
若 5m ，则 4( )f x x 在区间 (0, ) 上单调递减，不符合条件．
故 2( )f x x ．
（2）证明：由（1）可知， 2 16( )g x x x
．
任取 1x ， 2 (0,2)x ，令 1 2x x ，
则 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
16 16 16( ) ( ) ( )[( ) ]g x g x x x x x x xx x x x
．
因为 1 20 2x x ，所以 1 2 0x x ， 1 2 4x x ，
1 2
16 4x x
，
所以 1 2 1 2
1 2
16( )[( ) ] 0x x x x x x
，即 1 2( ) ( )g x g x ，故 ( )g x 在区间 (0,2) 上单调递减．
18．解：（Ⅰ）对于函数 4( ) 1 ( 0, 1)2 xf x a aa a
，由 4(0) 1 02f a
，
求得 2a ，故 4 2( ) 1 12 2 2 2 1x xf x ．
（Ⅱ）若函数 ( ) (2 1) ( ) 2 1 2 2 1x x xg x f x k k k 有零点，
则函数 2xy 的图象和直线 1y k 有交点， 1 0k ，求得 1k ．
（Ⅲ）当 (0,1)x 时， ( ) 2 2xf x m 恒成立，即 21 2 22 1
x
x m 恒成立．
令 2xt ，则 (1,2)t ，且 3 2 3 1 1 2
( 1) ( 1) 1
tm t t t t t t t
．
由于 1 2
1t t
在 (1,2) 上单调递减， 1 2 1 2 7
1 2 2 1 6t t
， 7
6m ．
19．答案：（1）由题意得 3( ) logg x x ．
因为 2 2
3( 2 1) log ( 2 1)g kx x kx x 的定义域为 R ，
所以 2 2 1 0kx x 有实数解．
当 0k 时满足条件 （2 分）
当 0k 时，欲函数 2( 2 1)g kx x 的值域为 R ，
则 0
4 4 0
k
k
，即， 0
1
k
k
所以 0 1k ，即实数 k 的取值范围为[0 ，1]． （6 分）
（2）由 1 2| ( ) | | ( ) |g x g x ，得 3 1 3 2| log | | log |x x ．
因为 1 20 x x ，所以 1 20 1x x ，
且 3 1 3 2log logx x ，所以 3 1 3 2 3 1 2log log log 0x x x x ，
所以 1 2 1x x ，所以 1 2 1 1
1
14 4 ,0 1x x x xx
．
因为函数 14y x x
在 1(0, )2
上单调递减，在 1( ,1)2
上单调递增，
所以当 1
1
2x 时， 1 24x x 取得最小值为 4． （12 分）
20．解：（1） 2a 时， 2
2( 1) , 0
( ) 12 , 02
xx e x
f x
x x x
，
当 0x 时， 2 1( ) ( 1) 2f x x ，则 ( )minf x f （1） 1
2
，
当 0x 时， ( ) 2( )x xf x xe e ，则 ( ) 2( 2) xf x x e ，
令 ( ) 0f x ，解得： 2x ，
当 2x 时， ( ) 0f x ， ( )f x 递减，当 2 0x 时， ( ) 0f x ， ( )f x 递增，
此时 2 1( ) ( 2) 2 2minf x f e ，
故 ( )f x 的最小值是 1
2
；
（2） 0x 时， ( ) ( 1) xf x a x e ， ( ) ( 2) xf x a x e ，
① 0a 时， ( )f x 在 2x 时取最大值， ( 2) 0xf ae 且 (0) 0f ，
[ 2x ， 0]时，函数有唯一零点， 2x 时， ( ) 0f x 且不断趋近于 0，无零点，
0x 时， 2 1( ) 2f x x ax ，对称轴是 02
ax ，
0x 时至多 1 个零点，不合题意，
0a 不合题意，舍；
② 0a 时，同① ( )f x 在 ( ， 0] 上有 1 个零点，
只需 ( )f x 在 (0, ) 上有 2 个零点，
0x 时， 2 1( ) 2f x x ax ，△ 2 2 0a ，
解得： 2a 或 2a （舍 ) ，
综上： a 的取值范围是 ( 2 ， ) ．
微信/支付宝扫码支付