2022届高三数学一轮复习 第三章 函数专练13—幂函数

第三章函数专练 13—幂函数 一．单选题 1．已知幂函数 ( ) af x x 满足 2 f （2） (16)f ，若 4(log 2)a f ， ( 2)b f ln ， 1 2(5 )c f   ， 则 a ， b ， c 的大小关系是 ( ) A． a c b  B． a b c  C． b a c  D． b c a  2．已知幂函数 2 2 1( ) ( 2 1) mf x m m x    在 (0, ) 上为增函数、则实数 m 的值为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．0 或 2 3．已知幂函数 22 4 2( ) ( 1) m mf x m x    在 (0, ) 上单调递增，函数 ( ) 2xg x t  ，任意 1 [1x  ， 6) 时，总存在 2 [1x  ， 6) 使得 1 2( ) ( )f x g x ，则 t 的取值范围是 ( ) A．1 28t  B．1 28t„ „ C． 28t  或 1t  D． 28t… 或 1t„ 4．已知幂函数 1 ay x ， 2 by x ， 3 cy x ， 4 dy x 在第一象限的图象如图所示，则 ( ) A． a b c d   B．b c d a   C． d b c a   D． c b d a   5．已知幂函数 22 2 3( ) ( 1) ( )a af x a a x a R     的图象在 (0, ) 上单调递减，则实数 a 的值是 ( ) A．1 B． 2 C．1 或 2 D． 5 1 2  6．幂函数 22 3 2m my x   是偶函数，在 (0, ) 上是减函数，则整数 m 的值为 ( ) A．0 B．1 C．0 或 1 D．2 7．已知幂函数 ( ) ( 1) nf x a x  的图象过点 (2,8) ，且 ( 2) (1 2 )f b f b   ，则b 的取值范围是 ( ) A． (0,1) B． (1,2) C． ( ,1) D． (1, ) 8．已知函数 22 6( ) ( 5) mf x m m x    是幂函数，对任意 1x ， 2 (0, )x   ，且 1 2x x ，满足 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x   ，若 a ， b R ，且 0a b  ，则 f （a） f （b）的值 ( ) A．恒大于 0 B．恒小于 0 C．等于 0 D．无法判断 二．多选题 9．已知幂函数 9( ) ( )5 mf x m x  ，则下列结论正确的有 ( ) A． 1( 32) 16f   B． ( )f x 的定义域是 R C． ( )f x 是偶函数 D．不等式 ( 1)f x f … （2）的解集是[ 1 ，1) (1 ， 3] 10．已知幂函数 ( )f x 图像经过点 (4,2) ，则下列命题正确的有 ( ) A．函数 ( )f x 为增函数 B．函数 ( )f x 为偶函数 C．若 9x… ，则 ( ) 3f x … D．若 2 1 0x x  ，则 1 2 1 2( ) ( ) ( )2 2 f x f x x xf  11．已知函数 22 3( ) ( 1) m mf x m m x     是幂函数，对任意 1x ， 2 (0, )x   ，且 1 2x x ，满足 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x   ．若 a ， b R ，且 f （a） f （b）的值为负值，则下列结论可能成立的 有 ( ) A． 0a b  ， 0ab  B． 0a b  ， 0ab  C． 0a b  ， 0ab  D． 0a b  ， 0ab  12．已知幂函数 *( ) ( , m nf x x m n N  ， m ， n 互质），下列关于 ( )f x 的结论正确的是 ( ) A．当 m ， n 都是奇数时，幂函数 ( )f x 是奇函数 B．当 m 是偶数， n 是奇数时，幂函数 ( )f x 是偶函数 C．当 m 是奇数， n 是偶数时，幂函数 ( )f x 是偶函数 D．当 0 1m n   时，幂函数 ( )f x 在 (0, ) 上是减函数 三．填空题 13．若函数 ( ) ( 2) af x m x  是幂函数，且其图象过点 (2,4) ，则函数 ( ) log ( )ag x x m  的单 调增区间为 ． 14．若幂函数 22 2( ) ( 1) m mf x m m x    的图象不经过原点，则实数 m 的值为 ． 15．已知幂函数 3 1 2 8 8( ) ( 2 2) m f x m m x      在区间 (0, ) 上递增，则实数 m  ． 16．已知 2 2 3 3( 1) (3 2 )a a      ，则 a 的取值范围 ． 四．解答题 17．已知幂函数 2 2 3( ) ( )m mf x x m Z   在 (0, ) 是单调减函数，且为偶函数． （1）求 ( )f x 的解析式； （2）讨论 5( ) ( ) ( 2) ( )F x af x a x f x    的奇偶性，并说明理由． 18．已知函数 2 2 2( ) ( )m mf x x m Z    为偶函数，且 f （3） f （2）． （Ⅰ）求 m 的值，并确定 ( )f x 的解析式； （Ⅱ）若 ( ) log [ ( ) 5]( 0ag x f x ax a    ，且 1)a  ，是否存在实数 a ，使得 ( )g x 在区间[1， 2]上为减函数． 19．已知幂函数 22 3( ) ( )m mf x x m Z    是奇函数，且 f （1） f （2）． （1）求 m 的值，并确定 ( )f x 的解析式； （2）求 2 2 1 2 log ( ) log [2 ( )]y f x f x  ， 1[2x ， 2]的值域． 20．已知函数 2 2( ) ( 1) af x a a x    为幂函数，且为奇函数，设函数 ( ) ( )g x f x x  ． （1）求实数 a 的值及函数 ( )g x 的零点； （2）是否存在自然数 n ，使 ( ) 900g n  ？若存在，请求出 n 的值；若不存在，请说明理由． 第三章函数专练 13—幂函数答案 1．解：幂函数 ( ) af x x 中， 2 f （2） (16)f ， 所以 2 2 16a a  ，即 1 42 2a a  ， 所以 1 4a a  ，解得 1 3a  ， 所以 1 3( )f x x ， 所以 ( )f x 是定义域为 R 上的单调增函数； 又 4(log 2)a f ， ( 2)b f ln ， 1 2(5 )c f   ， 且 4 1log 2 2  ， 12 2ln ln e  ， 1 2 1 15 25    ， 所以 1 2 45 log 2 2ln    ， 即 1 2 4(5 ) (log 2) ( 2)f f f ln    ， 所以 b a c  ． 故选： C ． 2．解：由题意得： 2 2 1 1 2 1 0 m m m        ， 解得： 2m  ， 故选： C ． 3．解：幂函数 22 4 2( ) ( 1) m mf x m x    在 (0, ) 上单调递增， 1 1m    ，且 2 4 2 0m m   ，求得 0m  ， 2( )f x x  ． 函数 ( ) 2xg x t  ，任意 1 [1x  ， 6) 时，总存在 2 [1x  ， 6) 使得 1 2( ) ( )f x g x ， ( )f x 和 ( )g x 在区间[1， 6) 上有交点． [1x ， 6) 时， ( ) [1f x  ， 36) ， ( ) [2g x t  ， 64 )t ， 则由题意可得[1， 36) [2 t  ， 64 )t ， 故 2 1 64 36 t t    „ … ，解得：1 28t„ „ ， 故选： B ． 4．解：根据幂函数 1 ay x ， 2 by x ， 3 cy x ， 4 dy x 在第一象限的图象知， 1 0b c d a     ， 即 b c d a   ． 故选： B ． 5 解：由函数 22 2 3( ) ( 1) ( )a af x a a x a R     是幂函数， 所以 2 1 1a a   ，解得 1a  或 2a   ； 当 1a  时， 4( )f x x 在 (0, ) 上单调递减，满足题意； 当 2a   时， 5( )f x x 在 (0, ) 上单调递增，不满足题意； 所以 1a  ． 故选： A ． 6．解：幂函数 22 3 2m my x   是偶函数，且在 (0, ) 上是减函数， 所以 22 3 2 0m m   ， 1 22 m   ， 所以整数 m 的值可以为 0，1； 当 0m  时， 22 3 2 2m m    ，满足题意； 当 1m  时， 22 3 2 3m m    ，不满足题意； 所以 0m  ． 故选： A ． 7．解：因为幂函数 ( ) ( 1) nf x a x  的图象过点 (2,8) ， 所以8 ( 1)2na  ，且 1 1a   ， 所以 2a  且 3n  ，所以 3( )f x x ， 所以函数 ( )f x 在 R 上为单调递增函数 故不等式 ( 2) (1 2 )f b f b   ，即为 3 3( 2) (1 2 )b b   ， 解得 2 1 2b b   ，所以 1b  ， 所以 b 的取值范围为 ( ,1) ． 故选： C ． 8．解：由题意得： 2 5 1m m   ，解得： 3m  或 2m   ， 若对任意 1x ， 2 (0, )x   ，且 1 2x x ，满足 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x   ， 则 ( )f x 在 (0, ) 单调递增， 3m  时， 3( )f x x ，符合题意， 2m   时， 2 1( )f x x  ，不合题意， 故 3( )f x x ，由于 a ， b R ，且 0a b  ， 所以 a b  ，由于函数为单调递增函数和奇函数，故 f （a） ( )f b  ， 所以 f （a） f  （b）， 所以 f （a） f （b） 0 ， 即 f （a） f （b）的值恒大于 0， 故选： A ． 9．解：幂函数 9( ) ( )5 mf x m x  ， 9 15m   ， 4 5m   ， 4 5( )f x x    ，定义域为 ( ， 0) (0 ， ) ， 故选项 B 错误， 4 5 1( 32) ( 32) 16f      ， 选项 A 正确， 4 5 5 4 1( )f x x x    ，定义域 ( ， 0) (0 ， ) 关于原点对称， 又 54 45 1 1( ) ( ) ( ) f x f x x x       ， ( )f x 是偶函数，选项 C 正确， 4 5( )f x x   ， ( )f x 在 (0, ) 上单调递减，在 ( ,0) 上单调递增， 不等式 ( 1)f x f … （2）等价于 (| 1|)f x f … （2），  1 0 | 1| 2 x x     „ 解得： 1 1x „ ，或1 3x „ ， 故选项 D 正确， 故选： ACD ． 10．解：设幂函数 ( )y f x x  ， 为实数， 其图像经过点 (4,2) ，所以 4 2  ， 解得 1 2   ， 所以 1 2( )f x x ，定义域为[0 ， ) ， ( )f x 为非奇非偶函数， B 错误； 且 1 2( )f x x 在[0 ， ) 上为增函数， A 正确； 且 9x… 时， ( )f x f… （9） 3 ，选项 C 正确； 因为函数 1 2( )f x x 是凸函数，所以对定义域内任意的 1 2x x ， 都有 1 2 1 2( ) ( ) ( )2 2 f x f x x xf  成立，选项 D 错误． 故选： AC ． 11．解：函数 22 3( ) ( 1) m mf x m m x     是幂函数， 2 1 1m m    ，求得 2m  或 1m   ． 对任意 1x ， 2 (0, )x   ，且 1 2x x ，满足 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x   ，故 ( )f x 在 (0, ) 上是增函数， 2 3 0m m    ， 2m  ， 3( )f x x ． 若 a ， b R ，且 f （a） f （b） 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b      的值为负值． 若 A 成立，则 f （a） f （b） 2 2( )( ) 0a b a ab b     ，不满足题意； 若 B 成立，则 f （a） f （b） 2 2 2 2 3( )( ) ( )[( ) ] 02 4 b ba b a ab b a b a         ，满足题意； 若 C 成立，则 f （a） f （b） 2 2( )( ) 0a b a ab b     ，满足题意； 若 D 成立，则 f （a） f （b） 2 2 2 2 3( )( ) ( )[( ) ] 02 4 b ba b a ab b a b a         ，不满足题 意， 故选： BC ． 12．解：幂函数 *( ) ( , m nf x x m n N  ， m ， n 互质）， 故 m ， n 都是奇数时，幂函数 ( )f x 是奇函数，故 A 正确； 当 m 是偶数， n 是奇数时，幂函数 ( )f x 是偶函数，故 B 正确； 当 m 是奇数， n 是偶数时，幂函数 ( )f x 不一定是偶函数， 如 1 2y x ，它的定义域为[0 ， ) ，不是偶函数，故 C 错误． 当 0 1m n   时，幂函数 ( )f x 在 (0, ) 上是增函数，故 D 错误， 故选： AB ． 13．解：函数 ( ) ( 2) af x m x  是幂函数，且其图象过点 (2,4) ， 2 1m   ，且 2 4  ，求得 1m   ， 2  ，可得 2( )f x x ， 则函数 2( ) log ( ) log ( 1)ag x x m x    的单调增区间为 (1, ) ， 故答案为： (1, ) ． 14．解：由函数 22 2( ) ( 1) m mf x m m x    是幂函数， 所以 2 1 1m m   ，解得 1m   或 2m  ； 当 1m   时， 1( )f x x ，图象不经过原点，满足题意； 当 2m  时， 8( )f x x ，图象经过原点，不满足题意； 所以 1m   ． 故答案为： 1 ． 15．解：幂函数 3 1 2 8 8( ) ( 2 2) m f x m m x      在区间 (0, ) 上递增，  2 2 2 1 3 1 08 8 m m m       ， 解得 1m   ． 故答案为： 1 ． 16．解：幂函数 ay x 当 2 3a   时为偶函数， 在 (0, ) 上是减函数，在 ( ,0) 上是增函数， 所以由 2 2 3 3( 1) (3 2 )a a      ，有 | 1| | 3 2 | | 1 0 3 2 0 a a a a          ， 解得 2 43 a  且 3 2a  ， 故答案为： 2 3 3( , ) ( ,4)3 2 2 ． 17．解：（1）由幂函数 2 2 3( ) ( )m mf x x m Z   在 (0, ) 是单调减函数， 得： 2 2 3 0 1 3m m m       ，又 m z ， 0m  或 1 或 2， 0m  时 3( )f x x ； 1m  时 4( )f x x ， 2m  时 3( )f x x ， 又函数是偶函数， 4( )f x x  ． （2） 4( ) ( 2)F x a x a x   ， 当 0a  时， ( ) 2F x x  ， ( ) ( )F x F x   ，函数是奇函数； 当 2a  时， 4 2( )F x x  ， ( ) ( )F x F x  ，函数是偶函数； 当 0a  且 2a  时， F （1） 2 2a  ， ( 1) 2F   ， F（1） ( 1)F   ，函数对 (x   ，0) (0 ， ) ， ( ) ( )F x F x  不成立， ( ) ( )F x F x   也不成立， 函数 ( )F x 是非奇非偶函数． 18．解：（Ⅰ）由函数 2 2 2( ) ( )m mf x x m Z    ，且 f （3） f （2）． 则函数 2 2 2( ) ( )m mf x x m Z    在 (0, ) 上单调递增， 2 2 2 0m m    ，即 2 2 2 0m m   ， 1 3 1 3m     ， 又 m Z ， 0m  或 1 或 2， 当 0m  时， 2 2 2 2m m    ； 当 1m  时， 2 2 2 3m m    ； 当 2m  时， 2 2 2 2m m    ； 又函数 2 2 2( ) ( )m mf x x m Z    为偶函数， 2 2 2m m   必为偶数， 当 0m  或 2 时， 2( )f x x ； 故 0m  或 2， ( )f x 的解析式为 2( )f x x ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 2( ) log [ 5]( 0, 1)ag x x ax a a     ， 设 logu ay  ， 2( ) 5u x x ax   ， [1x ， 2] 当 0 1a  时， logu ay  为减函数， 只有 2( ) 5u x x ax   在[1， 2]为增函数时，且 u （1） 0 时， ( )g x 在区间[1， 2]上为减函 数．  0 1 12 (1) 1 5 0 a a u a         „ ， 0 1a   ． 当 1a  时， logu ay  为增函数， 只有 2( ) 5u x x ax   在[1， 2]为减函数时，且 u （2） 0 时， ( )g x 在区间[1， 2]上为减函 数．  1 22 (2) 4 2 5 0 a a u a        … ， 94 2a „ ． 综上，当 0 1a  或 94 2a „ 时， ( )g x 在区间[1， 2]上为减函数． 故存在实数 (0,1) [4a  ， 9)2 ，使得 ( )g x 在区间[1， 2]上为减函数． 19．解：（1）幂函数 22 3( ) ( )m mf x x m Z    是奇函数，且 f （1） f （2）． 22 3m m   是正奇数，且 m Z ， 0m  ， 3( )f x x ． （2） 2 2 3 3 2 1 2 1 2 2 log ( ) log [2 ( )] (2 )y f x f x log x log x    2 3 2 1 1 2 2 (3log ) log 2 logx x   2 2 29(log ) 3log 1x x   2 2 1 59(log )6 4x   ， 1[ ,2]2x ， 21 log 1x „ „ ， 当 2 1log 6x  时， y 取最小值 5 4  ， 当 2log 1x   时， y 取最大值 11． 2 2 1 2 log ( ) log [2 ( )]y f x f x   ， 1[ ,2]2x 的值域为 5[ 4  ，11]． 20．解：（1）令 2 1 1a a   ，解得 0a  或 1a  ．（1 分） 当 0a  时， 2( )f x x ，它不是奇函数，不符合题意； 当 1a  时， 3( )f x x ，它是奇函数，符合题意． 所以 1a  ． （3 分） 此时 3( )g x x x  ． 令 ( ) 0g x  ，即 3 0x x  ，解得 0x  ． 所以函数 ( )g x 的零点是 0x  ．（5 分） （2）设函数 3y x ， y x ．因为它们都是增函数，所以 ( )g x 是增函数．（7 分） 又因为 g （9） 738 ， (10) 1010g  ． （9 分） 由函数的单调性，可知不存在自然数 n ，使 ( ) 900g n  成立．（10 分）