第三章函数专练 15—章节综合练习（1）
一．单选题
1．下列函数与函数 y x 相同的是 ( )
A． 2y x B． xy lne C．
2xy x
D． 4 4y x
2．函数 1xy lgx
的定义域为 ( )
A． (0, ) B．[1， ) C． (1, ) D．(0 ，1) (1 ， )
3．已知函数 f（x）＝4x﹣3ln|x|，则 f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．若 x ， y R ， 2 2 1x y ，则 x y 的取值范围是 ( )
A． ( ， 2] B． (0,1) C． ( ， 0] D． (1, )
5．已知函数 ( )f x 的定义域为[ 1 ， 2]，则函数 ( ) (2 ) 1 2xg x f x 的定义域为 ( )
A．[0 ，1] B．[ 1 ， 0] C． 1[ ,1]2
D． 1[ ,0]2
6．函数 2( ) 1f x x 的定义域为[0 ， 4]，则函数 2 2( ) [ ( )]y f x f x 的值域为 ( )
A． 1[ ,992]2
B． 1[ ,24]2
C． 1[ ,4]2
D． 1[ ,4 2 2]2
7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字
命名的“高斯函数”：设 x R ，用[ ]x 表示不超过 x 的最大整数，则 [ ]y x 称为高斯函数，
也称取整函数，例如：[ 3.7] 4 ，[2.3] 2 ．已知 1( ) ? 1 2
x
x
ef x e
，则函数 [ ( )]y f x 的
值域为 ( )
A．{0} B．{ 1 ， 0} C．{ 2 ， 1 ， 0} D．{ 1 ，0，1}
8．已知函数 2 1( ) ( (2 ) )4f x lg ax a x 的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是 ( )
A． (1,4) B． (1,4) {0} C． (0 ，1] [4 ， ) D．[0 ，1] [4 ，
)
二．多选题
9．已知 3loga e ， 2log 3b ， 3c ln ，则 ( )
A． a b c B． a c b C． a c b D． a c b
10．下列函数中，是奇函数或者增函数的是 ( )
A． 1( ) sin (0 )sin 2f x x xx
B． 2( ) 4 (0 )2f x x x x
C． ( ) x xf x e e D． 1( ) 1
xf x lg x
11．函数 ( )f x 的定义域为 R ，且 ( 1)f x 与 ( 1)f x 都为奇函数，则下列说法正确的是 ( )
A． ( )f x 是周期为 2 的周期函数 B． ( )f x 是周期为 4 的周期函数
C． ( 2)f x 为奇函数 D． ( 3)f x 为奇函数
12．已知函数 ( ) log log ( )( 0a af x x a x a ，且 1)a ，则 ( )
A． ( )f x 定义域为 (0, )a
B． ( )f x 的最大值为 2 2log 2a
C．若 ( )f x 在 (0,2) 上单调递增，则1 4a
D． ( )f x 图象关于直线
2
ax 对称
三．填空题
13．若函数 ( ) ( 2) af x m x 是幂函数，且其图象过点 (2,4) ，则函数 ( ) log ( )ag x x m 的单
调增区间为 ．
14．若 4
1log 3 2a ，则 3 9a a ．
15．若函数 f（x）＝log2（x2﹣3ax+2a2）的单调递减区间是（﹣∞，a2），则 a＝ ．
16．定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足 ( 1) ( )f x f x ，当 (0x ， 1]2
时， 2( )f x x x ，则
当 (1,2)x 时，不等式 3( ) 016f x 的解为 ．
四．解答题
17．已知二次函数 ( )f x 满足 ( 1) ( ) 4 5f x f x x ，且 ( )f x 的图象经过点 (1, 13)A ．
（1）求 ( )f x 的解析式；
（2）若对任意 [ 2m ，3] ，不等式 ( )f x mx 恒成立，求实数 x 的取值范围．
18．已知函数 3 3( ) log (3 ) log 9
a xf x x （常数 )a R ．
（1）当 0a 时，求不等式 ( ) 0f x 的解集；
（2）当 1[ ,27]9x 时，求 ( )f x 的最大值．
19．（1）已知 2( ) log ( 3)af x x ax ，当 (0x ， 2]时，函数恒有意义，求 a 的取值范围；
（2）已知函数 2( ) 2 5f x x ax 在 ( ， 2]上是减函数，且对任意的 1x ， 2 [1x ， 1]a ，
总有 1 2| ( ) ( ) | 4f x f x 成立，求实数 a 的取值范围．
20．已知幂函数 22 4 2( ) ( 2 2) m mf x m m x 在 (0, ) 上单调递减．
（1）求 m 的值并写出 ( )f x 的解析式；
（2）试判断是否存在 0a ，使得函数 ( ) (2 1) 1( )
ag x a x f x
在[ 1 ，2]上的值域为[ 4 ，
11]？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由．
第三章函数专练 15—章节综合练习（1）
1．解：对于 A ，函数 2 | |y x x ， x R ，与函数 y x ， x R 的对应关系不同，不是相
同函数；
对于 B ，函数 xy lne x ， x R ，与函数 y x ， x R 的定义域相同，对应关系也相同，
是相同函数；
对于 C ，函数
2xy xx
， 0x ，与函数 y x ， x R 的定义域不同，不是相同函数；
对于 D ，函数 4 4 | |y x x ， x R ，与函数 y x ， x R 的对应关系不同，不是相同函数．
故选： B ．
2．解：由题意得
1 0
0
0
x
x
lgx
， 1x ，
( )f x 的定义域为 (1, ) ．
故选： C ．
3．解：当 x＜0 时， ，故函数 f（x）在（﹣∞，
0）单调递增，排除选项 BC；
当 x＞0 时， ，易知，函数 f（x）在 取得极小值，
排除选项 D．
故选：A．
4．解：因为1 2 2 2 2 2 2 2x y x y x y
，
所以 12 4
x y
，
即 2x y ，当且仅当 12 2 2
x y ，即 1x y 时取“ ”，
所以 x y 的取值范围是 ( ， 2] ．
故选： A ．
5．解：因为函数 ( )f x 的定义域为[ 1 ， 2]，
所以在函数 ( ) (2 ) 1 2xg x f x 中，令 1 2 2
1 2 0x
x
，
解得
1 12
0
x
x
，即 1 02 x ，
所以函数 ( )g x 的定义域为 1[ 2
， 0] ．
故选： D ．
6．解： 2( ) 1f x x 的定义域为[0 ，4]， 2 2( ) [ ( )]y f x f x 中，
20 4
0 4
x
x
，解得 0 2x ，
即 2 2( ) [ ( )]y f x f x 的定义域为[0 ， 2]，令 2t x ，则 [0t ， 4]，
则 2 2 4 2 2 4 2 2 21 1( ) [ ( )] 1 ( 1) 2 2 2 2 2( )2 2y f x f x x x x x t t t ，
当 1
2t 时， 1
2miny ；当 4t 时， 24maxy ，
2 2( ) [ ( )]y f x f x 的值域为 1[ ,24]2
．
故选： B ．
7．解： 1 1 1 1( ) 1 1 2 2 1x xf x e e
，
1 1xe ， 11 01xe
， 1 1 1 1
2 2 1 2xe
，
1 1( ) 0,0 ( )2 2f x f x ，
[ ( )] 1f x 或 0，
[ ( )]y f x 的值域为{ 1 ， 0} ．
故选： B ．
8．解：对 a 分类讨论： 0a 时，函数 1( ) (2 )4f x lg x ，由 12 04x ，可得函数 ( )f x 的值
域为 R ，因此 0a 满足题意．
0a 时，要使得函数 2 1( ) ( (2 ) )4f x lg ax a x 的值域为 R ，则 2
0
1(2 ) 4 04
a
a a
，
解得 0 1a ，或 4a
．
则实数 a 的取值范围是[0 ，1] [4 ， ) ，
故选： D ．
9．解：因为 3log 1a e ， 2
3log 3 3 12
ln lnln
则 b c a ．
因为 3
1log 3 3 23a c e ln lnln
， 2log 3 2b ，
所以 a c b ．
故选： BC ．
10．解：根据题意，依次分析选项：
对于 A ， 1( ) sin sinf x x x
， (0 )2x ，其定义域为 (0, )2
，不是奇函数，
设 sint x ，则 1y t t
，在区间 (0, )2
上， sint x 为增函数，且 0 1t ，在区间 (0,1) ，
1y t t
为减函数，
则 1( ) sin sinf x x x
在区间 (0, )2
上是减函数，不符合题意；
对于 B ， 2 2( ) 4 ( 2) 4f x x x x ，在区间 (0, )2
上是增函数，符合题意，
对于 C ， ( ) x xf x e e ，其定义域为 R ， ( ) ( )x xf x e e f x ，是偶函数，在其定义域
上不是增函数，不符合题意，
对于 D ， 1( ) 1
xf x lg x
，有 1 01
x
x
，解可得 1x 或 1x ，函数的定义域为{ | 1x x 或
1}x ，
有 1 1 1( ) ( )1 1 1
x x xf x lg lg lg f xx x x
，函数 ( )f x 为奇函数，符合题意，
故选： BD ．
11．解：根据题意，函数 ( 1)f x 为奇函数，则 ( )f x 的图象关于点 ( 1,0) 对称，
则有 ( 2 ) ( )f x f x ，
同理：若函数 ( 1)f x 为奇函数，则有 (2 ) ( )f x f x ，
则有 ( 2) ( 2)f x f x ，即有 ( 4) ( )f x f x ，即函数 ( )f x 是周期为 4 的周期函数， A 错
误， B 正确；
(2 ) ( )f x f x ， ( 2)f x 不一定是奇函数， C 错误；
由 ( 3) ( 1)f x f x ，是奇函数， D 正确；
故选： BD ．
12．解：函数 ( ) log log ( )( 0a af x x a x a ，且 1)a ，
对于选项 A ，令 0x 且 0a x ，解得 0 x a ，
故函数 ( )f x 的定义域为 (0, )a ，
故选项 A 正确；
对于选项 B ， 2( ) log log ( ) log [( ) ] log ( )a a a af x x a x a x x x ax ，
因为 2y x ax 图象开口向下，故 y 有最大值，
但若 0 1a 时，函数 logay x 单调递减，此时 ( )f x 无最大值，
故选项 B 错误；
对于选项 C ，若 ( )f x 在 (0,2) 上单调递增，
①当 0 1a 时，则 2y x ax 在 (0,2) 上单调递减，
故 02
a
，解得 0a ，
故不符合题意；
②当 1a 时，则 2y x ax 在 (0,2) 上单调递增，
故 22
a
，解得 4a
，
故选项 C 错误；
对于选项 D ， ( ) log log ( )a af x x a x ，
则 ( ) log ( ) log ( )a af a x a x x f x ，
所以 ( )f x 图象关于直线
2
ax 对称，
故选项 D 正确．
故选： AD ．
13．解：函数 ( ) ( 2) af x m x 是幂函数，且其图象过点 (2,4) ，
2 1m ，且 2 4 ，求得 1m ， 2 ，可得 2( )f x x ，
则函数 2( ) log ( ) log ( 1)ag x x m x 的单调增区间为 (1, ) ，
故答案为： (1, ) ．
14．解：由 4
1log 3 2a ，可得 3 3
4
1
12 log 4 log 23 2a log
，
所以 3 32 2 23 9 3 3 2 4 6log loga a ．
故答案为：6．
15．解：x2﹣3ax+2a2＝（x﹣a）（x﹣2a），
当 a＝0 时，满足条件，
当 a＜0 时，则 2a＜a，此时函数的单调递减区间为（﹣∞，2a），
由 a2＝2a，得 a＝0 或 2，不成立，
当 a＞0 时，则 2a＞a，此时函数的单调递减区间为（﹣∞，a），
由 a2＝a，得 a＝0 或 1，此时 a＝1，
综上 a＝0 或 a＝1，
故答案为：0 或 1
16．解：根据题意，定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足 ( 1) ( )f x f x ，
则有 ( 1) ( )f x f x ，即 ( 1) ( )f x f x ，
同时变形可得： ( 2) ( 1) ( )f x f x f x ，
分 2 种情况讨论：
（1）在区间 (1 ， 3]2
上，有 10 1 2x ，则 2( 1) ( 1) ( 1)f x x x ，
则 2 2( ) ( 1) ( 1) ( 1) 3 2f x f x x x x x ，
此时 3( ) 016f x ，即 3( ) 16f x ，即 2 33 2 16x x ，解可得： 5 3
4 2x ，
（2）在区间 3(2
， 2) 上， 1 2 02 x ，则有 10 2 2x ，
则有 2 2(2 ) (2 ) (2 ) ( 3 2)f x x x x x ，
则 2( ) ( 2) (2 ) 3 2f x f x f x x x ，
此时 3( ) 016f x ，即 3( ) 16f x ，即 2 33 2 16x x ，解可得： 3 7
2 4x ，
综合可得：若 3( ) 016f x ，必有 5 7| 4 4x ，
不等式的解集为 5 7{ | }4 4x x
故答案为： 5 7{ | }4 4x x ．
17．解：（1）设 2( ) ( 0)f x ax bx c a ，
则 2 2( 1) ( 1) ( 1) (2 )f x a x b x c ax a b x a b c ，
因为 ( 1) ( ) 4 5f x f x x ，
2 4 5ax a b x ，得 2a ， 3b ，
又因为 ( )f x 的图象经过点 (1, 13)A ，
f （1） 2 3 13c ，则 18c ，
故 2( ) 2 3 18f x x x ；
（2）设 2( ) ( ) 2 (3 ) 18h x f x mx x m x ， 2( ) 2 3 18g m xm x x ，
因为当 [ 2m ， 3] 时，不等式 ( )f x mx 恒成立，
( 2) 0
(3) 0
g
g
，即
2
2
2 5 18 0
9 0
x x
x
，
解得 3 2x ．故 x 的取值范围是[ 3 ， 2]．
18．解：（1）当 0a 时， 3 3( ) log (log 2)f x x x ，
由 ( ) 0f x 得 3 3( ) log (log 2)f x x x ，
即： 3 3 3 30 log 2 log 1 log log 9x x ，解得：1 9x ，
所以 ( ) 0f x 的解集为{ |1 9}x x ． （4 分）
（ 2 ）
2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3( ) log (3 ) log (log 3 log ) (log log 9) (log ) (log 2) (log ) ( 2) log 29
a axf x x x x x a x x a x a
．
令 3logu x ，因为 1[ ,27]9x ，所以 [ 2u ， 3] ，
若求 ( )f x 在 1[ ,27]9x 上的最小值，
即求函数 2( ) ( 2) 2g u u a u a 在 [ 2u ， 3] 上的最小值， (6 分
2
22 ( 2)) ( ) ( )2 4
a ag u u 时， [ 2u ，3] ，对称轴为 2
2
ax ．
①当 2 1
2 2
a
时，即 1a
时，
； ( )maxg u g （3） 3a （8 分）
②当 2 1
2 2
a ，即 1a 时，
. ( ) ( 2) 8 4maxg u g a （10 分）
综上，当 1a
时， ( )f x 的最大值为 3a ；
当 1a 时， ( )f x 的最大值为8 4a ． （12 分）
19．（解：（1） 2( ) 3 0g x x ax 对一切 (0x ， 2]恒成立，
即 3a x x
对一切 (0x ， 2]恒成立，且 0a ， 1a ．
令 3( )h x x x
，则 3( ) 2 2 3h x x x
，
当且仅当 3 (0,2)x 时，
( )h x 取得最小值 2 3 ，
所以 0 2 3a 且 1a ．
（2） 2( ) 2 5f x x ax 的对称轴为 x a ，
且函数 2( ) 2 5f x x ax 在 ( ， 2]上是减函数，可得 2a
，
对任意的 1x ， 2 [1x ， 1]a ，总有 1 2| ( ) ( ) | 4f x f x 成立，
可得| f （1） f （a）| 4 ，即 2| 6 2 5 | 4a a ，
所以 2 2 1 4a a ，即 1 3a ．综上可得， a 的取值范围是[2 ， 3] ．
20．解：（1）因为幂函数 22 4 2( ) ( 2 2) m mf x m m x 在 (0, ) 上单调递减，
所以
2
2
2 2 1
4 2 0
m m
m m
，解得 3m 或 1m （舍 ) ，所以 1( )f x x ；
（2）由（1）可得， 1( )f x x ，所以 ( ) (2 1) 1 ( 1) 1g x a x ax a x ，
假设存在 0a ，使得 ( )g x 在[ 1 ， 2]上的值域为[ 4 ，11]，
①当 0 1a 时， 1 0a ，此时 ( )g x 在[ 1 ， 2]上单调递减，
故 ( 1) ( 1) 1 11
(2) 2( 1) 1 4
g a
g a
，即 2 11
2 1 4
a
a
，方程组无解；
②当 1a 时， ( ) 1g x ，显然不成立；
③当 1a 时， 1 0a ， ( )g x 在[ 1 ， 2]上单调递增，
故 ( 1) ( 1) 1 4
(2) 2( 1) 1 11
g a
g a
，即 2 4
2 1 11
a
a
，解得 6a ．
综上所述，存在 6a 使得 ( )g x 在[ 1 ， 2]上的值域为[ 4 ，11]．
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