函数专练 6—奇偶性
一、单选题
1．已知函数 ( )f x 为奇函数，当 0x 时， 2( ) log ( 1)f x x ax ，且 ( 3)f a ，则 f （7） (
)
A． 1
2 B． 1
2
C． 2log 3 D．2
2．已知函数 ( )y f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x
时， 3( ) (1 )f x x x ，则当 0x 时，
( )f x 表达式是 ( )
A． 3(1 )x x B． 3(1 )x x C． 3(1 )x x D． 3(1 )x x
3．若函数 ( )( ( ) 0)f x f x 为奇函数，则必有 ( )
A． ( ) ( ) 0f x f x B． ( ) ( ) 0f x f x C． ( ) ( )f x f x D． ( ) ( )f x f x
4．若 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，在 ( ，0] 上是减函数，且 f（2） 0 ，则使得 2(log ) 0f x
的 x 的取值范围是 ( )
A． (0,4) B． (4, )
C． (0 ， 1) (44
， ) D． 1(4
， 4)
5．下列函数中，其图象关于原点对称的是 ( )
A． (cos sin )y x x x B． 5 (4 4 )x xy x
C． (3 3 )cosx xy x D． tan
3 3x x
xy
6．定义在 R 上的函数 | |( ) 3 2x mf x 为偶函数， 2
1(log )2a f ，
1
31(( ) )2b f ， ( )c f m ，
则 ( )
A． c a b B． a c b C． a b c D． b a c
7．已知函数 1( ) | 2 |2
x
xf x ，若实数 m 满足 3 1
3
(log ) (log ) 3f m f m
，则实数 m 的取值范围
是 ( )
A． 1[3
， 3] B． (0 ， 1]3 C．[1， 3] D．(0 ，1] [33 ， )
8．若函数 ( )f x 为定义在 R 上的偶函数，当 0x
时， ( ) 2 2xf x ，则不等式 ( 1) 2 ( )f x f x
的解集为 ( )
A． ( ， 0] B． 2
1 5( ,log ]2
C． 2
1 5[0,log ]2
D．[0 ，1)
二、多选题
9．下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是 ( )
A． 3( )f x x x
B．
2
2
1, 0
( ) 0, 0
1, 0
x x
f x x
x x
C． ( ) 1f x x
D． 3( )f x x
10．已知函数 2( ) log (1 4 )xf x x ，则下列说法正确的是 ( )
A．函数 ( )f x 是偶函数
B．函数 ( )f x 是奇函数
C．函数 ( )f x 在 ( ， 0] 上为增函数
D．函数 ( )f x 的值域为[1， )
11．已知函数 ( )f x 是定义在[1 2a ， 1]a 上的偶函数．当 0 1x a 时， 3( ) 1f x x x
，
若 2(log ) 1f m ，则 ( )
A． 2a B． 3a C． m 的值可能是 4 D． m 的值可能是 6
12．已知 R ，函数 2( ) ( 3) sin( )f x x x ，存在常数 a R ，使得 ( )f x a 为偶函数，则
的值可能为 ( )
A．
6
B．
4
C．
3
D．
2
三、填空题
13．函数 ( ) sin 1f x ax b x ，若 f （5） 7 ，则 ( 5)f ．
14．函数 1( ) ( )2 1xf x x n 为偶函数，则实数 n 的值为 ．
15 ． 已 知 函 数 ( )f x 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 当 0x 时 ， 1( ) ( )3
xf x ， 则
3( 2 log 5)f ．
16．已知定义在 R 上的函数 ( )y f x 满足条件 3( ) ( )2f x f x ，且函数 3( )4y f x 是奇函
数，给出以下四个命题：
①函数 ( )f x 是周期函数；
②函数 ( )f x 的图象关于点 3( 4
， 0) 对称；
③函数 ( )f x 是偶函数；
④函数 ( )f x 在 R 上是单调函数．
在上述四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）
四、解答题
17．已知定义在 R 上的函数 ( )y f x 是偶函数，且 0x
时， 2( ) ( 2 2)f x ln x x ，
（1）当 0x 时，求 ( )f x 解析式；
（2）写出 ( )f x 的单调递增区间．
18．已知函数 2( ) | | 1f x x a x ．
（1）若 2a ，求函数 ( )f x 的零点；
（2）针对实数 a 的不同取值，讨论函数 ( )f x 的奇偶性．
19．设 1
2( ) (2
x
x
af x ab
、 b 为实常数）．
（1）当 1a b 时，证明： ( )y f x 不是奇函数；
（2）当 1a ， 2b 时，判断并证明函数 ( )y f x 的奇偶性．
20．已知 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 0x
时， 2( ) xf x x e ．
（1）求 ( )f x 的解析式；
（2）求关于 x 的不等式 (3 1) (5 ) ( 3) 4 0f x f ax a x 的解集．
第三章 函数专练 6—奇偶性答案
1．解：因为函数 ( )f x 为奇函数，当 0x 时， 2( ) log ( 1)f x x ax ，且 ( 3)f f （3） a ，
所以 f （3） a ，
即 2 3a a ，
所以 1
2a ，
则 f （7） 2log 8 7 3 3.5 0.5a ．
故选： B ．
2．解：设 0x ，则 0x
，当 0x
时， 3( ) (1 )f x x x ，
3 3( ) (1 ) (1 )f x x x x x ，
函数 ( )y f x 是定义在 R 上的奇函数， ( ) ( )f x f x ，
3( ) (1 )f x x x ．
故选： D ．
3．解：函数 ( )( ( ) 0)f x f x 为奇函数
( ) ( )f x f x
2( ) ( ) ( )[ ( )] [ ( )] 0f x f x f x f x f x
故选： B ．
4．解： ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，在 ( ， 0] 上是减函数，在[0 ， ) 上是增函数，
2 2(log ) (| log |)f x f x ，则不等式等价于 2(| log |)f x f （2）， 2| log | 2x ．
2
12 log 2 44x x ．
故选： D ．
5．解：根据题意，函数图象关于原点对称的是奇函数，依次分析选项，
对于 A ， (cos sin )y x x x ，其定义域为 R ，
有 ( ) ( )[cos( ) sin( )] (cos sin )f x x x x x x x ， ( )f x 为非奇非偶函数函数，不符合题
意；
对于 B ， 5 (4 4 )x xy x ，其定义域为 R ， 5( ) ( ) (4 4 ) ( )x xf x x f x ，
函数 ( )f x 为偶函数，不符合题意；
对于 C ， (3 3 )cosx xy x ，其定义域为 R ，
( ) (3 3 )cos( ) (3 3 )cos ( )x x x xf x x x f x ，函数 ( )f x 为偶函数，不符合题意；
对于 D ， tan
3 3x x
xy ，其定义域为{ | 2x x k ， }k Z ，
tan( )( ) ( )3 3x x
xf x f x
， ( )f x 为奇函数，符合题意．
故选： D ．
6 ． 解 ： 根 据 题 意 ， 函 数 | |( ) 3 2x mf x 为 偶 函 数 ， 则 有 ( ) ( )f x f x ， 即
| | | |3 2 3 2x m x m ，
变形可得| | | |x m x m ，必有 0m ；
则 | |( ) 3 2xf x ， ( )f x 在[0 ， ) 上单调递减，
2
1(log ) ( 1)2a f f f （1），
1
3 31 1(( ) ) ( )2 2b f f ， ( ) (0)c f m f ，
则有 a b c ，
故选： C ．
7．解：易得 ( ) ( )f x f x ，故 ( )f x 为偶函数，
当 0x 时， 1( ) 2 2
x
xf x 单调递增， f （1） 3
2
，
因为 3 1
3
(log ) (log ) 3f m f m
，
所以 3 3(log ) ( log ) 2f m f m f
（1），
故 32 (log ) 2f m f
（1），
即 3(log )f m f
（1），
所以 3| log | 1m
，
解得 3m
或 1
3m ．
故 m 的范围 (0 ， 1] [33 ， ) ．
故选： D ．
8．解：因为函数 ( )f x 为定义在 R 上的偶函数，当 0x
时， ( ) 2 2xf x 单调递增，
所以 | |( ) 2 2xf x ，
因为 ( 1) 2 ( )f x f x
，
所以 | 1| | |2 2 2(2 2)x x
，
即 | 1| | | 12 2 2 0x x
，
当 0x 时，可化为 2 0
，成立，
当 0 1x 时， 1 12 2 2 0x x
，即 2 2 1 0x x
，
令 2xt ，则1 2t ，
所以 11 0t t
，即 2 1 0t t ，
解得 1 51 2t ，
所以 2
1 50 2x log ，
当 1x
时， 1 12 2 2 0x x
，
即 42 3
x
，显然成立，
综上， ( 1) 2 ( )f x f x
的解集 ( ， 2
1 5log ]2
．
故选： B ．
9．解：根据题意，依次分析选项：
对于 A ， 3( )f x x x ，其定义域为 R ，有 3( ) ( ) ( )f x x x f x ， ( )f x 为奇函数，
又由 y x 和 3y x 在 R 上都是减函数，则 3( )f x x x ，在 R 上也是减函数，符合题意，
对于 B ，
2
2
1, 0
( ) 0, 0
1, 0
x x
f x x
x x
，其定义域为 R ，对于任意 x ，都有 ( ) ( )f x f x ，是奇函
数，
( )f x 在 R 上也为减函数，符合题意，
对于 C ， ( ) 1f x x ，是一次函数，不是奇函数，不符合题意，
对于 D ， 3( )f x x
，是反比例函数，在其定义域上不是减函数，不符合题意，
故选： AB ．
10．解：根据题意，函数 2( ) log (1 4 )xf x x ，其定义域为 R ，
有 2 2
1( ) log (1 ) log (1 4 ) ( )4
x
xf x x x f x ，所以函数 ( )f x 是偶函数，则 A 正确，B 错
误，
对于 C ， 2
5( 1) log 1 (0)2f f ， ( )f x 不是增函数， C 错误，
对于 D ， 2 2
1( ) log (1 4 ) log ( 2 )2
x x
xf x x ，
设 1 2 22
x
xt
，当且仅当 0x 时等号成立，则 t 的最小值为 2，故 2( ) log 2 1f x
，即函
数的值域为[1， ) ， D 正确，
故选： AD ．
11．解：由题意可得1 2 1 0a a ，则 2a ，故 A 正确， B 错误；
因为 ( )f x 是偶函数，所以 ( 2)f f （2） 1 ．
当 [0x ， 3] 时， 3( ) 1f x x x
单调递增．
因为 ( )f x 是偶函数，所以当 [ 3x ， 0]时， ( )f x 单调递减．
因为 2(log ) 1f m ，所以 2(| log |)f m f （2）
所以 2
2
3 log 3
| log | 2
m
m
，解得 1 1
8 4m 或 4 8m ，故 C 错误， D 正确．
故选： AD ．
12．解：根据题意， 2( ) ( 3) sin( )f x x x ，则 2( ) ( 3) sin[ ( )]f x a x a x a ，
若 ( )f x a 为偶函数，则 3 0a 且sin[ ( )] sin[ ( )]x a x a ，
则 3a ，sin cos cos sin cos sin sin cosx a x a x a x a ，
必有 cos 0a ，则 3 2k ，必有
3 6
k ， ( )k Z
当 0k 时，
6
，当 1k 时，
2
，
故选： AD ．
13．解：令 ( ) ( ) 1 sing x f x ax b x ，
则 ( )g x 为一个奇函数，
又 f （5） 7 ，
g （5） 6 ，
( 5) 6g ，
( 5) 5f ，
故答案为： 5 ．
14．解：根据偶函数的定义可得， ( ) ( )f x f x 对定义域的任意 x 都成立，
即 1 1( ) ( ) ( )2 1 2 1x xx n x n 对定义域内的任意的 x 都成立，
整理可得， 1 2
2 1 2 1
x
x xn n
，
1
2n ，
故答案为： 1
2
．
15．解：由题意 3 3( 2 log 5) (2 log 5)f f ，
由于当 0x 时， 1( ) ( )3
xf x ，故
9
5log3
3 3
9 1 5( 2 log 5) (log ) ( )5 3 9f f ，
故答案为： 5
9
．
16．解：对于①： 3( 3) ( ) ( )2f x f x f x 函数 ( )f x 是周期函数且其周期为 3．①对
对于②： 3( )4y f x 是奇函数其图象关于原点对称
又函数 ( )f x 的图象是由 3( )4y f x 向左平移 3
4
个单位长度得到．
函数 ( )f x 的图象关于点 3( 4
， 0) 对称，故②对．
对于③：由②知，对于任意的 x R ，都有 3 3( ) ( )4 4f x f x ，用 3
4 x 换 x ，可得：
3( ) ( ) 02f x f x
3 3( ) ( ) ( )2 2f x f x f x 对于任意的 x R 都成立．
令 3
2t x ，则 ( ) ( )f t f t ，函数 ( )f x 是偶函数，③对．
对于④：偶函数的图象关于 y 轴对称， ( )f x 在 R 上不是单调函数，④不对．
故答案为：①②③．
17．解：（1） 0x 时， 0x ，
0x
时 2( ) ( 2 2)f x ln x x ，
2( ) ( 2 2)f x ln x x ，
( )y f x 是偶函数， ( ) ( )f x f x ，
0x 时， 2( ) ( 2 2)f x ln x x ，
（2）由（1）知 0x 时， 2( ) ( 2 2)f x ln x x ，根据复合函数的单调性可得函数的单调增
区间 ( 1,0) ，
0x
时 2( ) ( 2 2)f x ln x x ，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间 (1, ) ，
所以函数的单调增区间为： ( 1,0) ， (1, ) ．
18．解：（1）根据题意，函数 2( ) | | 1f x x a x ，则有 21 0x
，解可得 1 1x ，
即函数 ( )f x 的定义域为[ 1 ，1]，
由 2a ，得 2| 2 | 1 0x x ，
化简得 22 2 2 1 0x x ，即 2 2( 2 1) 0, [ 12x x 则 ，1]，
所以，函数 ( )f x 的零点为 2
2x ；
（2）函数 ( )f x 的定义域为[ 1 ，1]，若函数 ( )f x 为奇函数，则必有 ( 1)f f （1） 0 ；
代入得| 1| | 1| 0a a 于是 1
1
a
a
无解，所以函数 ( )f x 不能为奇函数，
若函数 ( )f x 为偶函数，由 ( 1)f f （1）得| 1 | |1 |a a 解得 0a ；
又当 0a 时， 2( ) | | 1f x x x ，则 2 2( ) | | 1 ( ) | | 1 ( )f x x x x x f x ；
对任意 [ 1x ，1]都成立，
综上，当 0a 时，函数 ( )f x 为偶函数，当 0a 时，函数 ( )f x 为非奇非偶函数．
19．（1）证明：当 1a b 时， 1
1 2( ) 1 2
x
xf x
，
则 1 1 1
1 2 1 2 1 1( ) ( ) (2 1)( )1 2 1 2 2 2 1 2
x x
x
x x x xf x f x
，
1
2 1(2 1) 0(2 2 )(1 2 )
x
x
x x
不恒成立，
故 ( ) ( )f x f x 不恒成立，
故 1
1 2( ) 1 2
x
xf x
不为奇函数，
（2）当 1a ， 2b 时， 1
2 1( ) 2 2
x
xf x
为奇函数，证明如下：
因为 1 1
2 1 2 1( ) ( ) 2 2 2 2
x x
x xf x f x
1 1
1 2 2 1
2 2 2 2
x x
x x
，
1 1
1 2 2 1
2 2 2 2
x x
x x
，
0 ，
故 ( ) ( )f x f x ，
所以 ( )f x 为奇函数．
20 解：（1）因为 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 0x
时， 2( ) xf x x e ，
所以当 0x ，即 0x 时，有 2( ) ( ) ( )xf x x e f x ，
故 2( ) xf x x e ，
则
2
2
, 0( )
, 0
x
x
x e xf x
x e x
．
（2）当 0x 时， ( ) 0f x ，任取 1 2 0x x ，
则
1
1 2
2
2
21 1 1
2
2 22
( ) ( )( )
x
x x
x
f x x e x ef x xx e
，
1 2 0x x ， 1
2
1x
x
， 1 2 1x xe ，则 1
2
( ) 1( )
f x
f x
，即 1 2( ) ( )f x f x ，即 ( )f x 在 (0, ) 上单
调递增，
又 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，所以 ( )f x 是 R 上的增函数．
原不等式等价于 (3 1) 3 1 (5 ) 5 ( 5) 5f x x f ax ax f ax ax ，
构造函数 ( ) ( )h x f x x ，易知 ( )h x 也是 R 上的增函数，
原不等式等价于 3 1 5x ax ，即 ( 3) 4a x ，
当 3a 时，不等式的解集为 4( , )3a
，
当 3a 时，不等式的解集为 R ；
当 3a 时，不等式的解集为 4( 3a ， ) ．
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