2022届高三数学一轮复习 第三章 函数专练11—指数函数

第三章函数专练 11—指数函数 一．单选题 1．设 3 74( )7a  ， 4 73( )7b  ， 4 74( )7c  ，则 a ， b ， c 的大小关系是 (( ) A． a c b  B． a b c  C． b c a  D． b a c  2．已知函数 5( ) 4( 0, 1)xf x a a a    恒过定点 ( , )M m n ，则函数 ( ) xg x m n  的图象不经 过 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知 1 1 2 2 4m m    ，则 3 3 2 2 1 1 2 2 m m m m     的值是 ( ) A．15 B．12 C．16 D．25 4．已知 ( ) | 2 1|xf x   ，若 f （a） f （b） ( )a b ，则 a b 的取值范围是 ( ) A． ( ,1) B． ( ,0) C． (0, ) D． (1, ) 5．定义在 R 上的函数 | |1( ) ( ) 23 x mf x   为偶函数， 2 1(log )2a f ， 1 31(( ) )2b f ， ( )c f m ， 则 ( ) A． c a b  B． a c b  C． a b c  D． b a c  6．函数 4 2 1xy    的值域为 ( ) A．[1， ) B． ( 1,1) C． ( 1, )  D．[ 1 ，1) 7．设 a ，b ， c 都是正数，且 1 1 1( ) ( ) ( )4 6 9 a b c  ，那么 ( ) A． 1 1 1 a b c   B． 1 1 1 b c a   C． 1 1 2 a b c   D． 1 1 2 a c b   8．已知函数 9( ) 4 1f x x x     ， (0,4)x ，当 x a 时， ( )f x 取得最小值b ，则函数 | |( ) x bg x a  的图象为 ( ) A． B． C． D． 二．多选题 9．若指数函数 xy a 在区间[ 1 ，1]上的最大值和最小值的和为 10 3 ，则 a 的值可能是 ( ) A． 1 2 B． 1 3 C．3 D．2 10．设 3 4 5 1x y z   ，则 ( ) A． x y z  B．3 4 5x y z  C． 1 1 2? x z y   D． 2xz y 11．对于函数 ( )f x 的定义域中任意的 1x ， 2 1 2( )x x x ，有如下结论：当 ( ) 2xf x  时，上述结 论正确的是 ( ) A． 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x   B． 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x   C． 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x   D． 1 2 1 2( ) ( )( )2 2 x x f x f xf   12．若 1 11 ( ) ( )2 2 b a  ， c R ，则下列关系式中一定成立的是 ( ) A． 1 1 a b  B． 3 3a b C． 2 2( 1) ( 1)ln a ln b   D． 2 2c a c b 三．填空题 13．已知直线方程 1( 0, 0)x y a ba b     经过指数函数 1 1xy e   的定点，则 2ab a b  的最 小值 ． 14．已知函数 ( 0)( ) 3 8 ( 0) xa xf x ax a x      „ 是 ( , )  上的增函数，那么实数 a 的取值范围 是 ． 15．已知指数函数 ( ) xf x a ，方程 (|| 9 | 7 |) 4f x    的解集为{0 ，4， 1x ， 2 1 2}( )x x x ，则 2 2 2 1x x 的值为 ． 16．若函数 1 1( 0xy a a   且 1)a  恒过点 ( , )P m n ，则函数 1 1( ) ( ) ( ) 14 2 x xf x    在[m ， ]n 上的最小值是 ． 四．解答题 17．（1）计算： 11 1 0 1 0.25 34 27 3(0.0081) [3 ( ) ] [81 (3 ) ]8 8       ； （2）化简： 2 11 1 13 32 2 6 5 ( )a b a b a b     ． 18．已知函数 4( ) 1 ( 0, 1)2 xf x a aa a     且 (0) 0f  ． （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）若函数 ( ) (2 1) ( )xg x f x k    有零点，求实数 k 的取值范围． （Ⅲ）当 (0,1)x 时， ( ) 2 2xf x m   恒成立，求实数 m 的取值范围． 19．已知函数 ( 0xy a a  且 1)a  在[1，2]上的最大值与最小值之和为 20，记 ( ) 2 x x af x a   ． （1）求 a 的值； （2）证明 ( ) (1 ) 1f x f x   ； （3）求 1 2 3 2010( ) ( ) ( ) ( )2011 2011 2011 2011f f f f   的值． 20．设函数 ( ) ( 0x xf x ka a a   且 1)a  是定义域为 R 的奇函数； （1）若 f （1） 0 ，判断 ( )f x 的单调性并求不等式 ( 2) ( 4) 0f x f x    的解集； （2）若 f （1） 3 2  ，且 2 2( ) 4 ( )x xg x a a f x   ，求 ( )g x 在[1， ) 上的最小值． 第三章函数专练 11—指数函数 答案 1．解：设 3 74( )7a  ， 4 73( )7b  ， 4 74( )7c  ， 函数 4 7y x 是 (0, ) 的增函数， 3 4 7 7  ， b c  ． 当 0 1a  时，函数 4( )7 xy  是 R 上的减函数， 3 4 7 7  ， 3 4 7 74 4( ) ( )7 7  ，即 a c ， 则 a ， b ， c 的大小关系为 a c b  ， 故选： A ． 2．解： 5( ) 4( 0, 1)xf x a a a    恒过定点 ( 5,5) ， 5m   ， 5n  ， ( ) 5 5xg x    ，则函数 ( )g x 恒过定点 (0, 4) ， 则其图象不经过第二象限， 故选： B ． 3．解： 1 1 2 2 4m m    ， 1 1 1 22 2( ) 2 14m m m m       ，  3 3 2 2 1 1 1 2 2 1 15m m m m m m          ． 故选： A ． 4．解：函数 ( ) | 2 1|xf x   ．若 f （a） f （b） ( )a b ， 不妨设 a b ； ①当 1a b  时，由 f （a） f （b），可得1 2 1 2a b   ， 即 a b ，不成立 ②当1 a b  时，由 f （a） f （b），可得 2 1 2 1a b   ， 即 a b ，不成立 ②当 1a b  时，由 f （a） f （b），可得1 2 2 1a b   ， 那么 2 2 2a b  ． 2 2 2 2a b   … 2 2 2 2a b a b  ．（当且仅当 a b 取等号） 1a b   0a b   ． 故选： B ． 5．解：定义在 R 上的函数 | |1( ) ( ) 23 x mf x   为偶函数， 则 ( ) ( )f x f x  ，即 | | | |1 1( ) 2 ( ) 23 3 x m x m     ； 所以 0m  ， 所以 | |1( ) ( ) 23 xf x   ，且在[0 ， ) 上是单调减函数； 又 2 1log 12   ， 1 31 10 ( )2 2   ， 0m  ； 所以 1 3 2 1 1(log ) (( ) ) (0)2 2f f f  ， 即 a b c  ． 故选： C ． 6．解：因为 4 2 0x … ， 所以 2x„ ，即函数的定义域是 ( ， 2]， 令 4 2xt   ，则 [0t  ， 4) ， 所以 [0,2)t  ， 所以 [ 1y   ，1) ，即函数的值域是[ 1 ，1) ， 故选： D ． 7．解：设 1 1 1( ) ( ) ( )4 6 9 a b c k   ， 0k  ，且 1k  ； 所以 1 4 loga k ， 1 6 logb k ， 1 9 logc k ； 所以 1 4 1 1 1loglog 4ka k   ， 1 6 1 1 1loglog 6kb k   ， 1 9 1 1 1loglog 9kc k   ， 所以 1 1 1 1 1 1 2log log log 2log4 9 36 6k k k ka c b       ． 故选： D ． 8．【解答】解： (0,4)x ， 1 1x   9 9 9( ) 4 1 5 2 ( 1) 5 11 1 1f x x x xx x x              … ， 当且仅当 2x  时取等号，此时函数有最小值 1 2a  ， 1b  ， 此时 1 | 1| 1 2 , 1 ( ) 2 1( ) , 12 x x x x g x x          … ， 此函数可以看成函数 2 , 0 1( ) , 02 x x x y x    … 的图象向左平移 1 个单位 结合指数函数的图象及选项可知 A 正确 故选： A ． 9．解：①当 1a  时，函数 xy a 在区间[ 1 ，1]上为增函数， 当 1x  时， maxy a ，当 1x   时， 1 miny a  ， 1 10 3a a    ，即 23 10 3 0a a   ， 1a  ， 3a  ． ②当 0 1a  时，函数 xy a 在区间[ 1 ，1]上为减函数， 当 1x   时， 1 maxy a  ，当 1x  时， miny a ， 1 10 3a a    ，即 23 10 3 0a a   ， 0 1a  ， 1 3a  ． 综上： a 的值可能为 3a  或 1 3a  ． 故选： BC ． 10．解：设 3 4 5 1x y z k    ，则 3logx k ， 4logy k ， 5logz k ，显然 0x  ， 0y  ， 0z  ， 对于 A ，由于 1k  ，所以 3 4 5log log logk k k  ，即 x y z  ，故选项 A 错误； 对于 B ， 3 4 33 3 4 64 14 4 4 3 81 log kx ln ln y log k ln ln     ，即 3 4x y ， 4 5 44 4 5 625 15 5 5 4 1024 log ky ln ln z log k ln ln     ，即 4 5y z ，所以 3 4 5x y z  ，故选项 B 正确； 对于 C ， 1 1 2 3 5 2 4 1 15( ) 016 ln ln ln lnx z y lnk lnk lnk lnk         ，即 1 1 2 x z y   ，故选项 C 正确； 对 于 D ， 3 4 4 5 4 5,3 4 log k log kx ln y ln y log k ln z log k ln     ， 由 于 2 2 2 2 23 5 15 16 2 43 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 42 2 2 2 ln ln ln ln lnln ln ln    „ ， 即 4 5 3 4 ln ln ln ln  ， 所 以 x y y z  ， 即 2xz y ，故选项 D 正确． 故选： BCD ． 11．解：当 ( ) 2xf x  时， 选项 1 2 1 2 1 2 1 2: ( ) 2 2 2 ( ) ( )x x x xA f x x f x f x      ，所以 A 正确； 选项 1 2 1 2: ( ) 2x xB f x x   ， 1 2 1 2( ) ( ) 2 2x xf x f x   ， 故 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x   ，所以 B 不正确； 选项 1 2 1 2 ( ) ( ): 0f x f xC x x   说明函数是增函数，而 ( ) 2xf x  是增函数，所以 C 正确； 选项 1 2 1 2( ) ( ): ( )2 2 x x f x f xD f   说明函数是凹函数，而 ( ) 2xf x  是凹函数，所以 D 正确； 故选： ACD ． 12．解：若 1 11 ( ) ( )2 2 b a  ， c R ， 则 0a b  ，则 1 1 a b  ， 3 3a b ，故 A 正确， B 错误， 由 2 21 1a b   ，得： 2 2( 1) ( 1)ln a ln b   ，故 C 正确， 若 0c  ，则 D 错误． 故选： AC ． 13．解：指数函数 1 1xy e   过定点 (1,2) ， 则 1 2 1a b   ，即 2a b ab  ， 且 1 2 1 21 2a b a b   … ，即 8ab… ，当且仅当 1 2 a b  ，即 2a  ， 4b  时取等号， 所以 2 2 2 8 16ab a b ab    … ， 故 2ab a b  的最小值为 16， 故答案为：16． 14．解：函数 ( 0)( ) 3 8 ( 0) xa xf x ax a x      „ 是 ( , )  上的增函数， 1a  且 0 3 8a a … ， 解得1 3a „ ，故实数 a 的取值范围是 (1， 3] ， 故答案为 (1 ，3] ． 15．解： (|| 9 | 7 |) 4f x    ， || 9| 7| 22xa    ， 0x  时， 2 4a  ，解得： 2a  ， || 9| 7| 22 2x   ， || 9 | 7 | 2x    ， 故| 9 | 5x   或| 9 | 9x   ， 故 9 5x   或 9 9x   ， 故 4x  或 14 或 0 或 18， 故 1 14x  ， 2 18x  ， 故则 2 2 2 2 2 1 18 14 128x x    ， 故答案为：128． 16．解：对于函数 1 1( 0xy a a   且 1)a  ，令 1 0x   ，求得 1x   ， 2y  ，可得它的图 象经过定点 ( 1,2) ． 函数的图象恒过点 ( , )P m n ，则 1m   ， 2n  ． 令 1( )2 x t ，则当 [ 1x  ， 2]时， 1[4t  ， 2]， 故函数 1 1( ) ( ) ( ) 14 2 x xf x    在[m ， ]n 上，即在区间[ 1 ， 2]上的最小值， 即 2( ) 1g t t t   在 1[4 ， 2]上的最小值，故当 1 2t  时，函数 ( )g t 取得最小值为 3 4 ， 故答案为： 3 4 ． 17．解：（1）原式 1 1 1 1 1 230.3 3 [3 ( ) ]2        1 210 1 1 2 10 1( ) 33 3 3 3 3 3         ； （2）原式 1 11 1 1 1 1 1 1 53 32 2 13 2 6 2 3 6 1 5 6 6 1a b a b a b a aa b               ． 18．解：（Ⅰ）对于函数 4( ) 1 ( 0, 1)2 xf x a aa a     ，由 4(0) 1 02f a    ， 求得 2a  ，故 4 2( ) 1 12 2 2 2 1x xf x       ． （Ⅱ）若函数 ( ) (2 1) ( ) 2 1 2 2 1x x xg x f x k k k           有零点， 则函数 2xy  的图象和直线 1y k  有交点， 1 0k   ，求得 1k  ． （Ⅲ）当 (0,1)x 时， ( ) 2 2xf x m   恒成立，即 21 2 22 1 x x m    恒成立． 令 2xt  ，则 (1,2)t  ，且 3 2 3 1 1 2 ( 1) ( 1) 1 tm t t t t t t t        ． 由于 1 2 1t t   在 (1,2) 上单调递减， 1 2 1 2 7 1 2 2 1 6t t      ， 7 6m „ ． 19．解：（1）函数 ( 0xy a a  且 1)a  在[1， 2]上的最大值与最小值之和为 20， 而函数 ( 0xy a a  且 1)a  在[1， 2]上单调递增或单调递减 2 20a a   ，得 4a  ，或 5a   （舍去） 4a  （2）证明： 4( ) 4 2 x xf x    1 1 4 4( ) (1 ) 4 2 4 2 x x x xf x f x       4 4 4 44 44 2 4 2 2 4 424 x xx x x x x        4 2 14 2 4 2 x x x    （3）由（2）知， 1 2010( ) ( ) 12011 2011f f  ， 2 2009( ) ( ) 12011 2011f f  ， 1005 1006( ) ( ) 12011 2011f f    1 2 3 2010( ) ( ) ( ) ( )2011 2011 2011 2011f f f f   1 2010 2 2009 1005 1006[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]2011 2011 2011 2011 2011 2011f f f f f f      1 1 1 1 1005       20．解：函数 ( ) ( 0x xf x ka a a   且 1)a  是定义域为 R 的奇函数，可得 (0) 0f  ，从而得 1 0k   ，即 1k  ． （1）由 f （1） 0 可得 1 0a a   ，解得 1a  ，所以 ( ) x xf x a a  是增函数， 由 ( 2) ( 4) 0f x f x    可得 ( 2) ( 4) (4 )f x f x f x      ， 所以 2 4x x   ，解得 1x  ， 即不等式的解集是 (1, ) ． （2） f （1） 3 2  得 1 3 2a a   ，解得 2a  ，故 2 2( ) 2 2 4x xg x    2(2 2 ) (2 2 ) 4(2 2 ) 2x x x x x x        ， 令 2 2x xt   ，它在[1， ) 上是增函数，故 3 2t… ，即 2 3( ) 4 2, 2g x t t t   … ． 此函数的对称轴是 32 2t  … ，故最小值为 22 4 2 2 2     ．