2022届高三数学一轮复习 第三章 函数专练12—对数函数

第三章函数专练 12—对数函数 一．单选题 1．若函数 ( ) 1 | | sinf x x x   ，则 1 1( 2) ( ) ( 5) ( ) (2 5f lg f lg f lg f lg    ) A． 6 B．6 C． 4 D．4 2．“天问一号”是我国自主研发的第一个火星探测器，于 2020 年 7 月 23 日发射升空，2021 年 2 月 10 日成功地进入火星轨道，并于 2021 年 3 月 4 日传来 3 幅高清火星影像图．已知火 星的质量 M 约为 236.4171 10 kg ，“天问一号”的质量 m 约为 35.34 10 kg ，则 (Mlg m  ) （参考数据： 2 0.30lg  ， 3 0.48lg  ， 5 0.70)lg  A．19.22 B．19.92 C．20.08 D．20.48 3．若 2 10a  ， 5log 10b  ，则 1 1 (a b   ) A．1 B．2 C．3 D．4 4． 1 2 1log 3a  ， 1 2 1log 5b  ， 1 31( )2c  ，则 ( ) A． a c b  B． c a b  C． c b a  D． a b c  5．当 1(0, )2x 时，函数 2( ) log ( 4 log )a af x x x   的图象恒在 x 轴下方，则实数 a 的取值范 围是 ( ) A． 2[ ,1)2 B． 2(0, )2 C．[ 2, ) D． (0,1) 6．设 ( ) | ( 1) |f x ln x  ，已知 f （a） f （b） ( )a b ，则 ( ) A． 0a b  B． 1a b  C． 2 0a b  D． 2 1a b  7．若 3 93 log 9 2loga ba b   ，则 ( ) A． 2a b B． 2a b C． 2a b D． 2a b 8．已知定义在 R 上的函数 ( )y f x 对任意的 x 都满足 ( 2) ( )f x f x  ，当 1 1x „ 时， 3( )f x x ．若函数 ( ) ( ) log | |ag x f x x  恰有 6 个不同零点，则 a 的取值范围是 ( ) A． 1(7 ， 1] (55  ， 7] B． 1(5 ， 1] (53  ， 7] C． 1(5 ， 1] (33  ， 5] D． 1(7 ， 1] (35  ， 5] 二．多选题 9．已知 3loga e ， 2log 3b  ， 3c ln ，则 ( ) A． a b c  B． a c b  C． a c b  D． a c b  10．已知函数 2( ) ( 4 5)f x lg ax x a    ，若对任意的 m R ，均存在 0x 使得 0( )f x m ，则 a 的可能取值为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．4 11．已知函数 ( ) log log ( )( 0a af x x a x a    ，且 1)a  ，则 ( ) A． ( )f x 定义域为 (0, )a B． ( )f x 的最大值为 2 2log 2a C．若 ( )f x 在 (0,2) 上单调递增，则1 4a „ D． ( )f x 图象关于直线 2 ax  对称 12．关于函数 ( ) | | 2 ||f x ln x  ，下列描述正确的有 ( ) A．函数 ( )f x 在区间 (1,2) 上单调递增 B．函数 ( )y f x 的图象关于直线 2x  对称 C．若 1 2x x ，但 1 2( ) ( )f x f x ，则 1 2 4x x  D．函数 ( )f x 有且仅有两个零点 三．填空题 13．方程 5 5log (4 11) 1 log (2 3)x x    的解为 x  ． 14． 3log 2 2 3log 3 log 4 ( 3)   ． 15．设函数 2( ) | ( 2) | ( )1f x ln x a Rax     ，若其定义域内不存在实数 x ，使得 ( ) 0f x „ ，则 a 的取值范围是 ． 16．函数 ( ) (2 2 1)x xf x lg a    的值域是 R ，则实数 a 的取值范围是 ． 四．解答题 17．计算： （1） 1 22 2log 8 9 ( 4)     ； （2） 1 42 2 3 1 10.25 ( ) 25 2 log 9 log 222 lg lg      ． 18．已知函数 ( ) log ( 0, 1)af x x a a   在[1，9] 上的最大值为 2． （1）求 a 的值； （2）若函数 21( ) ( )9g x f x m   存在零点，求 m 的取值范围． 19．已知对数函数 2( ) ( 5)logaf x a a x   ． （1）若函数 ( ) ( 2) (5 )g x f x f x    ，讨论函数 ( )g x 的单调性； （2）对于（1）中的函数 ( )g x ，若 [ 1x  ，3] ，不等式 2( ) log 3 0g x m  „ 的解集非空，求 实数 m 的取值范围． 20．已知函数 ( ) log (3 )( 0af x ax a   ，且 1)a  ． （1）求 ( )f x 的定义域． （2）是否存在实数 a ，使函数 ( )f x 在区间[1， 2]上单调递减，并且最大值为 2？若存在， 求出 a 的值；若不存在，请说明理由． 第三章函数专练 12—对数函数 答案 1．解： ( ) ( ) 2 2 | |f x f x x    ， 而 12 2lg lg  ， 15 5lg lg  ， 1 1( 2) ( ) ( 5) ( ) 2 2 2( 2 5) 62 5f lg f lg f lg f lg lg lg         ， 故选： B ． 2．解： 23 23(6.4171 10 ) 6.4171 10lgM lg lg lg    (2 3) 23 2 3 23 0.3 0.48 23 23.78lg lg lg          ， 3 3(5.34 10 ) 5.34 10 5 3 0.7 3 3.7lgm lg lg lg lg         ， 故 23.78 3.7 20.08Mlg lgM lgmm      ， 故选： C ． 3．解： 2 10a  ， 2 1log 10 2a lg    ， 又 5 110 5b log lg    1 1 2 5 10 1lg lg lga b      ． 故选： A ． 4．解： 1 2 2 1 log 33a log  ， 2 2 21 log 2 log 3 log 4 2    ， 1 2a   ， 1 2 2 2 1log log 5 log 4 25b     ， 2b  ， 1 3 3 1 1( ) 12 2 c    ， b a c   ， 故选： B ． 5．解：根据题意知 2( ) log ( 4 log ) 0a af x x x    对任意 1(0, )2x 恒成立， 当 1a  时，对任意 21(0, ), 4 log 02 ax x x    不满足题意； 当 0 1a  时，可得 24 log 1ax x   对任意 1(0, )2x 恒成立， 即 24 1alog x x  ， 1(0, )2x 结合单调性可知，只需 1 2log 2,2 2a a… … ， 又 0 1a  ，  2 12 a „ ，即 a 的取值范围是 2[ ,1)2 ． 故选： A ． 6．解：易知 ( 1)y ln x  在定义域上是增函数， 而 ( ) | ( 1) |f x ln x  ，且 f （a） f （b）； 故 ( 1) ( 1)ln a ln b    ， 即 0ab a b   ． 2( )0 4 a bab a b a b      ， 即 ( )( 4) 0a b a b    ， 显然 1 0a   ， 0b  ， 4 0a b    ， 0a b   ， 故选： A ． 7．解：设 3( ) 3 logxf x x  ，易知 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增，  2 3 33 log 3 loga ba b   ，  2 2 3 3 3(2 ) 3 log 2 3 log 3 log ( )b b af b b b a f a       ， 2b a  ， 故选： B ． 8．解：首先将函数 ( ) ( ) log | |ag x f x x  恰有 6 个零点，这个问题转化成 ( ) log | |af x x 的交 点来解决． 数形结合：如图， ( 2) ( )f x f x  ，知道周期为 2，当 1 1x  „ 时， 3( )f x x 图象可以画出 来，同理左右平移各 2 个单位，得到在 ( 7,7) 上面的图象， 以下分两种情况： （1）当 1a  时， log | |a x 如图所示，左侧有 4 个交点，右侧 2 个， 此时应满足 log 5 1 log 7a a „ ，即 log 5 log log 7a a aa „ ，所以 5 7a „ ． （2）当 0 1a  时， log | |a x 与 ( )f x 交点，左侧有 2 个交点，右侧 4 个， 此时应满足 log 5 1a … ，log 7 1a   ，即 log 5 log log 7a a aa „ ，所以 15 7a „ ．故 1 1 7 5a „ 综上所述， a 的取值范围是： 5 7a „ 或 1 1 7 5a „ ， 故选： A ． 9．解：因为 3log 1a e  ， 2 3log 3 3 12 ln lnln    则 b c a  ． 因为 3 1log 3 3 23a c e ln lnln       ， 2log 3 2b   ， 所以 a c b  ． 故选： BC ． 10．解：由题意可知，函数 2( ) ( 4 5)f x lg ax x a    的值域为 R ， 当 0a  时显然成立； 当 0a  时，要满足题意，只需 0 16 4 ( 5) 0 a a a       … ，解得 4a… 或 0 1a „ ， 综上，满足题意的实数 a 的取值范围为[0 ，1] [4 ， ) ． 故选： ABD ． 11．解：函数 ( ) log log ( )( 0a af x x a x a    ，且 1)a  ， 对于选项 A ，令 0x  且 0a x  ，解得 0 x a  ， 故函数 ( )f x 的定义域为 (0, )a ， 故选项 A 正确； 对于选项 B ， 2( ) log log ( ) log [( ) ] log ( )a a a af x x a x a x x x ax        ， 因为 2y x ax   图象开口向下，故 y 有最大值， 但若 0 1a  时，函数 logay x 单调递减，此时 ( )f x 无最大值， 故选项 B 错误； 对于选项 C ，若 ( )f x 在 (0,2) 上单调递增， ①当 0 1a  时，则 2y x ax   在 (0,2) 上单调递减， 故 02 a „ ，解得 0a„ ， 故不符合题意； ②当 1a  时，则 2y x ax   在 (0,2) 上单调递增， 故 22 a … ，解得 4a… ， 故选项 C 错误； 对于选项 D ， ( ) log log ( )a af x x a x   ， 则 ( ) log ( ) log ( )a af a x a x x f x     ， 所以 ( )f x 图象关于直线 2 ax  对称， 故选项 D 正确． 故选： AD ． 12．解：函数 ( ) | | 2 ||f x ln x  的图象如下图所示： 由图可得： 函数 ( )f x 在区间 (1,2) 上单调递增， A 正确； 函数 ( )y f x 的图象关于直线 2x  对称， B 正确； 根据图象，由 1 2x x ，但 1 2( ) ( )f x f x ，则 1 2x x 不一定等于 4， C 错误； 函数 ( )f x 有且仅有两个零点， D 正确． 故选： ABD ． 13．解： 5 5log (4 11) 1 log (2 3)x x    ，  4 11 0 2 3 0 4 11 2 35 x x x x           ， 解得 2x  ． 故答案为：2． 14．解：原式 3 2 2 32 3 2 ( 3) 2 2loglog log     ． 15．解：由题意，其定义域内任意实数 x ，使得 ( ) 0f x  ， 2( ) | ( 2) | 1f x ln x ax     ，解析式要有意义，则有 2 1 0 x ax      ， ①当 0a  时， ( ) | ( 2) | 2f x ln x   ，定义域为 ( 2, )  ，满足 ( ) 0f x  恒成立； ②当 1 2a   时， 4( ) | ( 2) | 2f x ln x x     ，定义域为 ( 2, )  ，满足 ( ) 0f x  恒成立； ③当 0a  时，有 2 01ax   在 ( 2, )  上恒成立， 所以 0 2 1 0 a a     ，解得 1 02 a   ； ④当 0a  时，在 x 略大 1 a 时，有 ( ) 0f x  ，不符合题意． 综上， a 的取值范围是 1[ 2  ， 0] ． 故答案为： 1[ 2  ， 0] ． 16．解：函数 ( ) (2 2 1)x xf x lg a    的值域是 R ， 必须满足： 2 2 1 0x x a    ， 即 1 (2 2 )x xa    ， 由于函数 ( ) 1 (2 2 )x xg x    的最大值为 1 ． 所以实数 a 的取值范围是 ( ， 1] ． 故答案为： ( ， 1] ． 17．解：（1）原式 1 23 43 3      ； （2）原式 2 3 1 1 70.5 5 2 2 3 2 1 24 8 8lg lg log log           ． 18．解：（1）由题意，当 1a  时，函数 ( ) logaf x x 在[1，9] 上单调递增， 因此 ( )maxf x f （9） log 9 2a  ，解得 3a  ； 当 0 1a  时，函数 ( ) logaf x x 在[1， 9] 上单调递减， 因此 ( )maxf x f （1） log 1 2a  ，无解． 综上， 3a  ． （2）由函数 21( ) ( )9g x f x m   存在零点，得关于 x 的方程 21( )9m f x  有解． 由（1）知 3( ) logf x x ，令 2 2 3 1 1( ) ( ) log ( )9 9F x f x x    ， 令 21 1(0, ]9 9t x   ， 所以 3 3( ) log log 9 2F x t   „ ，即 ( )F x 的值域为 ( ， 2] ． 所以 m 的取值范围为 ( ， 2] ． 19．解：（1）因为 2( ) ( 5)logaf x a a x   为对数函数， 所以 2 5 1a a   ，解得 2a  或 3a   ， 又因为 0a  且 1a  ， 故 2a  ， 所以 2( ) logf x x ， 因为函数 2 2( ) ( 2) (5 ) log ( 2) log (5 )g x f x f x x x        ， 所以有 2 0x   且5 0x  ，解得 2 5x   ， 则函数 ( )g x 的定义域为 ( 2,5) ， 2 2 2 2( ) ( 2) (5 ) ( 3 10)g x log x log x log x x        ， 因为函数 2 3 10y x x    在 3( 2, )2  上单调递增，在 3( ,5)2 上单调递减， 又函数 2logy x 在定义域上单调递增， 由复合函数的单调性可得， ( )g x 在 3( 2, )2  上单调递增，在 3( ,5)2 上单调递减； （2）因为 [ 1x  ， 3] ，不等式 2( ) log 3 0g x m  „ 的解集非空， 所以 2log 3 ( )minm g x … ， [ 1x  ， 3] ， 由（1）可得， ( )g x 在 3[ 1, ]2  上单调递增，在 3( ,3]2 上单调递减， 因为 2 2( 1) log 6 1 log 3g     ， g （3） 2log 10 ， 所以 2( ) 1 log 3ming x   ， 故 2 2log 3 1 log 3m  … ， 所以 1m… ， 故实数 m 的取值范围为[1， ) ． 20．解：（1）由题意可得 3 0ax  ，即 3ax  ， 因为 0a  ，所以解得 3x a  ． 故 ( )f x 的定义域为 3( , )a  ； （2）假设存在实数 a ，使函数 ( )f x 在区间[1， 2]上单调递减，并且最大值为 2． 设函数 ( ) 3g x ax  ，由 0a  ，得 0a  ， 所以 ( )g x 在区间[1， 2]上为减函数且 ( ) 0g x  恒成立， 则 g （2） 0 ，解得 30 2a  ， 又因为 ( )f x 在区间[1， 2]上单调递减， 所以 1a  ，即 31 2a  ， 又因为 ( )f x 在区间[1， 2]上的最大值为 2， 所以 ( )maxf x f （1） log (3 ) 2a a   ， 整理得 2 3 0a a   ，解得 13 1( 0)2a a  ． 因为 3 13 4  ，所以 13 1 3(1, )2 2a   ， 所以存在实数 13 1 2a  ，使函数 ( )f x 在区间[1， 2]上单调递减，并且最大值为 2．