2022届高三数学一轮复习 第四章 导数专练5—恒成立问题（1）

第四章 导数专练 5—恒成立问题（1） 1．已知函数 ( ) sin ( )cosf x x x a x   ，其中 ( 2a   ， )2  ． （Ⅰ）若曲线 ( )y f x 在 x a 处的切线过点 3(0, )2 ，求 a 的值； （Ⅱ）若 3( ) 1f x a  对 [ 2x   ， ]2  恒成立，求 a 的取值范围． 解：（Ⅰ） ( ) cos cos ( )sin ( )sinf x x x x a x x a x       ， f （a） 0 ， 曲线 ( )y f x 在 x a 处的切线方程为 3( ) sin 2y f a a   ， 又 ( 2a   ， )2  ，  3a  ； （Ⅱ）设 3( ) sin ( )cos 1, [ , ]2 2g x x x a x a x         ，则 ( ) ( )sing x x a x   ， 令 ( ) 0g x  ，解得 1x a 或 2 0x  ， ①当 02 a   时，令 ( ) 0g x  解得 ( , ) (0, )2 2x a    ，令 ( ) 0g x  解得 ( ,0)x a ， ( )g x 在 ( , ),(0, )2 2a  单调递增，在 ( ,0)a 单调递减，  3( ) (0) 1ming x g a a     ， 设 h （a） 3 1a a    ，令 h （a） 23 1 0a    ，解得 3 3a   ， h （a）在 3( , )2 3   上单减，在 3( ,0)3  上递增，  3 2 3( ) ( ) 1 03 9minh a h     ， (0) 0g  ， 当 02 a   时， 3( ) 1f x a  恒成立； ②当 0 2a „ 时， 3 3( ) sin( ) ( )cos( ) 1 02 2 2 2g a a a              „ ， 当 0 2a „ 时， 3( ) 1f x a  并非恒成立． 综上，实数 a 的取值范围为 ( ,0)2  ． 2．设函数 2( ) ( 3) (4 2 1)(f x ax lnx b x x a     ， )b R ，已知 f （1） 1 2  ，且曲线 ( )y f x 在点 (e ， f （e） ) 处的切线与直线 4 12 0x ey   垂直． （1）求 a ， b 的值； （2）若不等式 2 32 3 | ( ) | 2m m f x … 在 (0,1) 上恒成立，求 m 的取值范围． 解：（1） 2( ) ( 3) (4 2 1)(f x ax lnx b x x a     ， )b R ， ( ) ( 3) 2 (4 1)f x a lnx a b x       ，则 f （e） ( 3) 2 (4 1)a lne a b e     ， 又曲线 ( )y f x 在点 (e ， f （e） ) 处的切线与直线 4 12 0x ey   垂直， f  （e） ( 3) 2 (4 1) 4a lne a b e e      ， 又 f （1） 1 2  ，即 1(1) 1 ( 1 3) (4 2 1) 2f a ln b        ，  2 (4 1) 4 13 7 2 a b e e a b       ，解得 1 1 2 a b   ， 实数 a ， b 的值分别为 11, 2 ； （2）由（1）知， 21( ) 2( ) , ( ) 4 12f x xlnx x f x lnx x      ， ( )f x 在 (0, ) 单调递增，且 1 1 4( ) 1 2 0, ( ) 2 02f ln f e e        ， 存在 0 1 1( , )2x e  ，使得 ( ) 0f x  ，且当 00 x x  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 0(0, )x 上单调递减， 当 0 1x x  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 0(x ，1) 上单调递增， 由 0( ) 0f x  可得 0 01 4lnx x  ，故 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1( ) 2( ) 22 2f x x lnx x x x       ，  0 1 1( , )2x e  ，且 2 0 0 12 2y x x    在 1 1( , )2e 上单调递减，  0 1 1( ) ( )2 2f x f   ， 又当 0 1x  时， 0xlnx  ，  2 2 21 1 1 1( ) 2( ) 2( ) 2 (1 )2 2 2 2f x xlnx x x         ，  1| ( ) | 2f x  ，则 3| ( ) | 22f x   ， 当 0 1x  时， 2 32 3 | ( ) | 2m m f x … ， 22 3 2m m  … ，解得 2m… 或 1 2m „ ， 实数 m 的取值范围为 1( , ] [2, )2    ． 3．已知函数 2( ) (2 )f x lnx ax a x    ， 0a  ． （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）设 *a N ，若关于 x 的不等式 ( ) 1f x „ 在 (0, ) 上恒成立，求 a 的最小值． 解：（1）由题意得， 1 (2 1)( 1)( ) 2 2 ( 0)x axf x ax a xx x          ， 0a  ， 由 ( ) 0f x  ，得 10 x a   ，函数 ( )f x 在 1(0, )a 上单调递增； 由 ( ) 0f x  ，得 1x a  ，函数 ( )f x 在 1( , )a  上单调递减， 函数 ( )f x 在 1(0, )a 上单调递增，在 1( , )a  上单调递减； （2）由（1）可知，函数 ( )f x 在 1(0, )a 上单调递增， 1( , )a  上单调递减，  1 1 1( ) ( ) 1maxf x f lna a a     ， 又 ( ) 1f x  „ 在 (0, ) 上恒成立，  1 1( ) 1 1maxf x ln a a    „ ，即 1 1 0ln a a  „ ， 令 1t a  ，则 0t  ，设 ( )g t lnt t  ，则 ( ) 0g t „ ，  1 1( ) 1 0tg t t t      ， 函数 ( )g t 在 (0, ) 上单调递增，且 1 1 1( ) 0, (1) 1 02 2 2g ln g     ， 存在唯一的 0 1( ,1)2t  ，使得 0( ) 0g t  ，且当 0(0, )t t 时， ( ) 0g t  ；当 0(t t ， ) 时， ( ) 0g t  ，  0 10 ta  „ ，解得 0 1 (1,2)a t … ． *a N ， a 的最小值为 2． 4．已知函数 2( )f x x x lnx    ． （Ⅰ）求 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ）若对于任意的 (0, )x  ， 2( ) 1xf x mxe x „ 恒成立，求实数 m 的最小值． 解：（Ⅰ）由 2( )f x x x lnx    ， 得 21 2 1 (2 1)( 1)( ) 2 1 ( 0)x x x xf x x xx x x              ， 当 (0,1)x 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增， 当 (1, )x  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减， ( )f x 的增区间为 (0,1) ，减区间为 (1, ) ； （Ⅱ）对于任意的 (0, )x  ， 2( ) 1xf x mxe x „ 恒成立， 2 2 1xx x lnx mxe x    „ 恒成立，即 1 x x lnxm xe   … 恒成立． 令 1( ) x x lnxg x xe   ，则 2 ( 1)( )( ) x x x lnxg x x e     ， 令 ( )h x x lnx  ，则 ( )h x 在 (0, ) 上单调递增， 1 1( ) 1 0h e e    ， h （1） 1 0  ， 存在 0 1( ,1)x e  ，使得 0 0 0( ) 0h x x lnx   ， 当 0(0, )x x 时， ( ) 0h x  ， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增， 当 0(x x ， ) 时， ( ) 0h x  ， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减， 由 0 0 0x lnx  ，可得 0 0x lnx  ，  0 0 0 0 0 1( ) ( ) 1max x x lnxg x g x x e     ． 又 1 x x lnxm xe   … 恒成立， 1m … ， 故 m 的最小值为 1． 5．已知函数 的图象在 (x e e 为自然对数的底数）处的切线方程为 3 3 0x y e   ． （Ⅰ）求 a ， b 的值； （Ⅱ）当 1x  时， ( ) 2 ( *)1 f x e n n Nx    恒成立，求 n 的最大值． 解：（Ⅰ）由已知： ( ) 1f x a lnx    ， 由题意得： ( ) 3 3 0 ( ) 1 3 f e ae e b e e f e a lne             ， 解得： 1a  ， 2b e  ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知： ( ) 2f x x xlnx e   ， 当 1x  时， ( ) 2 ( *)1 f x e n n Nx    恒成立， 即 1 x xlnx nx   在 (1, ) 恒成立， 设 ( ) 1 x xlnxg x x   ， ( 1)x  ， 2 2( ) ( 1) x lnxg x x     ， 令 ( ) 2( 1)h x x lnx x    ，则 1 1( ) 1 0xh x x x      ， ( )h x 在 (1, ) 上单调递增， 又 h （3） 1 3 0ln   ， h （4） 2 2 2 0ln   ， ( )h x 存在唯一零点，设为 0x ， 0 (3,4)x  ， 令 ( ) 0h x  ，则 0x x ，令 ( ) 0h x  ，则 01 x x  ， 故 0(1, )x x 时， ( ) 0g x  ， 0(x x ， ) 时， ( ) 0g x  ， 故 ( )g x 在 0(1, )x 递减，在 0(x ， ) 递增， 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 1min x x lnxg x g x x     ， 0( ) 0g x  ， 0 0 2 0x lnx    ， 0 0 2lnx x   ， 0 0 0 0 0 ( 2)( ) (3,4)1min x x xg x xx      ， 0x n  ， n 的最大值是 3． 6．已知函数 21( ) ( 1)2f x lnx ax a x    ， a R ． （Ⅰ）讨论 ( )f x 的单调性； （Ⅱ）若 2 2 1( ) 2 2 xef x ax xe  „ 恒成立，求整数 a 的最大值． 解：（Ⅰ） ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 21 ( 1) 1 ( 1)( 1)( ) 1 ax a x ax xf x ax ax x x              ， （1）当 0a… 时， 1 0ax   ，由 ( ) 0f x  ，得 1x  ，由 ( ) 0f x  ，得 0 1x  ， ( )f x 的单调减区间为 (0,1) ，单调增区间为 (1, ) ； （2）当 1 0a   时， 1 1a   ，由 ( ) 0f x  ，得 0 1x  或 1x a   ，由 ( ) 0f x  ，得 11 x a    ， ( )f x 的单调减区间为 1(1, )a  ，单调增区间为 (0,1) 和 1( a  ， ) ； （3）当 1a   时， 1 1a  ， ( ) 0f x … 在 (0, ) 上恒成立， ( )f x 的单调增区间为 (0, ) ，无减区间； （4）当 1a   时， 10 1a   ，由 ( ) 0f x  ，得 10 x a    或 1x  ，由 ( ) 0f x  ，得 1 1xa    ， ( )f x 的单调减区间为 1( a  ，1) ，单调增区间为 1(0, )a  和 (1, ) ； 综上所述，当 1a   时， ( )f x 的单调减区间为 1( a  ，1) ，单调增区间为 1(0, )a  和 (1, ) ； 当 1a   时， ( )f x 的单调增区间为 (0, ) ，无减区间； 当 1 0a   时， ( )f x 的单调减区间为 1(1, )a  ，单调增区间为 (0,1) 和 1( a  ， ) ； 当 0a… 时， ( )f x 的单调减区间为 (0,1) ，单调增区间为 (1, ) ． （Ⅱ） 2 2 2 1 1( ) ( 1)2 2 2 xef x lnx ax a x ax xe      „ ， 故 2 2 2 2 x x e lnxe elnx ax ae x   „ „ ， 设 22( ) xe lnxeg x x   ，则 2 2 1 ( 1) 12( ) xx e lnxeg x x      ， 设 2 1( ) ( 1) 12 xh x x e lnxe     ，则 2 1 1( ) 02 xh x xee x     恒成立， ( )h x 在 (0, ) 上单调递增， h （1） 1 0   ， h （2） 1 11 2 1 02 2ln ln e       ， 0 (1,2)x  ，使得 0 0 0 02 1( ) ( 1) 1 02 xh x x e lnxe      ， 0 0 02 1 ( 1) 12 xlnx x ee     ， 0(0, )x x 时， ( ) 0h x  ，从而 ( ) 0g x  ， 0(0, )x x  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在 0(0, )x 上为减函数， 0(x x ， ) 时， ( ) 0h x  ，从而 ( ) 0g x  ， 0(x x  ， ) 时， ( )g x 在 0(x x ， ) 上为增函数， 0 02 0 0 2( ) ( ) x min e lnxeg x g x x     ，把 0 0 02 1 ( 1) 12 xlnx x ee     代入得： 0 0 002 2 0 2 0 0 1 ( 1) 1 12 2( ) 2 x x x e x e ee eg x x e x       ， 令 2 1( ) 2 xep x e x   ， (1,2)x ，则 ( )p x 为增函数， p （1） ( )p x p  （2）， p （1） 1 1 ( 1,0)2e     ， p （2） 0 ， 0( ) ( 1g x   ， 0) ， 整数 a 的最大值为 1 ． 7．已知函数 2( ) ( 1) ( 2) 1f x aln x x a x a       ， a R ． （Ⅰ）讨论 ( )f x 的单调性； （Ⅱ）若 ( )f x 存在极值，且 ( ) 0f x … 在 (1, ) 上恒成立，求 a 的取值范围． 解：（Ⅰ）根据题意可知， ( )f x 的定义域为 (1, ) ， 22 ( 4) 2( ) 1 x a xf x x      ， 令 2( ) 2 ( 4) 2g x x a x    ，其对称轴为 4 12 2 4 a ax     ， ①当1 14 a „ ，即 0a… 时， ( ) 0g x  在 (1, ) 上恒成立， ( )f x 在 (1, ) 上单调递增； ② 当 1 14 a  ， 即 0a  时 ， 令 ( ) 0g x  ， 得 △ 2 2( 4) 16 8 0a a a      恒 成 立 ， 2 2 1 2 4 8 4 81, 14 4 a a a a a ax x         ， 在 2(1, )x 上 ( ) 0g x  ，即 ( )f x 在 2(1, )x 上单调递减，在 2(x ， ) 上 ( ) 0g x  ，即 ( )f x 在 2(x ， ) 上单调递增； 综上所述，当 0a… 时， ( )f x 在 (1, ) 上单调递增；当 0a  时， ( )f x 在 24 8(1, )4 a a a   上 单调递减，在 24 8( , )4 a a a    上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，若 ( )f x 有极值，则 0a  ， ( ) 0f x … 在 (1, ) 上恒成立等价于 2 ( 1) 1 1 2 1 ln x x x x a      „ 恒成立， 令 21, ( ) , 0lnt tt x h t tt     ，则 3 1 2( ) t lnth t t    ， 令 ( ) 1 2t t lnt    ，则 2( ) 1 0t t      ， ( )t 在 (0, ) 上单调递减，  （1） 0 ， 当 (0,1)t  时， ( ) 0t  ， ( )h t 在 (0,1) 上单调递增，当 (1, )t   时， ( ) 0t  ， ( )h t 在 (1, ) 上单调递减， ( )h t h „ （1） 1 ，即 11 a „ ，解得 1 0a „ ． 8．已知函数 2( ) ( 1) 2f x a x lnx   ， a R ． （Ⅰ） 2a  时，求在 (1， f （1） ) 处的切线方程； （Ⅱ）讨论 ( )f x 的单调性； （Ⅲ）证明：当 1a… 时， 1( ) ( 1)f x ax ax   … 在区间 (1, ) 上恒成立． 解：（Ⅰ） 2a  时， 2( ) 2( 1) 2f x x lnx   ， 2( ) 4f x x x    ， f （1） 2 ， f （1） 0 ， 故切线方程是： 0 2( 1)y x   ，即 2( 1)y x  ． （Ⅱ） 2( ) ( 1) 2f x a x lnx   ， 22 2 2( ) 2 ( 0)axf x ax xx x      ， ①当 0a„ 时， ( ) 0f x  在 (0, ) 上恒成立， ( )f x 在 (0, ) 上单调递减， ②当 0a  时，由 ( ) 0f x  ，得 1x a  ， 当 1(0, )x a  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 递减， 当 1(x a  ， ) 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 递增， 综上： 0a„ 时， ( )f x 在 (0, ) 上单调递减， 0a  时， ( )f x 在 1(0, )a 递减，在 1( a ， ) 递增． （Ⅲ）证明：当 1a… 时， 1( ) ( 1)f x ax ax   … ， 即 2 12 1 0ax ax lnx x     … 在 (1, ) 上恒成立， 令 2 1( ) 2 1h x ax ax lnx x      ， ( 1)x  ， 则 2 2 1( ) 2h x ax a x x      ， 3 2( ) 2 ( 1)h x a xx     ， 由于 1a… ， 1x  ，则 ( ) 0h x  ， 故 ( )h x 在 (1, ) 上单调递增， 而 h （1） 1 0a  … ，则 ( )h x 在 (1, ) 上单调递增， 故 ( )h x h （1） 0 ， 故当 1a… 时， 1( ) ( 1)f x ax ax   … 在区间 (1, ) 上恒成立．