2022届高三数学一轮复习 第四章 导数专练1—讨论单调性

第四章 导数专练 1—讨论单调性 1．已知函数 ( ) xa ef x alnxx   ， a R ．若 a e ，求函数 ( )f x 的单调区间； 解： ( ) xa ef x alnxx   ， 2 (1 )( )( ) xx e af x x     ， 当 1a„ 时，令 ( ) 0f x  ，得： 1x  ；令 ( ) 0f x  ，得 0 1x  ； 当1 a e  时，令 ( ) 0f x  ，得： 0 x lna  或 1x  ， 令 ( ) 0f x  ，得 1lna x  ； 因此，当 1a„ 时， ( )f x 在 (0,1) 递增，在 (1, ) 递减； 当1 a e  时， ( )f x 在 (0, )lna ， (1, ) 递减；在 ( ,1)lna 递增． 2．已知函数 ( ) xf x e ax  ， 21( ) 2g x ax ax x   ． （Ⅰ）讨论函数 ( )f x 的单调性； 解： ( ) xf x e a   ，............（1 分） 当 0a„ 时， ( ) xf x e a   在 R 上恒成立， ( )f x 在 ( , )  上是递增的，............（2 分） 当 0a  时，令 ( ) 0f x  ，则 x lna ，令 ( ) 0f x  ，则 x lna ， ( )f x 在 ( , )lna 上递减，在 ( , )lna  上递增，.........（4 分） 综上所述，当 0a„ 时， ( )f x 是 ( , )  上的增函数． 当 0a  时， ( )f x 在 ( , )lna 是减函数，在 ( , )lna  上是增函数．（5 分） 3．已知函数 2( ) (2 1)f x lnx ax a x    ．若 ( )f x 在 (1, ) 上单调，求 a 的取值范围； 解： ( )f x 的定义域是 (0, ) ，故 ( )f x 在 (1, ) 上有定义， 21 2 (2 1) 1 (2 1)( 1)( ) 2 (2 1) ax a x ax xf x ax ax x x            ， 当 0a  时， 1( ) xf x x   ，当 (1, )x  时， ( ) 0f x  ，故 ( )f x 在 (1, ) 上单调递减，满足 题意； 当 0a  时，令 ( ) 0f x  ，得 1x  或 1 2x a  ， 由题 ( )f x 在 (1, ) 上单调，只需 1 12a„ ，解得 0a  或 1 2a… ， 综上， a 的取值范围为 ( ， 10] [ 2 ， ) ． 4．已知函数 1( ) ( )xf x e ax a a R    ． （1）讨论 ( )f x 的单调性； 解： 1( ) xf x e ax a   的定义域是 R ， 1( ) xf x e a   ， 当 0a… 时， ( ) 0f x  在 R 上恒成立，故 ( )f x 在 R 上单调递增；........2 分 当 0a  时，令 ( ) 0f x  ，得 ( ) 1x ln a   ，在 ( ， ( ) 1)ln a  上有 ( ) 0f x  ，在 ( ( ) 1ln a  ， ) 上有 ( ) 0f x  ， ( )f x 在 ( ， ( ) 1)ln a  上是减函数，在 ( ( ) 1ln a  ， ) 上是增函数.......4 分 5．已知函数 ( ) | | ( 0)f x lnx ax a   ．讨论函数 ( )f x 的单调性； 解：函数 ( )f x 的定义域是 (0, ) ， 由 , 1( ) | | ,0 1 lnx ax xf x lnx ax lnx ax x        … ， 得 1 , 1 ( ) 1 ,0 1 a xxf x a xx         … ， 由于 0a  ，则 1 0ax    ，即在区间 (0,1) 上， ( ) 0f x  ， ( )f x 递减， 当 1 0a   时， x ， ( )f x ， ( )f x 的变化如下： x 1(1, )a  1 a  1( a  ， ) ( )f x  0  ( )f x 递增 极大值 递减 当 1a „ 时， 1 0ax  „ ，即在区间[1， ) 上， ( ) 0f x „ ， ( )f x 递减， 综上：当 1 0a   时， ( )f x 在 (0,1) 递减，在区间 1(1, )a  上递增，在 1( a  ， ) 递减， 当 1a „ 时，函数 ( )f x 在区间 (0, ) 上单调递减． 6．已知函数 ( ) ( )xf x xlnx me m R   ．当 1m e  时，求函数 ( )f x 的单调区间； 解：（1）函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 当 1m e  时， 1( ) xf x xlnx e   ，则 1( ) 1 xf x lnx e     ， 记 1( ) 1 xg x lnx e    ，则 11( ) xg x ex    ， 显然 ( )g x 在 (0, ) 上单调递减，且 g （1） 0 ， 所以当 (0,1)x 时， ( ) 0g x  ，函数 ( )g x 单调递增， 当 (1, )x  时， ( ) 0g x  ，函数 ( )g x 单调递减， 所以 ( )g x g„ （1） 1 1 1 0ln    ，即 ( ) 0f x „ 恒成立， 所以函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减， 所以函数 ( )f x 的单调递减区间为 (0, ) ，无单调递增区间． 7．已知函数 2( ) 3f x alnx x x a    ．讨论函数 ( )f x 的单调性； 解： ( )f x 的定义域是 (0, ) ， 22( ) 2 1a x x af x xx x        ， 对于 22 ( 0)y x x a x     ， ①△ 1 8 0a  „ 即 1 8a „ 时， ( ) 0f x „ 在 (0, ) 恒成立，故 ( )f x 在 (0, ) 递减， ②△ 0 时， 1 08 a  „ 时，令 22 0x x a    ， 解得： 1 1 1 8 04 ax   „ （舍 ) ， 2 1 1 8 4 ax   ， 故 1 1 8(0, )4 ax   时， ( ) 0f x  ， 1 1 8( 4 ax   ， ) 时， ( ) 0f x  ， 故 ( )f x 在 1 1 8(0, )4 a  递增，在 1 1 8( 4 a  ， ) 递减， 0a  时，令 22 0x x a    ， 解得： 1 1 1 8 4 ax   ， 2 1 1 8 4 ax   ， 故 1 1 8(0, )4 ax   时， ( ) 0f x  ， 1 1 8( 4 ax   ， 1 1 8 )4 a  时， ( ) 0f x  ， 1 1 8( 4 ax   ， ) 时， ( ) 0f x  ， 故 ( )f x 在 1 1 8(0, )4 a  递减，在 1 1 8( 4 a  ，1 1 8 )4 a  递增，在 1 1 8( 4 a  ， ) 递减； 综上： 1 8a „ 时， ( )f x 在 (0, ) 递减， 1 08 a  „ 时， ( )f x 在 1 1 8(0, )4 a  递增，在 1 1 8( 4 a  ， ) 递减， 0a  时， ( )f x 在 1 1 8(0, )4 a  递减，在 1 1 8( 4 a  ，1 1 8 )4 a  递增，在 1 1 8( 4 a  ， ) 递减． 8．已知 2 ( ) (1 )2 xf x a x alnx    ，其中 a 为实数． （1）若 1a  ，求曲线 ( )f x 在 1x  处的切线方程； （2）讨论 ( )f x 的单调性． 解：（1）若 1a  ，则 2 ( ) 2 ( 0)2 xf x x lnx x    ， 1( ) 2f x x x     ， 设曲线 ( )f x 在 1x  处的切线方程的斜率为 k ， 则 1 1 1( ) | ( 2 ) | 0x xk f x x x       ，又 f （1） 1 322 2     ， 所以， ( )f x 在 1x  处的切线方程为： 3( ) 02y    ，即 3 2y   ； （2） 2 ( 1) ( 1)( )( ) ( 1) ( 0)a x a x a x x af x x a xx x x             ， ①当 0a„ 时， (0,1)x ， ( ) 0f x  ， (1, )x  ， ( ) 0f x  ， 故 ( )f x 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增； 同理可得， ②当 0 1a  时， ( )f x 在 (0, )a ， (1, ) 上单调递增，在 ( ,1)a 上单调递减； ③当 1a  时，在 (0, ) 上单调递增； ④当 1a  时，在 (0,1) ， ( , )a  上单调递增，在 (1, )a 上单调递减； 综上所述， 当 0a„ 时， ( )f x 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增； 当 0 1a  时， ( )f x 在 (0, )a ， (1, ) 上单调递增，在 ( ,1)a 上单调递减； 当 1a  时，在 (0, ) 上单调递增； 当 1a  时，在 (0,1) ， ( , )a  上单调递增，在 (1, )a 上单调递减． 9．已知函数 ( ) xf x xe ax  ．若 ( )f x 在 R 上单调递增，求 a 的取值范围； 解： ( ) x xf x e xe a    ， 因为 ( )f x 在 R 上单调递增， 所以 ( ) 0f x … 恒成立，所以 x xa e xe„ ， 令 ( ) x xh x e xe  ，则 ( ) ( 2)xh x e x   ， 令 ( ) 0h x  ，可得 2x   ，令 ( ) 0h x  ，可得 2x   ， 所以 ( )h x 在 ( , 2)  上单调递减，在 ( 2, )  上单调递增， 所以 ( )h x 的最小值为 2( 2)h e   ， 所以 2a e„ ，即 a 的取值范围是 ( ， 2 ]e ． 10．已知函数 ( ) 1( )xf x e axlnx a R    ， 2( ) xg x xe x  ．当 1a  时，求证： ( )f x 在 (0, ) 上单调递增； 解：证明：当 1a  时， ( ) 1xf x e axlnx   ， (0, )x  ， 则 ( ) 1xf x e lnx    ，又 1( ) xf x e x    在 (0, ) 上单调递增，且 1( ) 2 02f e    ，且 f  （1） 1 0e   ， 0 1(2x  ，1) ，使得 0 0 0 1( ) 0xf x e x     ， 当 0(0, )x x 时， ( ) 0f x  ，当 0(x x ， ) 时， ( ) 0f x  ， ( )f x  在 0(0, )x 上单调递减，在 0(x ， ) 上单调递增， 0 0 0( ) ( ) 1xf x f x e lnx     … ，  0 0 1 0xe x   ，  0 0 1xe x  ， 0 0lnx x  ， 0 0 1( ) 1 0f x x x       ， ( )f x 在 (0, ) 上单调递增；