2022年高考数学一轮复习讲练测2.1 函数及其表示（新高考浙江）（讲）解析版

1 / 11 2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江） 第一章 函数 专题 2.1 函数及其表示（讲） 【考试要求】 1．了解函数、映射的概念，会求简单的函数的定义域和值域。 2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法。 3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题。 【高考预测】 1．分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质． 2．函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查. 3.通过确定函数的定义域考查函数概念的理解及函数的表示方法； 4.以分段函数为背景考查函数的相关性质问题. 【知识与素养】 知识点 1．函数与映射的概念 函数 映射 两个集合 A，B 设 A，B 是两个 非空数集 设 A，B 是两个 非空集合 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系 f，使 对于集合 A 中的任意一个数 x，在 集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和 它对应 如果按某一个确定的对应关系 f，使对于 集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 名称 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 映射 记法 函数 y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B 【典例 1】（2020·浙江宁波市·高三期中）给出下列四组函数：①  2y x x R ，  22s t t R ； ②  1 1y x x    ，  2 1 1u v v    ；③   1,0,1y x x   ，   3 1,0,1m n n   ； ④   2 0,1y x x  ，   2 1 0,1y x x   .其中，表示相同函数．．．．的组的序号是（ ） A．①③④ B．①② C．①③ D．① 【答案】C 2 / 11 【解析】 根据两函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相同函数. 【详解】 对于①：  2y x x R ，  22 2s t t t  R ， 两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数； 对于②：  1 1y x x    ，  2 1 1u v v    ， 两函数的定义域相同，对应关系不同，不是相同函数； 对于③：   1,0,1y x x   ，   3 1,0,1m n n   ， 两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数； 对于④：   2 0,1y x x  ，   2 1 0,1y x x   ， 两函数的定义域相同，对应关系不同，不是相同函数； 故选：C. 【易混辨析】 判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同． 知识点 2．函数的定义域、值域 (1)在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 【典例 2】（广东高考真题）函数   1xf x x  的定义域是______． 【答案】   1,0 0,    【解析】 由根式内部的代数式大于等于 0 且分式的分母不等于 0 联立不等式组求解 x 的取值集合得答案． 【详解】 由 1 0 0 x x    ，得 1x   且 0x  ． 函数   1xf x x  的定义域为：   1,0 0,   ； 3 / 11 故答案为   1,0 0,   ． 【总结提升】 1.已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若 f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取 值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2．抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b 求出． (2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域． 知识点 3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段 函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几 个部分组成，但它表示的是一个函数. 【典例 3】（2021·浙江高三专题练习）已知函数 2, ( 0)( ) 2 ( 2),( 0) x xf x f x x      ，则  3f ___________ . 【答案】 4 【解析】 推导出 f （3） 2 f （1） 4 ( 1)f  ，由此能求出结果． 【详解】 函数 2,( 0)( ) 2 ( 2),( 0) x xf x f x x     „ ， f （3） 2 f （1） 4 ( 1) 4( 1 2) 4f      ． 故答案为：4． 【易错提醒】 因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值 时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值． 【重点难点突破】 考点 1 映射与函数的概念 4 / 11 例 1. （2021·贵州贵阳市·高三二模（理））对于函数 ( )y f x ，部分 x 与 y 的对应关系如下表： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … y … 3 7 5 9 6 1 8 2 4 … 数列 nx 满足： 1 1x  ，且对于任意 *n N ，点  1,n nx x  都在函数 ( )y f x 的图象上，则 1 2 2021.x x x    （ ） A．7576 B．7575 C．7569 D．7564 【答案】A 【解析】 由表格对应关系，依次求解 nx ，发现周期特点，再并项求和. 【详解】 1 1x  ， 2 1( ) (1) 3x f x f   ， 3 2( ) (3) 5x f x f   ， 4 3( ) (5) 6x f x f   ， 5 4( ) (6) 1x f x f   ，  ， 数列 nx 满足 4 3 4 2 4 1 41, 3, 5, 6( )k k k kx x x x k N         ， 则 1 2 2021. 505 (1 3 5 6) 1 7576x x x          . 故选：A. 【规律方法】 1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合 A 中元素的任意性，集合 B 中元素的唯一性”． 2. 判断一个对应 f：A→B 是否为函数，一看是否为映射；二看 A ， B 是否为非空数集．若是函数，则 A 是 定义域，而值域是 B 的子集． 3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断 定义域、对应关系是否分别相同． 【变式探究】 （2021·全国高三专题练习）如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________． 5 / 11 【答案】[－1，2] [－1，1) 【解析】 根据图象分段求出定义域和值域，然后求并集可得结果. 【详解】 由图象可知，第一段的定义域为[－1，0)，值域为[0，1)； 第二段的定义域为[0，2]，值域为[－1，0]． 所以该分段函数的定义域为[－1，2]，值域为[－1，1)． 故答案为：[－1，2]；[－1，1) 考点 2 求函数的定义域 例 2.（2021·北京高三一模）函数 ( ) ln(2 ) 1f x x x   的定义域为_____. 【答案】 (0,1] 【解析】 利用对数和偶次根式有意义的条件限制列不等式，计算即得结果． 【详解】 依题意知，函数有意义，则需 1 0 2 0 x x     ，解得 0 1x  ，故定义域为 (0,1]． 故答案为： (0,1]． 【规律方法】 函数 f(x)由一些基本初等函数通过四则运算构成时，它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．即根 据偶次根式下被开方数非负以及分母不为零列方程组，解方程组得定义域. 【变式探究】 （2021·浙江高三学业考试）函数 1( ) 3 2f x x x     的定义域是（ ） A．[ 3, )  B． ( 3, )  6 / 11 C．[ 3, 2) ( 2, )    D．[ 3,2) (2, )   【答案】C 【解析】 根据函数解析式，列不等式组 3 0 2 0 x x      求解即可. 【详解】 根据题意可得 3 0 2 0 x x      ，所以    3, 2 2,x     . 故选：C. 考点 3 求函数的解析式 例 3.（2021·浙江高三专题练习）若一次函数 ( )f x 满足 ( ( )) 2f f x x  ，则 ( )f x  _________． 【答案】 1x  【解析】 设 ( )f x kx b  ，利用 ( ( )) 2f f x x  可得 ,k b 的值，从而可求 ( )f x 的解析式. 【详解】 设 ( )f x kx b  ，则    2( ( )) 1f f x k kx b b k k b      ， 故 2 1 ( 1) 2 k k b      ，故 1, 1k b  ，故 ( ) 1f x x  ， 故答案为： 1x  . 【规律方法】 1.已知函数类型，用待定系数法求解析式． 2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示． 3.已知 ( )f x 求 [ ( )]f g x ，或已知 [ ( )]f g x 求 ( )f x ，用代入法、换元法或配凑法． 4.若 ( )f x 与 1( )f x 或 ( )f x 满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解． 【变式探究】 （2021·浙江高一期末）已知函数   1f x x   ，    21g x x  ， xR ． 7 / 11 （1）在图1中画出函数  f x ，  g x 的图象； （2）定义： x R  ，用  m x 表示  f x ，  g x 中的较小者，记为       min ,m x f x g x ，请分别 用图象法和解析式法表示函数  m x ．（注：图象法请在图 2 中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明） 【答案】（1）图象见解析；（2）          2 1, ,0 1, 1 , 0,1 x x m x x x          ；图象见解析. 【解析】 （1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果； （2）根据  m x 定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象. 【详解】 （1）  f x ，  g x 的图象如下图所示： （2）当 0x  时， 21 1x x    ，则     1m x f x x    ； 当 0 1x  时，  21 1x x    ，则      21m x g x x   ； 当 1x 时，  21 1x x    ，则     1m x f x x    ； 8 / 11 综上所述：          2 1, ,0 1, 1 , 0,1 x x m x x x          .  m x 图象如下图所示： 考点 4 分段函数及其应用 例 4.（2018 年新课标 I 卷）设函数  ，    ，   晦 ，则满足 的 x 的取值范围是 A.  ，   B.  ，   C.  ，   D.  ，   【答案】D 【解析】将函数 函 的图象画出来，观察图象可知会有 ，解得 ，所以满足 的 x 的取值范围是  ，   ，故选 D. 例 5．（2021·四川成都市·高三二模（文））已知函数   2 , 1 2 1, 1x x x xf x x       ，若   2f a  ，则 a 的值为______． 【答案】 1 ； 【解析】 根据函数的解析式，分类讨论，列出方程，即可求解. 【详解】 9 / 11 由题意，函数   2 , 1 2 1, 1a x x xf x x       ， 当 1a  时，由   2f a  ，可得 2 2a a  ，解得 1a   或 2a  （舍去）； 当 1a  时，由   2f a  ，可得 2 1 2a   ，即 2 1a  ，解得 0a  （舍去）， 综上可得，实数 a 的值为 1 . 故答案为： 1 . 【总结提升】 1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则； 2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”. 【变式探究】 1.（2019·浙江绍兴市·高三学业考试）函数 f(x)= 2 2 3 0 0 x x x x      ， ， 若 a 0 b  ，且 f(a)=f(b)，则 f(a+b)的取 值范围是_______. 【答案】 1,  【解析】 设    f a f b t  ，利用数形结合从而可得 0t  ，进而可得  21 1 1 12a b t       ，再利用函数 的单调性即可求解. 【详解】 设    f a f b t  ，作出  f x 的图像， 由图可知， 0t  ， 由   2f a a t  ，得 a t ， 10 / 11 由   2 3f b b t    ，得 3 2 tb   ， 则 3 1 3 2 2 2 ta b t t t         21 1 12 t    ， 0t  ， 0t  ， 则  21 2 1 1 12a b       ， 此时    2 3 2 3 1f a b a b         ， 即 f(a+b)的取值范围是 1,  . 故答案为： 1,  . 2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数 f(x)= 2 4, 4 3, x x x x x         ，当λ=2 时，不等式 f(x)