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专题 3.7 函数的图象
新课程考试要求 会运用函数图象理解和研究函数的性质.
核心素养
培养学生数学运算（例 11）、逻辑推理（例 5—8 等）、数据分析、直观想象（多例）
等核心数学素养.
考向预测
1．函数图象的辨识
2．函数图象的变换
3.主要有由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、
数形结合解决不等式、方程等问题．常常与导数结合考查. 应特别注意两图象交点、函
数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用.
【知识清单】
1．利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；
(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象 ――→关于 x 轴对称
y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象 ――→关于 y 轴对称
y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象 ――→关于原点对称
y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象 ――→关于直线 y＝x 对称
y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x) ――→纵坐标不变
各点横坐标变为原来的1
a
（a>0）倍y＝f(ax).
y＝f(x) ――→横坐标不变
各点纵坐标变为原来的 A（A>0）倍y＝Af(x).
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(4)翻转变换
y＝f(x)的图象 ――→x 轴下方部分翻折到上方
x 轴及上方部分不变 y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象 ――→y 轴右侧部分翻折到左侧
原 y 轴左侧部分去掉，右侧不变y＝f(|x|)的图象.
【考点分类剖析】
考点一 ：作图
【典例 1】（2021·全国高一课时练习）在同一平面直角坐标系中画出函数 f x x 与 1g x x 的图象，
并利用图象求不等式 1x x 的解集．
【答案】作图见解析； 3 50 2
， ．
【解析】
根据幂函数与一次函数的性质，画出两函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】
由题意，函数 f x x 与 1g x x ，画出图象，如图所示：
根据 1x x ，解得 3 5
2x ．
利用图象知不等式 1x x 的解集 3 50 2
， ．
【典例 2】(2018 年全国卷Ⅲ理)设函数
䁣 ′ 䁣 ′
．
（1）画出
的图象；
（2）当
，
䁣
，
䁣 ′
，求
䁣 ′
的最小值．
．关键点直接作出
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的
函数图象的画法
【规律方法】
．
的最小值为
䁣 ′
成立，因此
䁣 ݔ
在
ሺݔ 䁣 ′
时，
′
且
仅当
，故当且
，且各部分所在直线斜率的最大值为
轴交点的纵坐标为
的图像与
ሺݔ
（2）由（1）知，
的图象如图所示．
ሺݔ
′
′
′
䁣
′
ሺݔ
（1）
【解析】
答案】（1）见解析；（2）】
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(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
【变式探究】
1.（2020·全国高一）已知 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 0x 时， ( ) ( 2)f x x x
（1）在给定坐标系下画出 ( )f x 的图像，并写出 ( )f x 的单调区间.
（2）求出 ( )f x 的解析式.
【答案】（1）图像见详解，单调递减区间为 ( ]1,1 ，单调递增区间为 ( , 1] ， (1, ) ；
（2）
2
2
2 , 0( )
2 , 0
x x xf x
x x x
＜
【解析】
（1） ( )f x 的图像如图所示：
可得其单调递减区间为 ( ]1,1 ，单调递增区间为 ( , 1] ， (1, ) ；
（2）当 0x 时， ( ) ( 2)f x x x ，且 ( )f x 为奇函数，
可得当 0x＜ 时， 2( ) ( ) [ ( 2)] ( 2) 2f x f x x x x x x x
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故可得 ( )f x 的解析式为：
2
2
2 , 0( )
2 , 0
x x xf x
x x x
＜ .
2.（2020·全国高一）在学习函数时，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质——运用
函数解决问题“的学习过程，在画函数图象时，我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象．同
时，我们也学习过绝对值的意义
0
0
a aa a a
．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：
在函数 1y kx b 中，当 0x 时， 2y ；当 1x 时， 3y ．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出此函数的图象并写出这个函数的两条性质；
（3）在图中作出函数 3y x
的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 31kx b x
的解集．
【答案】（1） 1 3y x ；（2）图象、性质见解析；（3） 3,0 1,3 ．
【解析】
（1）将点 0, 2 、 1, 3 的坐标代入函数 1y kx b 的解析式，得
1 2
1 3
b
k b
，解得 1
3
k
b
,
所以，函数的解析式为 1 3y x ；
（2）图象如下：
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函数 1 3y x 的图象关于直线 1x 对称，该函数的单调递减区间为 ,1 ，单调递增区间为 1, ，
最小值为 3 ；
（3）图象如下，
观察图象可得不等式 31 3x x
的解集为： 3,0 1,3 ．
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考点二：图象的变换
【典例 3】（2021·浙江绍兴市·高三三模）函数 1 2 2 2xf x e x x 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
根据 21 1 1xf x e x ，得到 f x 的图象关于 1x 对称，再利用特殊值判断.
【详解】
因为 21 12 2 2 1 1x xf x e x x e x ，
所以 f x 的图象关于 1x 对称，
又 0 2 0f e ，
故选：B
【典例 4】分别画出下列函数的图象：
11 1 2 2 1( 3 1| ) | ||xy lg x y f x lg x＋＝ － ； ＝ －； ＝ －
【答案】见解析
【解析】 (1)首先作出 y＝lg x 的图象 C1，然后将 C1 向右平移 1 个单位，得到 y＝lg(x－1)的图象 C2，再把
C2 在 x 轴下方的图象作关于 x 轴对称的图象，即为所求图象 C3：y＝|lg(x－1)|.如图 1 所示(实线部分).
(2)y＝2x＋1－1 的图象可由 y＝2x 的图象向左平移 1 个单位，得 y＝2x＋1 的图象，再向下平移一个单位得到，
如图 2 所示.
(3) 第一步作 y＝lgx 的图像．
第二步将 y＝lgx 的图像沿 y 轴对折后与原图像，同为 y＝lg|x|的图像．
第三步将 y＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得 y＝lg|x－1|的图像
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第四步将 y＝lg|x－1|的图像在 x 轴下方部分沿 x 轴向上翻折，得 1||f x lg x＝ － 的图像，如图 3．
【规律方法】
1．平移变换
当 m>0 时，y＝f(x－m)的图象可以由 y＝f(x)的图象向右平移 m 个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由 y＝
f(x)的图象向左平移 m 个单位得到；y＝f(x)＋m 的图象可以由 y＝f(x)的图象向上平移 m 个单位得到；y＝
f(x)－m 的图象可以由 y＝f(x)的图象向下平移 m 个单位得到．
2．对称(翻折)变换
y＝f(|x|)的图象可以将 y＝f(x)的图象位于 y 轴右侧和 y 轴上的部分不变，原 y 轴左侧部分去掉，画出 y
轴右侧部分关于 y 轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将 y＝f(x)的图象位于 y 轴上方的部分不变，
而将位于 y 轴下方的部分翻折到 y 轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将 y＝f(x)的图象关于 x 轴对称而得到．y
＝f(－x)的图象可由 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称得到．
【变式探究】
1.（2021·北京高三二模）已知指数函数 xf x a ，将函数 f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐
标扩大为原来的3倍，得到函数 g x 的图象，再将 g x 的图象向右平移 2 个单位长度，所得图象恰好与
函数 f x 的图象重合，则 a 的值是（ ）
A． 3
2 B． 2
3 C． 3
3
D． 3
【答案】D
【解析】
根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数 a 的等式，进而可求得实数 a 的
值.
【详解】
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由题意可得 3 xg x a ，再将 g x 的图象向右平移 2 个单位长度，得到函数 23 xf x a ，
又因为 xf x a ，所以， 23x xa a ，整理可得 2 3a ，
因为 0a 且 1a ，解得 3a .
故选：D.
2．（2020·上海高一课时练习）已知 ( )y f x 的图像如图①，则 ( )y f x 的图像是_________；
( ) y f x 的图像是_________； (| |)y f x 的图像是_________； | ( ) |y f x 的图像是________．
【答案】④ ③ ⑤ ②
【解析】
因为 ( )y f x 的图像与 ( )y f x 的图像关于 y 轴对称，故 ( )y f x 的图像是④
因为 ( )y f x 的图像与 ( )y f x 的图像关于 x 轴对称，故 ( )y f x 的图像是③
当 0x 时， (| |)y f x 的图像与 ( )y f x 的图像相同，然后 (| |)y f x 是偶函数，
故 (| |)y f x 的图像是⑤
保留 ( )y f x 图像在 x 轴上方的部分，将 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方，得到的图像就是 | ( ) |y f x 的
图像
故 | ( ) |y f x 的图像是②
故答案为：④，③，⑤，②
考点三：图象的识别
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【典例 5】（2021·四川高三三模（理））函数 logaf x x b 及 g x bx a ，则 y f x 及 ( )y g x=
的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
讨论 0 1a 、 1a 确定 logaf x x b 的单调性和定义域、 g x bx a 在 y 轴上的截距，再讨
论 0b 、 0b ，结合 g x bx a 的单调性，即可确定函数的可能图象.
【详解】
当 0 1a 时， 1 0t x b
单调递减， ( ) log af t t 单调递减，所以 1( ) logaf x x b
单调递增且定义
域为 ( , )b ，此时 g x bx a 与 y 轴的截距在 (0,1) 上，排除 C.
当 1a 时， 1 0t x b
单调递减， ( ) log af t t 单调递增，所以 1( ) logaf x x b
单调递减且定义域为
( , )b ，此时 g x bx a 与 y 轴的截距在 (1, ) 上.
∴当 0b 时， g x 单调递增；当 0b 时， g x 单调递减，故只有 B 符合要求.
故选：B.
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【典例 6】（2019·全国高考真题（理））函数
32
2 2x x
xy
在 6,6 的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
设
32( ) 2 2x x
xy f x
，则
3 32( ) 2( ) ( )2 2 2 2x x x x
x xf x f x
，所以 ( )f x 是奇函数，图象关于原点
成中心对称，排除选项 C．又
3
4 4
2 4(4) 0,2 2f
排除选项 D；
3
6 6
2 6(6) 72 2f
，排除选项 A，故选 B．
【典例 7】（2021·云南高三三模（理））函数 2( ) 1 cose 1xf x x
的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
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判断图像类问题，首先求定义域，其次判断函数的奇偶性 ( )f x f x ；再次通过图像或函数表达式找
特殊值代入求值， ( ) 0f x = 时，即 e 1 cos 0e 1
x
x x
，此时只能是 cos 0x ；也可通过单调性来判断图像.主
要是通过排除法得解.
【详解】
函数 f x 的定义域为 0x x ，
因为 2 e 1 2 e 1( ) 1 cos cos cose 1 e 1 e 1
x x
x x xf x x x x
，
并且
0
0
e 1 e e 1 e( ) cos cos cose 1 e e 1 e
x x x
x x xf x x x x f x
，
所以函数 f x 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除 A C， ；
当 ( ) 0f x = 时，即 e 1 cos 0e 1
x
x x
，此时只能是 cos 0x ，
而 cos 0x 的根是
2x x k k
Z， ，可排除 D .
故选: B
【总结提升】
识图的三种常用方法
1．抓住函数的性质，定性分析：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；
（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
2．抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
3．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
(1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
(2)根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
【变式探究】
1.（2021·全国高三其他模拟（文））函数 3e( ) ( )ex xf x x 的大致图象为（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
根据函数奇偶性排除 AB，利用 0x 时函数值的为正排除 C，即可求解.
【详解】
由题可得函数 ( )f x 的定义域为 R ，且 3e( ) ( ) ( )ex xf x f xx ，
所以函数 ( )f x 是奇函数，由此可排除选项 A、B；
当 0x 时， 3e( ) ( )e 0x xf xx ，由此可排除选项 C，
故选：D
2.（2019·山东济南外国语学校高考模拟（文））若函数
且
′
在 R 上为减函数，
则函数
log ′
的图象可以是( )
A． B．
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C． D．
【答案】D
【解析】
由函数 f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0 且 a≠1）在 R 上为减函数，
故 0＜a＜1．函数 y＝loga（|x|﹣1）是偶函数，定义域为 x＞1 或 x＜﹣1，
函数 y＝loga（|x|﹣1）的图象，x＞1 时是把函数 y＝logax 的图象向右平移 1 个单位得到的，
故选：D．
3. （山东省高考真题）函数 22xy x 的图象大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为 2、4 是函数的零点，所以排除 B、C；
因为 1x 时 0y ，所以排除 D,故选 A
考点四：从图象到解析式
【典例 8】（2021·河南高三月考（理））已知函数 sin 2f x x ， exg x ，则下列图象对应的函数可能
为（ ）
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A． 2π ln4y f x g x B． π ln2y f x g x
C． 3π ln4y f x g x D． π ln4y f x g x
【答案】D
【解析】
A.当 0x 时， 1y ，不符合题意；
B.其图象不关于 y 轴对称，不符合题意；
C.其图象不关于 y 轴对称，不符合题意；
D.其图象关于 y 轴对称，当 0x 时， 1y ，符合题意.
【详解】
A. 2 2 2π πln sin 2 cos24 2y f x g x x x x x
，当 0x 时， 1y ，不符合题意；
B. π ln sin 2 π sin22y f x g x x x x x
，其图象不关于 y 轴对称，不符合题意；
C. 3 3 3π πln sin 2 cos24 2y f x g x x x x x
，其图象不关于 y 轴对称，不符合题意；
D. π ln sin 2 cos24 2y f x g x x x x x
，其图象关于 y 轴对称，当 0x 时， 1y ，
符合题意.
故选：D.
【典例 9】（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数 ( )f x 与 ( )g x 的部分图象如图 1，则图 2 可能是下
列哪个函数的部分图象（ ）
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A． ( ( ))y f g x B． ( ) ( )y f x g x C． ( ( ))y g f x D． ( )
( )
f xy g x
【答案】B
【解析】
根据奇函数、偶函数的图象特征，结合奇偶函数的性质逐一判断即可.
【详解】
由图 1 可知：函数 ( )f x 关于纵轴对称，因此该函数是偶函数，即 ( ) ( )f x f x .
函数 ( )g x 的图象关于原点对称，因此该函数是奇函数，即 ( ) ( )g x g x .
由图 2 可知：该函数关于原点对称，因此该函数是奇函数.
A：设 ( ) ( ( ))F x f g x ，因为 ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )F x f g x f g x f g x F x ，
所以 ( ) ( ( ))F x f g x 是偶函数，不符合题意；
B：设 ( ) ( ) ( )M x f x g x ，因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M x f x g x f x g x M x ，
所以 ( ) ( ) ( )M x f x g x 是奇函数，符合题意；
C：设 ( ) ( ( ))N x g f x ，因为 ( ) ( ( )) ( ( )) ( )N x g f x g f x N x ，
所以 ( ) ( ( ))N x g f x 是偶函数，不符合题意；
D：由图 1 可知： (0) 0g ，因为函数 ( )
( )
f xy g x
在 0x 时没有意义，故不符合题意，
故选：B
【规律方法】
根据图象找解析式，一般先找差异，再验证.
【变式探究】
1．（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））如图，①②③④中不属于函数 2xy ， 3xy ， 1( )2
xy 的一
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个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】
利用指数函数的图象与性质即可得出结果.
【详解】
根据函数 2xy 与 1( )2
xy 关于 y 对称，可知①④正确，
函数 3xy 为单调递增函数，故③正确.
所以②不是已知函数图象.
故选：B
2.（2021·福建高三三模）若函数 y f x 的大致图象如图所示，则 f x 的解析式可能是（ ）
A． 1
xf x x
B． 1
xf x x
C． 2 1
xf x x
D． 21
xf x x
【答案】C
【解析】
利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案
B． ( , 3] [ 3, )
A． 5 3 5 3, ,6 6
对 xR 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）
，若不等式 2 ( )( 0)f x a f x a
2
( )f x 的零点为 1
【典例 11】（2021·吉林白山市·高三三模（理））如图，函数 ( )f x 的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，
选 A.
，
ሺݔ ሺͲݔ
,即
Ͳ ሺݔ
，所以
ሺ ݔ
>0>
ሺ Ͳݔ
因为
,
Ͳ Ͳ ሺݔ
，所以
ሺݔ
【解析】因为奇函数
ሺݔ ሺͲݔ 【答案】A
D.
ሺݔ ሺͲݔ
ሺݔ ሺͲݔC.
B.
ሺݔ ሺͲݔ
A.
的局部图像如图所示，则（ ）
ሺݔ
【典例 10】（山东省春季真题））奇函数
考点四：用图
故选：C
所以 1x 时， ( ) 1f x 恒成立，而图中，当 1x 时， ( )f x 可以小于 1，所以排除 A,
向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，
，此函数是由 1y x
xf x x x
当 0x 时，对于 A， 111 1
，所以排除 D，
f
1 22( ) 012 31 4
1
，所以排除 B，对于 D，
f
1 2( ) 1 012 1 2
1
2x ，则对于 B，
取 1
解：由图可知，当 (0,1)x 时， ( ) 0f x ，
详解】】
25 / 18
19 / 25
C． 4 3 4 3, ,5 5
D． 2 3 2 3, ,3 3
【答案】A
【解析】
由条件可知， 2y f x a 的图象是由 y f x 向左平移 2a 个单位长度得到，再利用数形结合，分析图
象的临界条件，得到 a 的取值范围.
【详解】
当 1x 时， y kx b ，图象过点 1,2 和 1 ,02
，即
2
1 02
k b
k b
，
解得： 4
3k ， 2
3b ，即 4 2
3 3y x ，
当 1x 时，设抛物线 22 1y a x ，代入点 1,2 得， 1a ，即 22 1y x ，
所以
2
4 2 , 13 3
2 1, 1
x x
f x
x x
，
2y f x a 的图象是由 y f x 向左平移 2a 个单位长度得到，因为 2f x a f x ，对 xR 恒成
立，所以 2y f x a 的图象恒在 y f x 的上方，当两图象如图所示，相切时，
抛物线 22 2 1y x a 22 2 22 2 2 1x a x a ， 22 2 2y x a ，
与直线 4 2
3 3y x 相切，即 2 42 2 2 3x a ，解得： 28
3x a ， 2 24 8 2 38 4
3 3 3 9 3y a a
，
【【解析
【答案】C
A．2 B．4 C．6 D．8
值域为 ,m M ，则 m M （ ）
【典例 13】（2020·全国高三其他（文））已知函数 2 2 24 1x xf x x x e e x 在区间 1,5 的
故选：B．
当 a=0 时，显然满足题意，综上：a＜e，
（a＜0）个单位长度，函数 f（x）与 g（x）总存在关于 y 轴对称的点，
当 y=lnx 向右平移
称的点，所以 0＜a＜e，
当 y=lnx 向左平移 a（a＞0）个单位长度，恰好过（0，1）时，函数 f（x）与 g（x）就不存在关于 y 轴对
在同一直角坐标系中作出函数 f（x）=2x（x＜0）与 g（x）=ln（x+a）的图象，
【解析】
ሺt 䁣 ݔ【答案】B
D．
ሺtݔ
C．
ሺ tݔ
B．
ሺ ݔ
A．
关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ ）
【典例 12】（2019·北京高考模拟（理））已知函数 f（x）=2x（x＜0）与 g（x）=ln（x+a）的图象上存在
故选：A
6a .
6a 或 5 3
12a ，解得： 5 3
12a ，所以 2 25
得 2 25
，
2 2 238 4 8 2 19 3 3a a a
2
代入 22 2 1y x a 得
切点 2 28 38 4,3 9 3a a
25 / 20
21 / 25
2 4 x xy x e e x 在 3,3 上为奇函数，图象关于原点对称，
22 2 2 2 24 1 2 4 2 3x x x xf x x x e e x x e e x 是将上述函数图象向右平移
2 个单位，并向上平移 3 个单位得到，所以 f x 图象关于 2,3 对称，则 6m M ，故选C .
【总结提升】
函数图象应用的常见题型与求解策略
【变式探究】
1.（2019·陕西高考模拟（理））已知函数 lg 1f x x ，若1 a b 且 f a f b ，则实数 2a b
的取值范围是（ ）
A． 3 2 2 ， B． 3 2 2 ，
C． 6 ， D． 6 ，
【答案】A
【解析】
：）的图象如图
（
ሺ 䁣 Ͳݔ 作出
ሺݔ ሺ Ͳݔ
则
＜
），
䁣 Ͳ
（
）
（
即
）
（
）
Ͳ
（
）
（
则
＞
时，
＜
∴当
）
Ͳ
（
）
（
时，
）是定义在 R 上的奇函数，且当
（
∵
【解析】
【答案】C
B．1 C．3 D．5
Ͳ 䁣
A．
的所有解的和为（ ）
则方程
，
Ͳ
时，
上的奇函数，且当
是定义在
2.（2019·四川高三高考模拟（理））已知函数
故选：A．
号．满足 b＞2，
，当且仅当 b 2 1 时取等
bb b b bb b b
则 2a+b 2 2 22 21 1 1 3 2 2 31 1 1
．
b
b
1
那么：a
可得：ab﹣a﹣b＝0．
，
1 1log a lg b ，即 1 11 ba
10
∴ 1
则 b＞2，1＜a＜2，
∵1＜a＜b 且 f（a）＝f（b），
函数 f（x）＝|lg（x﹣1）|，
25 / 22
23 / 25
∵
（
）的图象与
（
）的图象关于
′
对称
∴作出
（
）的图象，由图象知
（
）与
（
）的图象有三个交点
即
（
）
（
）有三个根，其中一个根为 1，另外两个根 a，b 关于
′
对称
即
䁣 ′ 则所有解的和为
䁣 ′ 䁣 ′ 䁣 ′ 故选：C．
3. （2021·全国高三其他模拟）已知定义域为[ 4,4] 的函数 ( )f x 的部分图像如图所示，且 ( ) ( ) 0f x f x ，
函数 (lg ) 1f a ，则实数 a 的取值范围为______．
【答案】 1 ,1010
【解析】
由题意可得 ( )f x 是偶函数，然后结合单调性可解出答案.
【详解】
由题意知 ( ) ( )f x f x ，且函数 ( )f x 的定义域为[ 4,4] ，所以 ( )f x 是偶函数．
由图知 1 1f ，且函数 ( )f x 在[0,4] 上为增函数，
则不等式 (lg ) 1f a 等价于 (| lg |) (1)f a f ，即| lg | 1a ，
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所以 1 lg 1a ，解得 1 1010 a ．
故实数 a 的取值范围为 1 ,1010
．
故答案为： 1 ,1010
4．（2020·浙江省高一期末）若关于 x 的不等式
22 2 2x x a 在 ,0 上有解，则实数 a 的取值范围
是______.
【答案】 5 ,22
【解析】
关于 x 的不等式 22 2 2x x a 在 ,0 上有解，即关于 x 的不等式 22 2 2x a x 在 ,0 上有解，
作出两函数 22 , 2 2y x a y x 图象，其中由 2y x a 与 22 2y x 相切得
2 2 52 2 2 ,2 2 2 0, 4 8 2 0, 2x a x x x a a a ；
由 (2 )y x a 过点 (0,2) 得 2a .
由图可知 5 51 24 2 2
a a ，
故答案为： 5 ,22
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