2022年新高考数学一轮复习2.2基本不等式及其应用（练）解析版

1 / 20 专题 2.2 基本不等式及其应用 1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知  , , 0,a b c  ， 3 2 0a b c   ，则 ac b 的（ ） A．最大值是 3 B．最大值是 3 3 C．最小值是 3 D．最小值是 3 3 【答案】B 【解析】 由题意得 3 2 a cb  ，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案； 【详解】 因为 3 2 0a b c   ，所以 3 2 a cb  ， 所以 3 32 3 2 2 3 a c c ac a c c ab a    ，等号成立当且仅当 3a c . 故选：B. 2．（2021·山东高三其他模拟）已知 a b， 均为正实数，则“ 2ab a b  ”是“ 16ab  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 取 100, 2a b  可得由 2ab a b  推不出 16ab  ，反过来，由基本不等式可得由 16ab  能推出 2ab a b  ， 然后可选出答案. 【详解】 取 100, 2a b  ，则 200 2102 ab a b   ，但 200 16ab   ，所以由 2ab a b  推不出 16ab  ， 2 / 20 反过来，若 16ab  ，则 222 ab ab ab a b ab    ，当且仅当 4a b  时取等号， 所以由 16ab  能推出 2ab a b  ，所以“ 2ab a b  ”是“ 16ab  ”的必要不充分条件， 故选：C 3．（2021·吉林长春市·东高三其他模拟（文））在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 ABC 的面积是  2 21 4S b c  ，则 ABC 的三个内角大小为（ ） A． 60A B C    B． 90 , 45A B C    C． 120 , 30A B C    D． 90 , 30 , 60A B C     【答案】B 【解析】 由 ABC 的面积是  2 21 4S b c  ，利用面积公式及基本不等式判断出 90A  ，由 b=c 得 45B C   . 【详解】 因为 2 2 2b c bc  ，所以  2 21 1 4 2S b c bc   （当且仅当 b=c 时取等号）. 而 ABC 的面积是 1 sin2S bc A , 所以 1 1sin2 2S bc A bc  ，即 sin 1A  ，所以sin =1A ， 因为 A 为三角形内角，所以 90A   . 又因为 b=c，所以 90 , 45A B C    . 故选：B 4．（2021·浙江高三月考）已知实数 x ， y 满足 2 24 4x y  ，则 xy 的最小值是（ ） A． 2 B． 3 C． 2 D． 1 【答案】D 【解析】 运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】 3 / 20 由 2 2 2 24 4 14 xx y y     ，令 2cos sin x y      ， 因此 2cos sin sin 2xy     ，因为 1 sin 2 1   ，所以 1 1xy   ， 因此 xy 的最小值是 1 ， 故选：D 5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(万元) 与机器运转时间 t(年数， *t N )的关系为 2 23 64s t t    ，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年 数 t 为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】 根据题意求出年平均利润函数。利用均值不等式求最值. 【详解】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(万元)与机器运转时间 t(年数， *t N )的关系为 2 23 64s t t    ， 所以年平均利润 64 64 6423 ( ) 23 2 23 7sy t t tt t t t               当且仅当 8t  时等号成立， 即年平均利润最大，则每台机器运转的年数 t 为 8， 故选：D 6．（2021·四川成都市·高三三模（文））已知函数 ( ) log ( 1) 1af x x   ， ( 0, 1)a a  恒过定点 A ，过定 点 A 的直线 : 1l mx ny  与坐标轴的正半轴相交，则 mn 的最大值为（ ） A． 1 2 B． 1 4 C． 1 8 D．1 【答案】C 【解析】 求出 A ，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果. 【详解】 4 / 20 令 1 1x   ，即 2x  ，得 (1) 1f  ，则  2,1A ， 则 2 1m n  且 0m  ， 0n  ， 由 12 2 2 1 2 2 8m n mn mn mn      ． 当且仅当 1 4m  ， 1 2n  时，等号成立， 故选：C 7.【多选题】（2021·福建南平市·高三二模）已知 0a  ， 0b  ， 2 2 2a b ab   ，则下列不等式恒成立的 是（ ） A． 1 1 2a b   B． 2ab  C． 2 2a b  D． 2 2 4a b  【答案】BC 【解析】 由 2 2 2a b ab  、 1 1 2 a b ab   结合条件等式可判断 A、B，由 2( ) 4 a bab  结合条件等式可判断 C、由 2 2 2 a bab  结合条件等式可判断 D. 【详解】 对于 A，B，由 0a  ， 0b  ，利用基本不等式 2 2 2a b ab  ，可得 2 2ab ab  ，解得 2ab  ， 又 1 1 2 a b ab   （当且仅当 2a b  时，等号成立），而 2ab  ，所以 2 2 ab  ，所以 1 1 2a b   ， 故 B 正确，A 错误： 对于 C，由 0a  ， 0b  ，利用基本不等式 2( ) 4 a bab  ， 变形 2 2 2a b ab   得 2 2 3( )( ) 2 3 4 a ba b ab     （当且仅当 2a b  时，等号成立），解得 2( ) 8a b  ， 即 2 2a b  ，故 C 正确； 5 / 20 对于 D，由 0a  ， 0b  ，利用基本不等式 2 2 2 a bab  化简 2 2 2a b ab   得 2 2 2 2 2 2 a ba b ab     （当且仅当 2a b  时，等号成立）， 解得 2 2 4a b  ，故 D 错误； 故选：BC 8．【多选题】（2021·河北高三三模）已知正数 ,a b 满足  1 1a b  ，则（ ） A． 3a b  B． 2 2 1 2 4 a b   C． 2 22log log 2a b  D． 2 2 2a b a  【答案】ACD 【解析】 A：由条件等式得 11a b   ，结合基本不等式即可判断正误；B：由题设及 A 得 2 2 1 21a b b    ，令 2b  有 2 2 1 2 4 a b   即可判断正误；C：结合 A，易得 2 1 2a b b b    ，由基本不等式即可判断正误；D：通过基 本不等式证  2 2( 1) 2 1a b a b   ，进而可判断 D 的正误. 【详解】 A：由 1 1a b  ，又 0b  ，得 11a b   ，所以 11 3a b bb      ，正确； B：由 2 2 1 1 1 1 21a a a ab b b b b               ，当 2b  时有 2 2 1 2a b   ，此时 2 2 1 2 4 a b   ，错误； C：由 2 2 1 11 2 4a b b bb b          ，所以 2 22log log 2a b  ，正确； D：由  2 2 2 2( 1) 2= 2 1 1 2aa b a b a b     ，所以 2 2 1 2 2a b a a   ，正确. 故选： ACD. 9．【多选题】（2021·辽宁高三一模）已知 0 0a b ， ，且 4a b ab  ，则下列不等式正确的（ ） A． 16ab  B． 2 6 4 2a b   C． 0a b  D． 2 2 1 16 1 2a b   6 / 20 【答案】ABD 【解析】 利用基本不等式证明判断． 【详解】 因为 0 0a b ， ， 4 2 4 4ab a b ab ab    ，当且仅当 4a b 时等号成立，所以 16ab  ，A 正确； 由 4a b ab  得 4 01 ab a   ， 1a  ，同理 4b  ， 4 4 42 2 2( 1) 6 2 2( 1) 6 4 2 61 1 1 aa b a a aa a a                ，当且仅当 42( 1) 1a a    ， 即 1 2a   时等号成立，B 正确； 5, 5a b  满足题意，但 0a b  ，C 错； 由 4a b ab  得 1 4 1a b   ，所以 2 2 2 1 16 1 42 1a b a b              ，当且仅当 2 2 1 16 a b  即 4b a 时等号成立， 所以 2 2 1 16 1 2a b   ．D 正确． 故选：ABD 10．（2021·天津高三二模）已知正实数 a ，b 满足 1a b  ，则 2 24 1a b a b   的最小值为______． 【答案】10 【解析】 先把 2 24 1a b a b   整理为 2 24 1 4 1=a b a ba b a b      ，对 4 1 a b  ，利用基本不等式求出最小值，即可 求出 2 24 1a b a b   的最小值. 【详解】 2 24 1 4 1=a b a ba b a b      ∵正实数 a ，b 满足 1a b  ， 7 / 20 ∴  4 1 4 1 4 4= =4 1 5 2 9a b a ba ba b a b b a b a              （当且仅当 4=a b b a ，即 2a b 时取等号） ∴ 2 24 1 4 1 4 1= =1 1 9=10a b a ba b a b a b          . 故答案为：10. 1．（2021·江苏高三三模）在正方形 ABCD 中，O 为两条对角线的交点， E 为边 BC 上的动点.若 AE AC DO       ( , 0)   ，则 2 1   的最小值为（ ） A．2 B．5 C． 9 2 D． 14 3 【答案】C 【解析】 以点 A 为原点，以 AB ， AD 所在直线为 x ， y 轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 1，求出已知点 的坐标，然后设出点 E 的坐标，代入已知关系式，即可求出  ，  的关系式，然后根据基本不等式即可求 解． 【详解】 如图所示，以点 A 为原点，以 AB ， AD 所在直线为 x ， y 轴建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为 1，则 (0,0)A ， (1,0)B ， (1,1)C ， (0,1)D ， 则根据中点坐标公式可得 1 1( , )2 2O ，设点 E 的坐标为 (1, )m ， 则由 AE AC DO       ( , 0)   ，可得 (1 ， ) (1m  ， 1 11) ( , )2 2   ， 所以 11 2    ，则 2 1 2 1 1 1 5 9( )( ) 2 22 2 2 2                      … ， 当且仅当     ，即   时取等号， 此时 2 1   的最小值为 9 2 ， 故选：C 8 / 20 2．（2021·河北保定市·高三二模）已知圆弧 2 2: 4( 0, 0)C x y x y  … … 与函数 ( ) xf x a 和函数 ( ) logag x x 的图象分别相交于  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，其中 0a  且 1a  ，则 22 1 2 1 4 x x  的最小值为（ ） A． 7 4 B． 9 4 C． 7 2 D．4 【答案】B 【解析】 由函数 ( ) xf x a 与函数 ( ) logag x x 互为反函数可得 1 2 2 1,y x yx   ，然后可得 2 2 1 2 4x x  ，然后利用 基本不等式的知识求解即可. 【详解】 因为函数 ( ) xf x a 与函数 ( ) logag x x 互为反函数，所以 ,A B 关于 y x 对称 所以 1 2 2 1,y x yx   因为  1 1,A x y ，  2 2,B x y 在圆弧 2 2: 4( 0, 0)C x y x y  … … 上 所以 2 2 1 1 4x y  ，所以 2 2 1 2 4x x  所以 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 5 5 924 4 4 4 4 4 4 x x x x x x x x x x x x                当且仅当 2 2 2 2 1 2 2 1 4 x x x x  ，即 2 12x x 时等号成立 故选：B 3．（2021·四川达州市·高三二模（理））已知 ( , )P a b 是圆 2 2 1x y  上的点，下列结论正确的是（ ） A． 1 2ab  B． 2 2 2 2a b 最大值是 2 2 C． 212 3ba  D． 2lg lg(1 )a b  9 / 20 【答案】C 【解析】 根据基本不等式，可得判定 A、B 不正确；根据指数函数与对数函数的性质，结合不等式的性质，可判定 C 正确，D 不正确. 【详解】 根据题意，点 ( , )P a b 是圆 2 2 1x y  上的点，可得 2 2 1a b  ， 由 2 21 2a b ab  ，可得 1 2ab  ，当且仅当 a b 时等号成立，所以 A 不正确； 由 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 =2 2 2a b a b a b   ，当且仅当 2 2 2 2a b ，即 2 2a b 时等号成立，即 2 2 2 2a b 最小 值是 2 2 ，所以 B 不正确； 由 2 2 1a b  ，可得 2 21 a b  ，则 2 21 22 ba  ， 又由 1 1b   ，所以 2b b ，根据指数函数的性质，可得 212 3ba  成立，所以 C 正确； 由 2 22lg lg lg(1 )a a b   ，又由 2 21 (1 ) ( 1)b b b b b b         ， 因为 1 1b   ，可得 ( 1)b b  符合不确定，所以 2lg a 和 lg(1 )b 大小不确定， 所以 D 不正确. 故选：C. 4．（2021·江西上饶市·高三三模（理））己知 A、B、C 三点共线（该直线不过原点 O），且 2 ( 0, 0)OA mOB nOC m n      ，则 2 1 m n  的最小值为（ ） A．10 B．9 C．8 D．4 【答案】C 【解析】 先根据三点共线，求出 2 1m n  ，利用基本不等式求最值. 【详解】 因为 A、B、C 三点共线（该直线不过原点 O），且 2 ( 0, 0)OA mOB nOC m n      ， 所以 2 1m n  2 1 2 1 4( 2 ) 4 4 2 4 8n mm nm n m n m n               10 / 20 当且仅当 4 =n m m n ，即 1 1,2 4m n  时等号成立． 故选：C 5．（2021·浙江高三三模）已知正实数 ,a b 满足 2 2a b  ，则 2 21 2 1 a b a b    的最小值是（ ） A． 9 4 B． 7 3 C．17 4 D． 13 3 【答案】A 【解析】 根据已知等式把代数式 2 21 2 1 a b a b    进行变形为 1 4 2( 1)a b   ，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解 即可. 【详解】 2 21 2 1 2 ( 1) 2( 1) 2 1 22 21 1 1 a b b b ba a ba b a b a b                ，因为 2 2a b  ， 所以 2 21 2 1 2 1 4 1 1 2( 1) a b a b a b a b         ， 因为 2 2a b  ，所以 2( 1) 4a b   ， 因此 1 1 4 1 1 4 1 2( 1) 44 [ ] [ 2( 1)] [ ] [5 ]4 2( 1) 4 2( 1) 4 2( 1) b aa ba b a b a b               ， 因为 ,a b 是正实数，所以 1 2( 1) 4 1 2( 1) 4 9[5 ] [5 2 ]4 2( 1) 4 2( 1) 4 b a b a a b a b         ，（当且仅当 2( 1) 4 2( 1) b a a b    时取等号，即 1a b  时取等号，即 4 1,3 3a b  时取等号）， 故选：A 6．【多选题】（2021·福建厦门市·高三三模）已知正数 a ，b 满足 3a b  ，则（ ） A． 1 4 9a b  … B． 1 3 2ba b    … C． 1ln ln 4a b  D． 22 21a be e  【答案】BCD 11 / 20 【解析】 利用基本不等式证明不等式，判断选项 AC 的正误；利用 3 0a b   ，根据选项 BD 分别构造函数，利用 导数研究单调性和最值情况来判断选项 BD 的正误. 【详解】 正数 a ，b 满足 3a b  ， 所以  1 4 1 1 4 1 4 1 45 5 2 33 3 3 a aa ba b a b a b a b b b                          ， 当且仅当 4b a a b  ，即 1, 2a b  时等号成立，故 A 错误； 由 3 0a b   知 0 3b  ，   2 21 3 1 3 3 33 b b bba b b b b          ， 构造函数       2 3 , 0 33 xf x xx x    ，则       22 3 3 1 3 x xf x x x     ， 故  0,1x 时，   0f x  ，  f x 单调递减；  1,3x 时，   0f x  ，  f x 单调递增. 所以       2 3 41 23 2 xf x fx x     ，故 0 3b  时，有   21 3 3 23 bba b b b        ，B 正确； 由 2 9 2 4 a bab      ，当且仅当 3 2a b  时等号成立，故 9ln ln ln ln ln 14a b ab e     ， 故 2 2ln ln lnln ln 2 4 a b aba b       ，当且仅当 3 2a b  时取等号，而 2ln 1ab  ，所以 1ln ln 4a b  ， C 正确； 由 3 0a b   知 0 3b  ， 2 232 2 bb bae e e e  ，构造函数   3 22 bbeg eb   ， 则   3 22 2 bbb e eg     ，由指数函数性质可知  g b 单调递增，又  1 0g  ， 故  0,1b 时，   0g b  ，  g b 单调递减；  1,3b 时，   0g b  ，  g b 单调递增. 故     21 3 21g b g e   ，即 22 21a be e  ，D 正确. 故选：BCD. 7．【多选题】（2021·长沙市·高三二模）关于函数   1cos cosf x x x   有如下四个命题，其中 正确的命题有（ ） 12 / 20 A．  f x 的图象关于 y 轴对称 B．  f x 的图象关于原点对称 C．  f x 的图象关于直线 2x  对称 D．  f x 的值域为    , 2 2,   【答案】AD 【解析】 对于 A，B，先求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，从而可得结论；对于 C，分别求解 2f x    和 2f x    ，若相等，则  f x 的图象关于直线 2x  对称，否则  f x 的图象不关于直线 2x  对称；对 于 D，利用基本不等式判断即可 【详解】 由题意知  f x 的定义域为 ,2x x k k Z       ，且关于原点对称.又        1 1cos coscos cosx xxf x f xx       ，所以函数  f x 为偶函数，其图象关于 y 轴对称， 所以 A 正确，B 错误. 因为 1 1cos sin2 2 sincos 2 f x x x xx                        ， 1 1cos sin2 2 sincos 2 f x x x xx                         ，所以 2 2f x f x             ，所以函数  f x 的图象不关于直线 2x  对称，C 错误. 当 cos 0x  时，   1 1[( cos ) ] 2 ( cos ) 2cos cosf x x xx x            ，当且仅当 1cos cosx x    ， 即 cos 1x   时取等号，所以   2f x   ， 13 / 20 当 cos 0x  时，   1 1cos 2 cos 2cos cosf x x xx x      ，当且仅当 1cos cosx x  ，即 cos 1x  时取等 号，所以   2f x  ，所以  f x 的值域为    , 2 2,   ，所以 D 正确. 故选：AD 8．【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）若非负实数 a ，b ， c 满足 1a b c   ，则下列说法中一定正确 的有（ ） A． 2 2 2a b c  的最小值为 1 3 B． ( )a b c 的最大值为 2 9 C． ab bc ca  的最大值为 1 3 D． a b b c 的最大值为 4 9 【答案】ACD 【解析】 由已知条件结合基本不等式及相关结论，即可作出判断． 【详解】 对于 A，由 2 2 2a b ab … ， 2 2 2b c bc … ， 2 2 2c a ca … ，得 2 2 22 2 2 2 2 2a b c ab bc ca   … ，两边同时加 上 2 2 2a b c  ，可得  2 2 2 23 ( ) 1a b c a b c    … ，所以 2 2 2 1 3a b c  … ，当且仅当 1 3a b c   时 取等号，所以 A 正确. 对于 B，易得 1  a b c ，所以 21 1( ) (1 ) 2 4 c ca b c c c        „ ， 当且仅当 1 2a b  ， 1 2c  时取等号，所以 B 不正确. 对于 C，由 2 2 2a b c ab bc ca   … ，两边同时加上 2 2 2ab bc ca  ，得 2l ( ) 3( )a b c ab bc ca    … ， 所以 1 3ab bc ca  „ ，当且仅当 1 3a b c   时取等号，所以 C 正确. 对于 D，易得 1a b c   ，令 b x ， c y ，所以  2 2 2 3(1 ) 1 ( )a b b c b c b b c x y x x y x x xy x y             ， 2 2 3 3 33 2 4 4 y x y xx x x x x x x x            „ 14 / 20 记 33( ) 4f x x x  ， 0 1x„ „ ，利用导数易求得 2 4( ) 3 9f x f     „ ，所以 D 正确. 故选：ACD 9．（2021·山东高三二模）最大视角问题是 1471 年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一 般称为“米勒问题”.如图，树顶 A 离地面 a 米，树上另一点 B 离地面 b 米，在离地面  c c b 米的 C 处看此 树，离此树的水平距离为___________米时看 A，B 的视角最大. 【答案】   a c b c  【解析】 根据题意， , ,BCD ABC CD x      ，分别求得 tan ， tan( )  表达式，即可求得 tan  表达 式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】 过 C 作CD AB ，交 AB 于 D，如图所示： 则 = ,AB a b AD a c   ， 设 , ,BCD ABC CD x      ， 在 BCD△ 中， tan BD b c CD x    ， 在 ACD△ 中， tan( ) AD a c CD x      ， 15 / 20 所以  tan tan ( ) ( )( )1 a c b c a bx x a c b c a c b cxx x x                 ( )( ) 2 ( )( )2 a b a b a c b c a c b cx x        ， 当且仅当 ( )( )a c b cx x   ，即 ( )( )x a c b c   时取等号， 所以 tan  取最大值时， ABC   最大， 所以当离此树的水平距离为   a c b c  米时看 A，B 的视角最大. 故答案为：   a c b c  10．（2021·山东高三其他模拟）从① sin cos( ) 06b A a B    ；② 1cos 2a b C c  ；③ 2 2 2cos sin cos sin sinA C B A C   这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答. 问题：在 ABC 中， , ,a b c 分别为内角 , ,A B C 的对边，若 3b  ，_________，求 ABC 的周长的最大 值. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析. 【解析】 若选条件①，由正弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得 tan B 的值，由此求得 B ， 利用余弦定理以及基本不等式求得 a c 的最大值，从而求得三角形 ABC 的周长的最大值. 若选条件②，利 用余弦定理求得 cos B 的值，进而求得 B ，利用余弦定理以及基本不等式求得 a c 的最大值，从而求得三 角形 ABC 的周长的最大值. 若选条件③，利用同角三角函数的基本关系式、余弦定理求得 cos B 的值，进 而求得 B ，利用余弦定理以及基本不等式求得 a c 的最大值，从而求得三角形 ABC 的周长的最大值. 【详解】 若选条件①，由正弦定理得 sin sin sin cos( ) 06B A A B    ， 因为 0 A   ，所以sin 0A  ，所以 sin cos( ) 06B B    ， 所以 3 1sin cos sin 02 2B B B     ， 16 / 20 整理得 1 3sin cos2 2B B  ，所以 tan 3B   ， 因为 0 πB  ，所以 2π 3B  . 因为 3b  ，由余弦定理得 2 2 23 ( )a c ac a c ac      ， 所以 2 2( ) 3 ( )2 a ca c ac     ， 所以 23 ( ) 34 a c  ，即 2a c  ，当且仅当 1a c  时取等号， 所以 ABC 周长的最大值为 2 3 . 若选条件②，因为 1cos 2a b C c  ，所以 2 2 2 1 2 2 a b ca b cab     ， 整理得 2 2 2a c b ac    ， 所以 1cos 2B   ， 因为 0 πB  ，所以 2π 3B  . 因为 3b  ，由余弦定理得 2 2 23 ( )a c ac a c ac      ， 所以 2 2( ) 3 ( )2 a ca c ac     ， 所以 23 ( ) 34 a c  ，即 2a c  ，当且仅当 1a c  时取等号， 所以 ABC 周长的最大值为 2 3 . 若选条件③，因为 2 2 2cos sin cos sin sinA C B A C   ， 所以 2 2 21 sin sin 1 sin sin sinA C B A C     ， 所以 2 2 2sin sin sin sin sinA C B A C   ， 所以 2 2 2a c b ac    ， 所以 1cos 2B   ， 因为 0 πB  ，所以 2π 3B  . 因为 3b  ，由余弦定理得 2 2 23 ( )a c ac a c ac      ， 所以 2 2( ) 3 ( )2 a ca c ac     ， 所以 23 ( ) 34 a c  ，即 2a c  ，当且仅当 1a c  时取等号， 17 / 20 所以 ABC 周长的最大值为 2 3 . 1．（2019 年高考浙江卷）若 0, 0a b  ，则“ 4a b  ”是 “ 4ab  ”的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 0, 0a > b > 时， 2a b ab  当且仅当 a b 时取等号，则当 4a b  时，有 2 4ab a b   ， 解得 4ab  ，充分性成立； 当 =1, =4a b 时，满足 4ab  ，但此时 =5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“ 4a b  ”是“ 4ab  ”的充 分不必要条件. 2．【多选题】（2020·海南高考真题）已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ） A． 2 2 1 2a b  B． 12 2 a b  C． 2 2log log 2a b   D． 2a b  【答案】ABD 【解析】 根据 1a b  ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】 对于 A，  22 2 2 21 2 2 1a b a a a a       21 2 1 12 2 2a     ， 当且仅当 1 2a b  时，等号成立，故 A 正确； 对于 B， 2 1 1a b a     ，所以 1 12 2 2 a b   ，故 B 正确； 对于 C， 2 2 2 2 2 2 1log log log log log 22 4 a ba b ab          ， 当且仅当 1 2a b  时，等号成立，故 C 不正确； 18 / 20 对于 D，因为 2 1 2 1 2a b ab a b       ， 所以 2a b  ，当且仅当 1 2a b  时，等号成立，故 D 正确； 故选：ABD 3．（山东省高考真题）定义运算“ ”： 2 2x yx y xy   （ , 0x y R xy ， ）.当 0 0x y，  时， (2 )x y y x   的最小值是 . 【答案】 2 【解析】 由新定义运算知， 2 2 2 2(2 ) 4(2 ) (2 ) 2 y x y xy x y x xy     ，因为， 0 0x y，  ， 所以， 2 2 2 2 2 24 2 2 2(2 ) 22 2 2 x y y x x y xyx y y x xy xy xy xy           ，当且仅当 2x y 时， (2 )x y y x   的最小值是 2 . 4．（2020·天津高考真题）已知 0, 0a b  ，且 1ab  ，则 1 1 8 2 2a b a b    的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 根据已知条件，将所求的式子化为 8 2 a b a b    ，利用基本不等式即可求解. 【详解】 0, 0, 0a b a b     ， 1ab  , 1 1 8 8 2 2 2 2 ab ab a b a b a b a b        8 82 42 2 a b a b a b a b        ，当且仅当 a b =4 时取等号， 结合 1ab  ,解得 2 3, 2 3a b    ，或 2 3, 2 3a b    时，等号成立. 故答案为： 4 5．（2020·江苏高考真题）已知 2 2 45 1( , )x y y x y R   ，则 2 2x y 的最小值是_______． 19 / 20 【答案】 4 5 【解析】 根据题设条件可得 4 2 2 1 5 yx y  ，可得 4 2 2 2 2 2 2 1 1 4+ 55 5 y yx y yy y     ，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ∵ 2 2 45 1x y y  ∴ 0y  且 4 2 2 1 5 yx y  ∴ 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 1 4 4+ 25 5 55 5 5 y y yx y yy y y        ，当且仅当 2 2 1 4 55 y y  ，即 2 23 1,10 2x y  时取等号. ∴ 2 2x y 的最小值为 4 5 . 故答案为： 4 5 . 6.（2020·全国高考真题（文））设 a，b，cR，a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca