2022年新高考数学一轮复习3.5指数与指数函数（练）解析版

1 / 18 专题 3.5 指数与指数函数 1．（2021·山东）设全集U  R ，集合  1,0,1,2021A   ，  2xB y y  ，则 UA B ð （ ） A． 1 B． 1,0 C． 1,0,1 D． 1,0,2021 【答案】B 【解析】 利用指数函数的性质求解集合 B，再求集合的补集，交集即可. 【详解】 由题知    2 0,xB y y    ，   U ,0B  ð 又  1,0,1,2021A   ，则   U 1,0A B  ð ， 故选：B. 2.（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数 2 1( ) xf x a  ( 0a  且 1)a  过定点（ ） A． (1,1) B． 1( ,0)2 C． (1,0) D． 1( ,1)2 【答案】D 【解析】 令 12 1 0 2x x    ，所以函数 2 1( ) xf x a  ( 0a  且 1)a  过定点 1( ,1)2 ． 3．（2021·江西高三二模（文））下列函数中，在 0,  上单调递增的是（ ） A． 2 1y x   B． 1y x  C． 3y x D． 2 xy  【答案】C 【解析】 利用二次函数的性质判定 A；利用分段函数的图象可以判定 B；根据幂函数和对数函数的性质判定 C,D． 【详解】 A 中， 2 1y x   的图象关于 y 轴对称，开口向下的抛物线，在 0,  上单调递减，故Ａ不对； B 中， 1y x  的图像关于直线 1x  对称，在  1， 上单调递减，在  1, 上单调递增，故排除 B； 2 / 18 C 中，由幂函数的性质可知 3y x 在 0,  上单调递增，故 C 正确； D 中，根据指数函数的性质可得 12 2 x xy        在   ， 上单调递减，故排除 D； 故选：C． 4．（2020·浙江高三月考）当 0x  时，“函数  3 1 xy a   的值恒小于 1”的一个充分不必要条件是（ ） A． 1 3a  B． 2 3a  C． 2 3 a D． 1a  【答案】D 【解析】 由指数函数的图象与性质可得原命题等价于 2 3a  ，再由充分不必要条件的概念即可得解. 【详解】 若当 0x  时，函数  3 1 xy a   的值恒小于 1，则3 1 1a   即 2 3a  ， 所以当 0x  时，函数  3 1 xy a   的值恒小于 1 的一个充分不必要条件是 1a  . 故选：D. 5．（2019·浙江高三专题练习）已知函数 ( ) ( )( )f x x a x b   （其中 )a b 的图象如图所示，则函数 ( ) xg x a b  的图象是（ ） A． B． 3 / 18 C． D． 【答案】C 【解析】 由二次函数的图象确定 ,a b 的取值范围，然后可确定 ( )g x 的图象． 【详解】 由函数的图象可知， 1 0b   ， 1a  ，则 ( ) xg x a b  为增函数， (0) 1 0g b   ， ( )g x 过定点 (0,1 )b ， 故选：C . 6．（2021·浙江高三专题练习）不等式 | 1|2 4x  的解集是（ ） A． ( 1,3) B． ( , 1) (3, )   C． ( 3,1) D． ( , 3) (1, )    【答案】A 【解析】 根据题意得 1 2x   ，再解绝对值不等式即可得答案. 【详解】 解：由指数函数 2xy  在 R 上单调递增， 1 22 4 2x   ， 所以 1 2x   ，进而得 2 1 2x    ，即 1 3x- < < . 故选：A. 7．（2021·浙江高三专题练习）已知函数 4 1xy a   （ 0a  ，且 1a  ）的图象恒过定点 P ，若点 P 在幂 函数 ( )f x 的图象上，则幂函数 ( )f x 的图象大致是（ ） 4 / 18 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由指数函数性质求得定点坐标，由定点求得幂函数解析式，确定图象． 【详解】 由 4 0x   得 4x  ， 2y  ，即定点为 (4,2) ， 设 ( )f x x ，则 4 2  ， 1 2   ，所以 1 2( )f x x ，图象为 B． 故选：B． 8．（2021·山东高三三模）已知 1 11 , , ,a b aM a N a P ba b      ，则 , ,M N P 的大小关系正确的为（ ） A． N M P  B． P M N  C． M P N  D． P N M  【答案】B 【解析】 根据指数函数与幂函数的单调性即可求解. 【详解】 5 / 18 解： 1 11 a b   ， 0 1b a    ， 指数函数 xy a 在 R 上单调递减， b aa a  ，即 N M ， 又幂函数 ay x 在 0,  上单调递增， a aa b  ，即 M P ， N M P   ， 故选：B. 9．【多选题】（2021·全国高三专题练习）函数    2 2 x x af x a R   的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 6 / 18 根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给 a 赋值，判断选项. 【详解】 当 0a  时，   2xf x  ，图象 A 满足； 当 1a  时，   12 2 x xf x   ，  0 2f  ，且    f x f x  ，此时函数是偶函数，关于 y 轴对称，图象 B 满足； 当 1a   时，   12 2 x xf x   ，  0 0f  ，且    f x f x   ，此时函数是奇函数，关于原点对称，图 象 D 满足； 图象 C 过点 0,1 ，此时 0a  ，故 C 不成立. 故选：ABD 10．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知 ( ) x xf x e ke  （k 为常数），那么函数 ( )f x 的图象不可能 是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当 1k  时， ( ) x xf x e e  为偶函数，当 1k   时， ( ) x xf x e e  为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案． 【详解】 由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当 1k  时， ( ) x xf x e e  为偶函数， 7 / 18 当 0x  时， 1xt e  且单调递增，而 1y t t   在 1 ) [ ,t   上单调递增， 故函数 ( ) x xf x e e  在 0 ) [ ,x  上单调递增，故选项 C 正确，D 错误； 当 1k   时， ( ) x xf x e e  为奇函数， 当 0x  时， 1xt e  且单调递增，而 1y tt   在 1 ) [ ,t   上单调递减， 故函数 ( ) x xf x e e  在 0 ) [ ,x  上单调递减，故选项 B 正确，A 错误. 故选:AD． 1．（2021·浙江金华市·高三其他模拟）已知函数 2 , 0( ) , 0 x xf x kx b x     … ，若对于任意一个正数 a ，不等式 1| ( ) (0) 3f x f ∣ 在 ( , )a a 上都有解，则 ,k b 的取值范围是（ ） A． 2 4, , ,3 3k b              R B． 2 40, ,3 3k b      C． 2, ,3k b      R D． 40, , 3k b       【答案】A 【解析】 由不等式可知，   4 3f x  或   2 3f x  ，结合图象，分析可得 ,k b 的取值范围. 【详解】 当 0x  时， 12 1 3 x   ，得 42 3 x  ，  ,x a a   ，不能满足 42 3 x  都有解； 当 0x  时，   11 3f x   ，得   4 3f x  或   2 3f x  ， 如图，当 0k  或 0k  时，只需满足 4 3b  或 2 3b  ，满足条件. 8 / 18 所以 k R ， 2 4, ,3 3b             时，满足条件. 故选：A 2．（2021·安徽芜湖市·高三二模（理））函数 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，且当 0x  时，  ( ) 1xf x a a  . 若对任意的  0,2 1x t  ，均有    3( )f x t f x  ，则实数t 的最大值是（ ） A． 4 9  B． 1 3  C．0 D． 1 6 【答案】A 【解析】 首先根据函数是偶函数，求出函数的解析式，结合不等式的关系进行转化，利用单调性转化为不等式恒成 立问题即可求解. 【详解】 ∵ ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，且当 0x  时，  ( ) 1xf x a a  ， ∴  ( ) 1xf x a a  ，当 0x  时为增函数， ∴     33 3( ) 3x xf x a a f x   ， 则    3( )f x t f x  等价于    3f x t f x  ， 即 3x t x  ，即 2 28 2 0x tx t   对任意  0,2 1x t  恒成立， 设   2 28 2g x x tx t   ， 则有        2 20 0 8 2 1 2 2 1 0 2 1 0 g t t t t g t          ，解得 2 4 3 9t    ， 9 / 18 又∵ 2 1 0t   ，∴ 1 4 2 9t    . 故选：A. 3．（2021·辽宁沈阳市·高三三模）已知    2 2 21,2 , 2 , 2 , 2 xx xx a b c    ，则 , ,a b c 的大小关系为（ ） A． a b c  B．b c a  C．b a c  D． c a b  【答案】B 【解析】 根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当  1,2x 时 2 ,2 ,2xx x 的大小，利用特值法即可求得结果. 【详解】 因为  2 22 2x xb   ，函数 2xy  是单调增函数， 所以比较 a，b，c 的大小，只需比较当  1,2x 时 2 ,2 ,2xx x 的大小即可. 用特殊值法，取 1.5x  ，容易知 3 2 22.25,2 3,2 2xx x   ， 再对其均平方得     2 222 2 32.25 5.0625, 2 9, 2 2 8xx x     ， 显然      2 22 3 2 22 9 2 2 8 2.25 5.0625xx x       ， 所以 22 2xx x  ，所以b c a  故选：B. 4．（2021·江苏苏州市·高三其他模拟）生物体死亡后，它机体内原有的碳 14 含量 P 会按确定的比率衰减(称 为衰减率)，P 与死亡年数 t 之间的函数关系式为 1( )2 t aP  (其中 a 为常数)，大约每经过 5730 年衰减为原来 的一半，这个时间称为“半衰期”.若 2021 年某遗址文物出土时碳 14 的残余量约占原始含量的 79%，则可推 断该文物属于（ ）参考数据： 2log 0.79 0.34  . 参考时间轴： 10 / 18 A．战国 B．汉 C．唐 D．宋 【答案】B 【解析】 根据“半衰期”得 5730a  ，进而解方程 573010.79 2 t      得 1948.2t   ，进而可推算其所处朝代. 【详解】 由题可知，当 5730t  时， 1 2P  ，故 5730 1 1 2 2 a     ，解得 5730a  ， 所以 57301 2 t P      ，所以当 0.79P  时，解方程 573010.79 2 t      ， 两边取以 2 为底的对数得 5730 2 2log 0.79 log 01 .34302 57 t t         ，解得 1948.2t   ， 所以 2021 1948.2 72.8   202,220  ， 所以可推断该文物属于汉朝. 故选：B 5．（2021·河南高三月考（理））设实数 a ，b 满足5 11 18a b a  ，7 9 15a b b  ，则 a ，b 的大小关系为（ ） A． a b B． a b C． a b D．无法比较 【答案】A 【解析】 从选项 A 或 C 出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解. 【详解】 假设 a b ，则11 11a b ， 7 7a b ， 由5 11 18a b a  得 5 115 11 18 ( ) ( ) 118 18 a a a a a     ， 因函数 5 11( ) ( ) ( )18 18 x xf x   在 R 上单调递减，又 5 11 16(1) 118 18 18f     ，则 ( ) 1 (1)f a f  ，所以 1a  ； 由 7 9 15a b a  得 7 97 9 15 ( ) ( ) 115 15 b b b b b     ， 11 / 18 因函数 7 9( ) ( ) ( )15 15 x xg x   在 R 上单调递减，又 7 9 16(1) 115 15 15g     ，则 ( ) 1 (1)g b g  ，所以 1b  ； 即有 1a b  与假设 a b 矛盾，所以 a b ， 故选：A 6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数 1( ) x xf x e e   ，则下述正确的有（ ） A． ( )f x 在 R 上单调递增 B． ( )f x 的值域为 (0, ) C． ( )y f x 的图象关于点 1( ,0)2 对称 D． ( )y f x 的图象关于直线 1 2x  对称 【答案】AC 【解析】 A.由 xy e 和 1 xy e  的单调性判断；B.取 0x  判断；C.D.判断 1 1( ) ( )2 2f x f x   是否等于零即可. 【详解】 因为 xy e 是定义在 R 上的增函数， 1 xy e  是定义在 R 上的减函数， 所以 1( ) x xf x e e   在 R 上单调递增，故 A 正确； 因为 0(0) 1 0f e e e     ，故 B 错误； 因为 1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 2 2 2 2 2 21 1( ) ( ) 02 2 x x x x x x x x f x f x e e e e e e e e                       ， 所以 ( )y f x 的图象关于点 1( ,0)2 对称，故 C 正确，D 错误． 故选：AC． 7．【多选题】（2020·山东省青岛第十六中学高三月考）已知函数        1 12 1 1 x xf x f x x          ，则下列正确的 是（ ） A．   10 2f f    B．   21 4f f    C．  2 2log 3 2f f    D．  f x 的值域为 10, 2      【答案】BD 12 / 18 【解析】 对选项 A，根据计算   20 2f f    ，即可判断 A 错误，对选项 B，根据计算   21 4f f    ，即可判断 B 正确；对选项 C，根据计算  2 2log 3 2f f    ，即可判断 C 错误，对选项 D，分别求 1x 和 1x  的 值域即可得到答案. 【详解】 对选项 A，     10 1 2f f  ，   3 1 2 21 3 1 1 20 2 2 2 8 4f f f f                              ， 故 A 错误； 对选项 B，   11 2f  ，   3 1 2 21 3 1 1 21 2 2 2 8 4f f f f                              ， 故 B 正确. 对选项 C，因为 2log 3 1 ，所以   2 2 log 3 1log 3 2 1 1log 3 22 3f       ，   4 3 2 1 4 1 2log 3 3 3 2 2f f f f                       ，故 C 错误； 对选项 D，当 1x 时，   1 10,2 2 x f x            ，函数  f x 的值域为 10, 2      ， 当 0 1x  时，1 1 2x   ，     111 2 x f x f x        ， 函数  f x 的值域为 1 1,4 2      ， 又因为 1x  时，    1f x f x  ，是周期为1的函数， 所以当 1x  时，函数  f x 的值域为 1 1,4 2      ， 综上，函数  f x 的值域为 10, 2      ，故 D 正确. 故选：BD 13 / 18 8．【多选题】（2020·河北（）高三月考）高斯是德国著名的数学家，近代数 学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高 斯函数”为：设 xR ，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则  y x 称为高斯函数，例如： 3.5 4   ，  2.1 2 .已知函数 2 1( ) 1 2 2 x xf x   ，则关于函数  ( ) ( )g x f x 的叙述中正确的是（ ） A． ( )g x 是偶函数 B． ( )f x 是奇函数 C． ( )f x 在 R 上是增函数 D． ( )g x 的值域是 1,0,1 【答案】BC 【解析】 由    11g g  判断 A；由奇函数的定义证明 B；把  f x 的解析式变形，由 2xy  的单调性结合复合函 数的单调性判断 C 正确；求出  f x 的范围，进一步求得  g x 的值域判断 D． 【详解】      2 11 1 01 2 2g f           ，     1 1 2 11 1 11 2 2g f                 ，    1 1g g   ，则  g x 不是偶函数，故 A 错误；   2 1 1 2 2 x xf x   的定义域为 R ，       2 2 2 2 2 1 21 1 1 01 2 1 2 1 2 1 22 1 2 x x x x x x x x x xx xf x f x                    ，  f x 为奇函数，故 B 正确；   2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 x x x x xf x          ， 又 2xy  在 R 上单调递增，   1 1 2 1 2xf x    在 R 上是增函数，故 C 正确； 2 0x  ， 1 2 1x   ，则 10 11 2x  ，可得 1 1 1 1 2 2 1 2 2x    ， 即  1 1 2 2f x   ．      1,0g x f x      ，故 D 错误． 14 / 18 故选：BC． 9．【多选题】（2020·校高三月考）已知函数 2, 0( ) ( 1), 0 xe xf x a x x       （ a 为常数），函数 ( )f x 的最小值为 1 ，则实数 a 的取值可以是（ ） A．-1 B．2 C．1 D．0 【答案】CD 【解析】 由已知求得当 0x„ 时， ( ) 2xf x e  的最小值为 1 ，问题转化为当 0x  时， ( ) ( 1) 1f x a x  … 恒成立， 对 a 分类讨论求得 a 的范围，结合选项得答案． 【详解】 当 0x„ 时， ( ) 2xf x e  单调递减，且当 0x  时，函数取得最小值为 1 ； 要使原分段函数有最小值为 1 ， 则当 0x  时， ( ) ( 1) 1f x a x  … 恒成立， 当 0a  时，满足； 当 0a  时，需 0 1 a a    … ，即 0 1a „ ． 综上，实数 a 的取值范围为 0,1 ． 结合选项可得，实数 a 的取值可以是 1，0． 故选：CD． 10．【多选题】（2021·南京市中华中学高三期末）“悬链线”进入公众视野，源于达芬奇的画作《抱银貂的女 人》.这幅画作中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽.而达芬奇却心 生好奇：“固定项链的两端，使其在重力作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？”随着后人研究的 深入，悬链线的庐山真面目被揭开.法国著名昆虫学家、文学家法布尔，在《昆虫记》里有这样的记载：“每 当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线．．．（注： 垂直于地面的直线）上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线.这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状， 这就是一张被风鼓起来的船帆外形的那条线条．”建立适当的平面直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析 式： ( ) 2 ax axe ef x a  ，其中 a 为悬链线系数．当a 1 时， ( ) 2 x xe ef x  称为双曲余弦函数，记为 ch 2 x xe ex  ．类似的双曲正弦函数 sh 2 x xe ex  ．直线 x t 与 ch x 和 sh x 的图像分别交于点 A 、B ．下 15 / 18 列结论正确的是（ ） A．sh( ) sh ch ch shx y x y x y     B． ch( ) ch ch sh shx y x y x y     C． AB 随 t 的增大而减小 D． ch x 与 sh x 的图像有完全相同的渐近线 【答案】AC 【解析】 由函数的定义，代入化简可得 A 正确，B 不正确；由 0  xchx shx e 可得 C 正确；由函数的图象变化 可得 D 不正确. 【详解】 ( ) 2     x y x ye esh x y 2 2 2 2 2              g g g g x x y y x x y y x y x ye e e e e e e e e eshx chy chx shy ，所以 A 正确； ( ) 2     x y x ye ech x y 2 2 2 2 2              g g g g x x y y x x y y x y x ye e e e e e e e e echx chy shx shy ，所以 B 不正确； 0  xchx shx e ，且随着 x 变大， xe 越来越小，所以 C 正确； shx ，当 +x   时，是 2 xey  的等价无穷大，无渐近线， chx ，当 +x   时，是 2 xey  的等价无穷大，无渐近线，所以 D 不正确. 故选：AC 16 / 18 1.(新课标真题)已知集合 A={x|x