2022年新高考数学一轮复习3.6对数与对数函数（练）解析版

1 / 17 专题 3.6 对数与对数函数 1．（2021·安徽高三其他模拟（理））函数 ( ) ln | |f x x x  的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由 0x  时的单调性排除一个选项，得正确选项． 【详解】 易知 ( ) ln | |f x x x  是非奇非偶函数，所以排除选项 A，C； 当 x>0 时， ( )f x 单调递増､所以排除选项 B. 故选：D． 2．（2021·江西南昌市·高三三模（文））若函数   3log , 1 2 , 1x x xf x x    ．则  0f f    （ ） A． 0 B．1 C． 2 D．3 【答案】A 【解析】 利用函数  f x 的解析式由内到外逐层计算可得  0f f   的值. 2 / 17 【详解】   3log , 1 2 , 1x x xf x x     ，则   00 2 1f   ，因此，     30 1 log 1 0f f f     . 故选：A. 3．（2021·浙江高三其他模拟）已知 a 为正实数，则“ 1a  ”是“ 3 2 2 1 2 log loga a ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 利用充分、必要条件的定义，即可推出“ 1a  ”与“ 3 2 2 1 2 log loga a ”的充分、必要关系. 【详解】 因为 3 2 2 1 2 log loga a 等价于 3 2 2 2log loga a ， 由 a 为正实数且 1a  ，故有 3 2a a ，所以 3 2 2 2log loga a 成立； 由 a 为正实数， 3 2 2 2log loga a 且函数 2logy x 是增函数，有 3 2a a ，故  2 1 0a a   ，所以 1a  成 立. 故选：C． 4．（2021·浙江高三专题练习）已知函数 f(x)＝ 1 3 3 1, ,log 1 x x x x    则函数 y＝f(1－x)的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由  f x 得到  1f x 的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可. 3 / 17 【详解】 因为函数  f x 1 3 3 , 1 log , 1 x x x x     ， 所以函数  1f x   1 1 3 3 , 0 log 1 , 0 x x x x      ， 当 x＝0 时，y＝f(1)＝3，即 y＝f(1－x)的图象过点(0，3)，排除 A； 当 x＝－2 时，y＝f(3)＝－1，即 y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除 B； 当 0x  时，  1 3 1 1, (1 ) log 1 0x f x x      ，排除 C， 故选：D． 5．（2021·江苏南通市·高三三模）已知 1 3 3 1 3 1 1log 5, , log2 6a b c      ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A． a b c  B．b a c  C． c b a  D． c a b  【答案】D 【解析】 由于 1 3 3 1log g6 6loc   ，再借助函数 3logy x 的单调性与中间值1比较即可. 【详解】 1 3 3 1log g6 6loc   ，因为函数 3logy x 在  0, 上单调递增， 所以 3 3 3 1 3 1log 3 1 log 5 log 6 log 6a c      ， 因为函数 1 2 x y      在 R 上单调递减，所以 1 031 2 11 2b             ， 所以 c a b  故选：D 6．（2021·辽宁高三月考）某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的 泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有 效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度 h 与其采摘后时间t（小时）满足的函数关系式为 th m a  ．若 4 / 17 采摘后 20 小时，这种杏子失去的新鲜度为 10%，采摘后 40 小时，这种杏子失去的新鲜度为 20%．在这种 条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（ ）（已知 lg 2 0.3 ，结果取整数） A．42 小时 B．53 小时 C．56 小时 D．67 小时 【答案】D 【解析】 利用指数的运算得出 1 202a  ，再利用对数的运算即可求解. 【详解】 由题意可得 200 010 m a  ，① 400 020 m a  ，② ②  ①可得 20 2a  ，解得 1 202a  ， 所以 0 050 tm a  ，③ ③  ①可得 20 5ta   ， 所以 20 202 5 t  ，即 20 lg 2 lg5 1 lg 2 0.720 t      ， 解得 67t  （小时）. 故选：D 7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知 2log 3a  ，3 4b  ， 22 log 3 1c   ，则下列结论正确的是（ ） A． a c B． 2ab  C． 1abc a  D． 2 2bc b  【答案】BCD 【解析】 先判断 1a  ，即可判断 A； 利用 2 2 2 log 3b a   判断 B；利用 B 的结论判断 C；利用 C 的结论判断 D. 【详解】 因为 2log 3 1a   ，所以 22 log 3 1 1 2c a a c a       ，即 A 不正确； 因为 3 3 2 2 2log 4 2log 2 log 3b a     ，所以 2ab  ，即 B 正确； 由 2ab  可知， 2 1abc c a   ，C 正确； 由 1abc a  可知， 2ab c ab b  ，则 2 2bc b  ，即 D 正确． 故选：BCD. 5 / 17 8．【多选题】（2021·山东日照市·高三一模）已知 1 1 3log 0xx   ， 2 2 2log 0xx   ，则（ ） A． 2 10 1x x   B． 1 20 1x x< < < C． 2 1 1 2lg lg 0x x x x  D． 2 1 1 2lg lg 0x x x x  【答案】BC 【解析】 根据对数函数的性质可判断 AB 正误，由不等式的基本性质可判断 CD 正误. 【详解】 由 1 3 1log 0x x   可得 10 1x  ，同理可得 20 1x  ， 因为 (0,1)x 时，恒有 2 3log logx x 所以 1 2 2 2 3 1log log 0x x x x    ，即 1 2x x ，故 A 错误 B 正确； 因为 1 20 1x x< < < ， 所以 1 2lg lg 0x x  ，即 2 10 lg lgx x    ， 由不等式性质可得 1 2 2 1lg lgx x x x   ，即 2 1 1 2lg lg 0x x x x  ，故 C 正确 D 错误. 故选：BC 9．（2021·浙江高三期末）已知 2log 3a  ，则 4a  ________． 【答案】9 【解析】 把 2log 3a  代入 4a 可得答案. 【详解】 因为 2log 3a  ，所以 2 2 2log 3 log 34 4 2 9a    . 故答案为：9. 10．（2021·河南高三月考（理））若 4 1log 3 2a  ，则 3 9a a  ___________； 【答案】6 【解析】 首先利用换底公式表示 3log 2a  ，再代入 3 9a a 求值. 6 / 17 【详解】 由条件得 3 3 1 log 4 log 22a   ，所以 3 3 3 3log 2 log 2 log 2 log 43 9 3 9 3 3 2 4 6a a        . 故答案为：6 1．（2021·浙江高三专题练习）如图，直线 x t 与函数   3logf x x 和   3log 1g x x  的图象分别交于点 A ， B ，若函数  y f x 的图象上存在一点 C ，使得 ABC 为等边三角形，则 t 的值为（ ） A． 3 2 2  B． 3 3 3 2  C． 3 3 3 4  D． 3 3 3 【答案】C 【解析】 由题意得  3,logA t t ，  3,log 1B t t  ， 1AB  ，根据等边三角形的性质求得C 点的横坐标 3 2x t  ，结合 A ， B 两点的纵坐标和中点坐标公式列方程 3 2 3 t t  ，解方程即可求得t 的值. 【详解】 由題意  3,logA t t ，  3,log 1B t t  ， 1AB  . 设  3,logC x x ，因为 ABC 是等边三角形， 所以点C 到直线 AB 的距离为 3 2 ， 所以 3 2t x  ， 3 2x t  . 根据中点坐标公式可得 7 / 17 3 3 3 3 3 log log 13 1log log log2 2 2 3 t tt tt            ， 所以 3 2 3 t t  ，解得 3 3 3 4t  . 故选：C 2．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数     1 4, 12 ln 1 , 1 x xf x x x             ，若   0f f x    ，则 x 的取值范 围为（ ） A． 2,0 B． 2 1, 1e      C． 2 12, 1e      D．  2 12, 1 1,0e        【答案】D 【解析】 先由   0f f x    可得出  2 0f x   ，然后再分 1x   、 1x   两种情况解不等式  2 0f x   ， 即可得解. 【详解】 若   1f x   ，则    1 4 02 f x f f x           ，解得   2f x   ，此时，  2 1f x    ； 若   1f x   ，则    ln 1 0f f x f x         ，可得  0 1 1f x   ，解得  1 0f x   . 综上，  2 0f x   . 若 1x   ，由  2 0f x   可得 12 4 02 x       ，可得 12 42 x     ，解得 2 1x    ，此时 2 1x    ； 若 1x   ，由  2 0f x   可得  2 ln 1 0x    ，可得 2 1 1 1xe    ，解得 2 1 1 0xe    ，此时， 2 1 1 0xe    . 8 / 17 综上，满足   0f f x    的 x 的取值范围为   2 12, 1 1,0e        . 故选：D. 3．（2021·全国高三三模）已知函数   x xf x e e  ，若    4 5 6 1log , log 6 , log 45a f b f c f      ，则 , ,a b c 的大小关系正确的是（ ） A．b a c  B． a b c  C． c b a  D． c a b  【答案】B 【解析】 先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据对数函数的性质，结合基本不等式、比较 法进行判断即可. 【详解】 因为   ( )x xf x e e f x    ，所以 ( )f x 为偶函数，   2 1x x x x ex e ef e     ， 当 0x  时，   0f x  ，函数单调递增，当 0x  时，   0f x  ，函数单调递减，        4 4 4 5 6 1log log 5 log 5 , log 6 , log 45a f f f b f c f         ， 因为 lg4 lg6 2 lg4 lg6   ， 故 2 22 2lg4 lg6 lg 24 lg25lg4 lg6 (lg5)2 4 2               2 4 5 lg5 lg6 lg 5 lg4 lg6log 5 log 6 0lg4 lg5 lg4 lg5       所以 4 5 6log 5 log 6 1 log 4 0    ，则 .a b c  故选： B. 4．【多选题】（2021·辽宁高三月考）若 1a b  ，则（ ） A． log 3 log 3a b 9 / 17 B． 3 3a b C． 1 1log ( ) log 2 1ab aba b    D． 1 1 +1 1a b   【答案】ACD 【解析】 由已知，A 选项，借助对数换底公式及对数函数单调性可判断；B 选项，利用幂函数单调性可判断；C 选项， 利用对数函数单调性可判断；D 选项，利用反比例函数单调性可判断. 【详解】 对于 A 选项： 3logy x 在(0,+∞)上单调递增， 1a b  ，则 3 3 3 3 1 1log log 0 log loga b a b     ，即 log 3 log 3a b ，A 正确； 对于 B 选项：函数 y=x3 在 R 上递增，则 3 3a b ，B 错误； 对于 C 选项： 1a b  ，则 ab>1，a+b>2， 1 1log ( ) log log ( ) 1ab ab ab a b a ba b ab      log 2 1ab  ， 有 1 1log ( ) log 2 1ab aba b    成立，即 C 正确； 对于 D 选项： 1 1 1 2a b a b       ，而函数 1y x  在(0,+∞)上递减，则有 1 1 +1 1a b   ，即 D 正确. 故选：ACD 5．【多选题】（2021·全国高三专题练习（理））已知 0a b  ，且 4ab  ，则（ ） A． 2 1a b  B． 2 2log log 1a b  C． 2 2 8a b  D． 2 2log log 1a b  【答案】ACD 【解析】 利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】 10 / 17 因为 0a b  ，且 4ab  ，对 A， 0a b  ，所以 02 2 1a b   ，故 A 正确；对 B，取 8 3,3 2a b  ，所 以 2 2 2 2 2 16log log log log log 2 19 aa b b      ，故 B 错误；对 C， 2 2 2 2 22 2a b a b a b=   ，当且 仅当 a b 取等号，又因为 2 4a b ab   ，当且仅当 a b 取等号，所以 42 22 22 82a b a b   ， 当且仅当 a b 取等号，因为 0a b  ，所以不能取等号，故 C 正确；对 D，当 1 0  a b ， 2 2log 0,log 0a b  ，所以 2 2log log 1a b  ；当 1a b  ， 2 2log 0,log 0a b  ，所以    2 2 2 2 2 2 2 log log loglog log 14 4 a b aba b     ，当且仅当 a b 取等号，因为 0a b  ，所以不能取 等号，故 D 正确. 故选：ACD. 6．【多选题】（2021·湖南高三二模）若正实数 a，b 满足 a b 且 ln ln 0a b  ，下列不等式恒成立的是（ ） A． log 2 log 2a b B． ln lna a b b   C． 12 2ab a b  D． log 0a b  【答案】CD 【解析】 由已知不等式，求出 ,a b 之间的关系，结合选项一一判断即可． 【详解】 由 ln ln 0a b  有 0 1b a   或 1a b  ， 对于选项 A，当 0 1b a   或 1a b  都有 log 2 log 2a b ，选项 A 错误； 对于选项 B，比如当 1 1,2 4a b  时，有 21 1 1 1 1 1 1 1ln ln 2 ln ln4 4 4 2 4 2 2 2        故 ln lna a b b   不成立，选项 B 错误； 对于 C，因为   1 1 1 0ab a b a b       ，所以 1ab a b   ，则 12 2ab a b  ，选项 C 正确； 对于选项 D，因为 ln ln 0a b  ，所以 lnlog 0lna bb a   ，选项 D 正确， 故选：CD． 7．【多选题】（2021·山东临沂市·高三二模）若 5log 2a  ， 1 ln 22b  ， 1 ln55c  ，则（ ） 11 / 17 A． a b B．b c C． c a D． 2a b 【答案】AB 【解析】 对四个选项一一验证： 对于 A：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小； 对于 B：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小； 对于 C：利用不等式的传递性比较大小； 对于 D：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小； 【详解】 对于 A： 5 2 2 2 2 1 1 1 1lno 21l g 2 ,log 5 2 2 log loga b e e     ， 又 2 5e  ，且 2logy x 为增函数，所以 2 22 ll g 5 ogo e ，所以 2 22 5 1 log 1 l oge  ，即 a b .故 A 正确； 对于 B： 1 ln 2 ln 22b   ， 51 ln5 ln 55c   ， 因为   10 105 252 2 32, 5 5 25, lny x     为增函数，所以b c ；故 B 正确； 对于 C：因为 a b ，b c ，所以 a c ，故 C 错误； 对于 D：因为 1 ln 22b  ，所以 2 12 ln 2 logb e   ，而 5 2 1log 2 ,log 5a   又 5e  ，所以 2 2log log 5e  ，所以 2 2 1 1 log log 5e  ，所以 2b a ，故 D 错误. 故选：AB. 8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数 ( )f x 满足 ( ) ( 1)f x f x   ，当 (0,1)x 时，函数 ( ) 3xf x  ，则 1 3 (log 19)f  __________． 【答案】 27 19  【解析】 由 ( ) ( 1)f x f x   得函数的周期为 2，然后利用周期和 ( ) ( 1)f x f x   对 1 3 (log 19)f 化简可得 1 3 (log 19)f 3 3 9 27(log 1) (log )19 19f f     ，从而可求得结果 12 / 17 【详解】 解：由题意，函数 ( )f x 满足 ( ) ( 1)f x f x   ，化简可得 ( ) ( 2)f x f x  ， 所以函数 ( )f x 是以 2 为周期的周期函数， 又由 (0,1)x 时，函数 ( ) 3xf x  ，且 ( ) ( 1)f x f x   ， 则 1 3 3 3 3 9(log 19) ( log 19) ( log 19 2) (log )19f f f f      3 27log 19 3 3 9 27 27(log 1) (log ) 319 19 19f f         ． 故答案为： 27 19  ． 9．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））已知函数       1 1 3 3 0 log 0 x x f x x x     ，则不等式   1f x  的解集为 ___________. 【答案】 11, 3     【解析】 根据分段函数的定义，分段讨论即可求解. 【详解】 解：       1 1 3 3 0 log 0 x x f x x x      ，   1 01 3 1x xf x       或 1 3 0 log 1 x x   ， 解得 1 0  x 或 10 3x  ，即 11 3x   ， 不等式   1f x  的解集为 11, 3     . 故答案为： 11, 3     . 13 / 17 10．（2021·浙江丽水市·高三期末）已知      1log 1 log 0 1a aa a a    ，则 a 的取值范围是__________. 【答案】 1 5 ,12       【解析】 通过作差将      1log 1 log 0 1a aa a a    转化为 ( 1)log ( 1) log 0  a aa a ，利用换底公式计算可得    ( 1) lg( 1) lg lg( 1) lglog ( 1) log lg lg( 1)       a a a a a aa a a a ，分别判断每个因式的正负，最终转化为 21 1( ) 12 4   a 成立，结合二次函数图像，即可求得 a 的取值范围. 【详解】 ∵ ( 1) lg( 1) lglog ( 1) log lg lg( 1)a a a aa a a a      2 2lg ( 1) lg lg ( 1) a a alg a      lg( 1) lg lg( 1) lg lg lg( 1) a a a a a a      而当 0 1a  时， lg 0a  ， g( 0)l 1a   ， 1lg( 1) lg lg lg1 0aa a a      21 1lg( 1) lg lg ( 1) lg ( )2 4a a a a a          ，所以      1log 1 log 0 1a aa a a    即为 21 1lg ( ) 02 4       a ，由于 lgu 单调递增，所以 21 1( ) 12 4   a . 21 1( )2 4u a   的图象如图，当 1u  时， 0 1 5 2a   ， ∴当 1 5 12 a    时，1 2u  ，lg 0u  ， 可得    log 1 log 1 0a aa a a    . 14 / 17 故答案为： 1 5 ,12       1.（2020·全国高考真题（文））设 3log 4 2a  ，则 4 a  （ ） A． 1 16 B． 1 9 C． 1 8 D． 1 6 【答案】B 【解析】 由 3log 4 2a  可得 3log 4 2a  ，所以 4 9a  ， 所以有 14 9 a  ， 故选：B. 2.（2020·全国高考真题（理））设函数 ( ) ln | 2 1| ln | 2 1|f x x x    ，则 f(x)（ ） A．是偶函数，且在 1( , )2  单调递增 B．是奇函数，且在 1 1( , )2 2  单调递减 C．是偶函数，且在 1( , )2   单调递增 D．是奇函数，且在 1( , )2   单调递减 【答案】D 【解析】 由   ln 2 1 ln 2 1f x x x    得  f x 定义域为 1 2x x     ，关于坐标原点对称， 又    ln 1 2 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1f x x x x x f x            ，  f x 为定义域上的奇函数，可排除 AC； 15 / 17 当 1 1,2 2x      时，      ln 2 1 ln 1 2f x x x    ，  ln 2 1y x Q 在 1 1,2 2     上单调递增，  ln 1 2y x  在 1 1,2 2     上单调递减，  f x 在 1 1,2 2     上单调递增，排除 B； 当 1, 2x       时，       2 1 2ln 2 1 ln 1 2 ln ln 12 1 2 1 xf x x x x x              ， 21 2 1x     在 1, 2      上单调递减，   lnf   在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：  f x 在 1, 2      上单调递减，D 正确. 故选：D. 3．（2020·天津高考真题）设 0.8 0.7 0.7 13 , , log 0.83a b c       ，则 , ,a b c 的大小关系为（ ） A． a b c  B．b a c  C．b c a  D． c a b  【答案】D 【解析】 因为 0.73 1a   ， 0.8 0.8 0.71 3 33b a        ， 0.7 0.7log 0.8 log 0.7 1c    ， 所以 1c a b   . 故选：D. 4.（2019 年高考全国Ⅲ卷理）设  f x 是定义域为 R 的偶函数，且在 0,+ 单调递减，则 A． f （log3 1 4 ）＞ f （ 3 22  ）＞ f （ 2 32  ） B． f （log3 1 4 ）＞ f （ 2 32  ）＞ f （ 3 22  ） 16 / 17 C． f （ 3 22  ）＞ f （ 2 32  ）＞ f （log3 1 4 ） D． f （ 2 32  ）＞ f （ 3 22  ）＞ f （log3 1 4 ） 【答案】C 【解析】  f x 是定义域为 R 的偶函数， 3 3 1(log ) (log 4)4f f  ． 2 23 3 0 3 32 2 3 3 3log 4 log 3 1,1 2 2 2 , log 4 2 2            ， 又  f x 在(0，+∞)上单调递减， ∴ 2 3 3 2 3(log 4) 2 2f f f             ， 即 23 32 3 12 2 log 4f f f                . 故选 C． 5.（2020·全国高考真题（理））若 2 2 3 3x y x y    ，则（ ） A． ln( 1) 0y x   B． ln( 1) 0y x   C． ln | | 0x y  D． ln | | 0x y  【答案】A 【解析】 由 2 2 3 3x y x y    得： 2 3 2 3x x y y    ， 令   2 3t tf t   ， 2xy  为 R 上的增函数， 3 xy  为 R 上的减函数，  f t 为 R 上的增函数， x y  ， 0y x Q ， 1 1y x    ，  ln 1 0y x    ，则 A 正确，B 错误； x yQ 与1的大小不确定，故 CD 无法确定. 故选：A. 6.（2019·天津高考真题（文））已知 已 log ， 已 log ， 已 t t ，则 ǡǡ 的大小关系为（ ） A. ൏ ൏ B. ൏ ൏ C. ൏ ൏ D. ൏ ൏ 【答案】A 17 / 17 【解析】 已 t t ൏ t 已 ； log log 已 ； ൏ log ൏ log 已 . 故 ൏ ൏ . 故选 A.